九年级（上）期中数学试卷 带解析

2023-2024学年青岛版九年级（上）期中数学试卷一．单选题1.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子和小强的影子一样长C.小明的影子比小强的影子短 D.无法判断谁的影子长【答案】D【解析】【分析】根据中心投影和平行投影的特点即可进行作答．【详解】在同一时刻的阳光下，此时属于平行投影，小明的影子比小强的影子长，

∴小明身高比小强高，在同一路灯下,此时属于中心投影，影子的长度不仅与二人的身高相关，还有他们所处的位置相关，两人由于离路灯的远近不同，影子的长度也就不同，∴无法判断谁的影子长，故选：D．【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的知识．熟知离路灯的距离不同，影子的长度就不同是解本题的关键．2.如图，空心圆柱的主视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选D．3.有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（）A.两个转盘转出蓝色的概率一样大B.如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C.先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D.游戏者配成紫色的概率为【答案】D【解析】【分析】根据概率的意义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．【详解】解：A．A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C．由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；D．画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为，故选：D．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.下列命题正确的是（）（1）一角相等的两个平行四边形相似：（2）一角相等的两个菱形相似：（3）一组邻边成比例的两个平行四边形相似（4）一组邻边成比例的两个矩形相似．A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（2）（4）【答案】B【解析】【详解】（1）一角相等的两个平行四边形对应边不一定成比例，所以不一定相似，（1）是假命题；一角相等的两个菱形相似，（2）是真命题；一组邻边成比例的两个平行四边形对应角不一定相等，所以不一定相似，（3）是假命题；一组邻边成比例的两个矩形相似，（4）是真命题；故选B．5.如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且，，AD：DB＝1：2，BC＝30cm，则FC的长为（）A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm【答案】B【解析】【分析】先由，得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF＝DE，再由AD：DB＝1：2，得出AD：AB＝1：3．由，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC＝AD：AB＝1：3，将BC＝30cm代入求出DE的长，即可得FC的长．【详解】解：∵，，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE，∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∵，∴DE：BC＝AD：AB＝1：3，即DE：30＝1：3，∴DE＝10cm，∴BF＝10cm，∴（cm），故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出BF＝DE，利用转化思想是解题的关键．6.反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数判断出函数图象所在的象限，再根据，判断出三点所在的象限，再根据点在各象限坐标的特点及函数在每一象限的增减性解答．【详解】反比例函数中，，此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；，点在第一象限，；，点，在第三象限，y随x的增大而减小，故，由于，则在第一象限，在第三象限，所以，，，于是．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．7.反比例函数y=与一次函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：当k＞0时，∵k＞0，-k＜0，∴反比例函数y=的图象在第一、三象限，一次函数y=-kx-k的图象经过第二、三、四象限；当k＜0时，∵k＜0，-k＞0，∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，一次函数y=-kx-k的图象经过第一、二、三象限．故选C．8.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（）A.4:25 B.49:100 C.7:10 D.2:5【答案】A【解析】【分析】要求△EFG与△BCG的面积之比，只要证明△FGE∽△CGB即可，然后根据面积比等于相似比的平方即可解答本题．【详解】解：∵在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，

∴AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，

∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，

∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，

∴AB=AE，DF=DC，

又∵AB=7，BC=10，

∴AE=DE=7，AD=10，

∴AF=DE=3，

∴FE=4，

∵FE∥BC，

∴△FGE∽△CGB，

∴

∴，

故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二、填空题9.已知，则的值是_____．【答案】##【解析】【分析】根据，设，，代入即可得出答案．【详解】解：∵，∴设，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的计算，设未知数是本题的关键．10.为了估计不透明袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有_____个白球．【答案】100【解析】【分析】先求出样本中有标记的球出现的频率，再利用用样本估计总体的方法进行计算即可解答．【详解】解：∵从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，∴有标记的球出现的频率为，∴总体有10÷=100．故答案为：100．11.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度．【答案】米【解析】【分析】设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解即可．【详解】设条纹的宽度为米．依题意得，解得：（不符合，舍去），答：配色条纹宽度为米．【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程．12.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD于点E，则OE长_____．【答案】1【解析】【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD，∵∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠ADO=60°，OA=AD，在Rt△ADB中，AD=，∵AE⊥BD，∴OE=DE=OD=1．故答案是：1．13.如图，是一块锐角三角形的余料，边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是_____．【答案】2.4【解析】【分析】证明，得到，即，然后解方程即可得到答案．【详解】解：设这个正方形零件的边长是，则，∵四边形为正方形，∴，∴，∴，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，证明得到是解题的关键．14.某地大力发展经济作物，果树种植已初具规模．今年受气候、南水等因素的影响，樱桃较丢年有所增产、但售价却有所降低，一果农去年樱祧的市场销售量为200千克，销售均价为20元千克，今年樱桃的市场销售量比去年增加的百分数正好是销售均价比去年减少的百分数的2倍，若该果农今年的销售总金额与去年的销售总金额相同；则销售均价比去年减少的百分数为_____．【答案】50％【解析】【详解】设销售均价比去年减少的百分数为x，200（1+2x）×20（1﹣x）=200×20，解得，x=0.5或x=0（舍去），故答案为50%．15.如图，反比例函数y=与一次函数y=﹣x+6的图象交点为E、F，则点E的坐标为_____，△EOF的面积为_____．反比例函数值大于一次函数值时x的范围是_____．【答案】①.（1，5）②.12③.0＜x＜1或x＞5【解析】【详解】联立两函数解析式可得，解得或，∴E点坐标为（1，5），在y=﹣x+6中，令y=0可求得x=6，∴A（6，0），∴OA=6，∴S△EOF=S△AOE﹣S△AOF=×6×5﹣×6×1=15﹣3=12，∵E（1，5），F（5，1），∴当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为0＜x＜1或x＞5，故答案为（1，5）；12；0＜x＜1或x＞5．【点睛】考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点满足每个函数解析式是解题的关键．16.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为_____．【答案】12+15π【解析】【详解】试题分析：由几何体的三视图可得：该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，故答案为12+15π．三、计算题17.（1）解方程4x（2x+1）=3（2x+1）（2）关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）x=或x=﹣（2）m=2【解析】【详解】试题分析：（1）由4x（2x+1）=3（2x+1）可得出4x=3或2x+1=0，解之即可得出结论；

（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出（m-2）2=0，解之即可得出m的值．试题解析：（1）∵4x（2x+1）=3（2x+1），∴4x=3或2x+1=0，解得：x=或x=﹣．（2）∵关于x的方程x2+（m﹣2）x=0有两个相等的实数根，∴△=（m﹣2）2﹣4×1×0=（m﹣2）2=0，∴m=2．四、作图题18.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1．【答案】答案见解析【解析】【详解】试题分析：延长BA到A1使BA1=2BA，延长BC到C1使BC1=2BC，则△A1B1C1满足条件．试题解析：如图，△A1B1C1为所作．五．解答题19.在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．（1）游戏规则1：两人各摸1个球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．（2）游戏规则2；两人同时各摸1个球，若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏小明赢得电影票的概率为．【答案】（1）此游戏不公平（2）【解析】【分析】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．

（2）本题可通过列表法或画树状图法来求，解题时要注意：（1）摸出小球后记下颜色放回与不放回的区别；（2）把红球标记为红1和红2，保证每次摸球的可能性相等．【详解】（1）此游戏不公平．理由如下：列树状图如下，列表如下，由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．P（小明赢）=，P（小亮赢）=．∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大；（2）列表如下：红1红2黄蓝红1红1红2红1黄红1蓝红2红2红1红2黄红2蓝黄黄红1黄红2黄蓝蓝蓝红1蓝红2蓝黄由表格可知，共有12种等可能结果，其中两球颜色相同的情况有2种，故小明赢得门票的概率为．故答案为.20.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【答案】该校共购买了80棵树苗【解析】【分析】由题意知该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，根据题意列方程求解即可．【详解】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得：x1＝220，x2＝80．当x2＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x1＝220(不合题意，舍去)；当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，∴x＝80，答：该校共购买了80棵树苗．21.如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明即可；

（2）利用平行四边形的性质和矩形的性质得出BN=DM，BF=DE，∠NBF=∠MDE，进而证明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，进而证明四边形EMFN是平行四边形．试题解析：（1）∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，∵DE⊥AB．BF⊥DC，∴∠E=90°，∠F=90°，∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，∴四边形BEDF是矩形；（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，∴∠ADC=∠BCF，∴∠NBF=∠MDE，∵M、N分别为AD、BC的中点，∴BN=DM，在△BNF与△DME中∴△BNF≌△DME（SAS），∴EM=FN，同理可得：EN=MF，∴四边形EMFN是平行四边形．22.数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至一20℃时，制冷再次停止，．．按照以上方式循环进行同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min…4810162021222324283036404244…温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4a﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式；（2）温度不低于﹣8℃的持续时间为min；（3）A的值为．【答案】（1）①y=﹣；②y=﹣4x+76（2）11；（3）﹣12【解析】【详解】试题分析：（1）①由x•y=-80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；

②根据点（20，-4）、（21，-8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；

（2）观察表格可知，10≤x≤21时，y≥-8，即可求解；

（3）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值．试题解析：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，∴当4≤x＜20时，y=﹣．故答案为y=﹣；②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，，解得：，∴此时y=﹣4x+76．当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．故答案为y=﹣4x+76．（2）由表格可知，10≤x≤21时，y≥﹣8，则温度不低于﹣8℃持续时间为21﹣10=11分钟．故答案为11；（3）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y值相同，∴a=﹣12．故答案为﹣12．23.问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形的边上，，求证：．（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中，点G在上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点，得到矩形．如图2，当时，若将点G向点C靠近（），经过探索，发现：．如图3，当时，若将点G向点D靠近（），请探索与之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形各边上的点，已知，求的长．【答案】问题呈现：证明见解析；实验探究：结论：，理由见解析；迁移应用：.【解析】【分析】问题呈现：先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得到，同理可得，由此即可证明；

实验探究：根据，，，，即可证明；迁移应用：根据试验探究的结论可得，求出正方形的边长为5，理由勾股定理求出，则，即可利用勾股定理求出．【详解】解：问题呈现：如图1中，∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴同理可得，∴．∴；实验探究：结论：．理由如下：∵，，，，∴，∴，∴．迁移应用：如图中，∵．∴∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵，∴，∴，∴故答案为．【点睛】四边形综合题：主要考查了矩形的性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法添加辅助线，学会利用特殊位置解决问题．24.如图，菱形ABCD的边长为5厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D出发沿DB方向匀速运动，速度为2厘米/秒：P、Q同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t的值为0或3或；（2）t=1秒（3）t=或t=；（4）存在：t=．【解析】【分析】先由运动得出AP=t，DQ=2t，AB=5，BP=5-t，BQ=8-2t，（0≤t≤4）

（1）先由锐角三角函数得出sin∠ABD=，cos∠ABD=，再分三种情况讨论计算即可得出结论；

（2）先求出菱形的面积，再用三角函数得出PE，再用三角形BPQ的面积与菱形面积的关系建立方程，解方程即可得出结论；

（3）先判断出△BPQ∽△DQA，得出比例式建立方程求解即可得出结论；

（4）先判断出△BMN∽△BC