九年级（上）期末数学试卷（湘教版）

2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（3’×10=30分）1．（3分）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不是2．（3分）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）A．1万件 B．19万件 C．15万件 D．20万件3．（3分）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（X+2）2+1 D．y=（x+2）2﹣14．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m=1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤15．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP=8，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不确定6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞08．（3分）已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A．3π B．2π C．π D．π9．（3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）A．﹣8 B．32 C．16 D．4010．（3分）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A．50米 B．100米 C．米 D．米二、填空题（3’×10=30分）11．（3分）抛物线y=x2﹣4x+5的开口向，它的对称轴是直线，顶点坐标是（）．12．（3分）比较大小：cos15°sin72°．13．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=25°，则∠BAD=°．14．（3分）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有条鱼．15．（3分）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为．16．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．17．（3分）如图，点A是反比例函数y=的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为．18．（3分）如图，在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，则tanB=．19．（3分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则抛物线的解析式为．20．（3分）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长为．三、解答题21．（9分）运算题（1）计算|1﹣|﹣2sin45°+cos60°（2）解方程：x2﹣4x﹣1=0．22．（7分）如图，一次函数y=x﹣2与反比例函数y=的图象交于点A，且点A的纵坐标为1．（1）反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．23．（8分）将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个．为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？24．（8分）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）25．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连结DE，求证：（1）△DCE是等腰三角形；（2）DC•AB=AC•DE．26．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．27．（12分）已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式及D点坐标；（2）点Q是线段AB上一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求Q点的坐标．

2023-2024学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（3’×10=30分）1．（3分）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不是【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，即k＜1．故选：A．2．（3分）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（）A．1万件 B．19万件 C．15万件 D．20万件【解答】解：（100﹣5）÷100×100%×20=19（万件），故选B．3．（3分）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（X+2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1【解答】解：抛物线y=x2向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2；再向下平移1个单位，得：y=（x﹣2）2﹣1．故选：A．4．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m=1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．故选：D．5．（3分）已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，若OP=8，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不确定【解答】解：∵OP=8，A是线段OP的中点，∴OA=4，小于圆的半径5，∴点A在圆内．故选：A．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【解答】解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，相似比为，∴点E的对应点E′的坐标为：（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：D．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0【解答】解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=﹣=1，得2a+b=0，正确；C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．故选：D．8．（3分）已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A．3π B．2π C．π D．π【解答】解：如图所示：经过正三角形的中心O作边AB的垂线OC，则OC是内切圆的半径，OB是外接圆的半径，AB是边长，则BC=1，圆环的面积是π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）；在直角△OBC中OB2﹣OC2=BC2，则圆环的面积为πBC2=π．故选：C．9．（3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）A．﹣8 B．32 C．16 D．40【解答】解：根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．故选：C．10．（3分）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A．50米 B．100米 C．米 D．米【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x∴x=米．故选：D．二、填空题（3’×10=30分）11．（3分）抛物线y=x2﹣4x+5的开口向开口向上，它的对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，1）．【解答】解：∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）．故答案为：开口向上；x=2；（2，1）．12．（3分）比较大小：cos15°＞sin72°．【解答】解：cos15°=sin（90°﹣15°）=sin75°，∵sin75°＞sin72°，∴cos15°＞sin72°，故答案为：＞．13．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=25°，则∠BAD=65°．【解答】解：∵∠ACD=25°，∴∠ABD=∠ACD=25°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，则∠DAB=90°﹣∠ABD=65°，故答案为：65．14．（3分）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有1200条鱼．【解答】解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，∴有标记的鱼占×100%=2.5%，∵共有30条鱼做上标记，∴鱼塘中估计有30÷2.5%=1200（条）．故答案为：1200．15．（3分）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为18．【解答】解：设该扇形的半径是r．根据弧长的公式l=，得到：12π=，解得r=18．故答案为：18．16．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案为：18．17．（3分）如图，点A是反比例函数y=的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为2．【解答】解：∵AB⊥x轴，∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1，∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2．故答案为：2．18．（3分）如图，在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，则tanB=．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在直角△ACD中，AC=6，sinA=，∴==，则CD=4．∴在直角△CDB中，由勾股定理求得BD===3，∴tanB==．故答案是：．19．（3分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则抛物线的解析式为y=﹣2x2+4x+6．【解答】解：∵其形状与抛物线y=﹣2x2相同，∴a=﹣2，∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），∴其解析式y=﹣2（x+1）（x﹣3）=﹣2x2+4x+6，故答案为：y=﹣2x2+4x+6．20．（3分）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长为2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OD，如图，∵AE=2，EB=6，∴直径AB=8，∴OD=OB=4，∴OE=OA﹣AE=2，在Rt△OHE中，∠DEB=30°，OE=2，∴OH=OE=1，在Rt△OHD中，OD=4，OH=1，∴DH==，∵OH⊥CD，∴CH=DH=，∴CD=2．故答案为．三、解答题21．（9分）运算题（1）计算|1﹣|﹣2sin45°+cos60°（2）解方程：x2﹣4x﹣1=0．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2×+=﹣1﹣+=﹣；（2）x2﹣4x=1，x2﹣4x+4=5，（x﹣2）2=5，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣．22．（7分）如图，一次函数y=x﹣2与反比例函数y=的图象交于点A，且点A的纵坐标为1．（1）反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．【解答】解：（1）点A在y=x﹣2上，∴1=x﹣2，解得x=6，把（6，1）代入y=得m=6×1=6．∴y=；（2）由图象得，当x＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值．23．（8分）将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个．为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？【解答】解：设售价为x元，由题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]=8000解得：x1=60，x2=80，当x=60时，进货500﹣10（60﹣50）=400（个）；当x=80时，进货500﹣10（80﹣50）=200（个）．答：售价定为60元应进货400个，售价定为80元，应进货200个．24．（8分）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解答】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．25．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连结DE，求证：（1）△DCE是等腰三角形；（2）DC•AB=AC•DE．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CED=∠ABC，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，即△DCE是等腰三角形；（2）∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CED=∠ABC．∵∠C是公共角，∴△DCE∽△ACB．∴DC•AB=AC•DE．26．（8分）如图，点D在⊙O