人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.9点、线间的对称关系》同步测试题及答案

第第页人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.9点、线间的对称关系》同步测试题及答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2)【变式1-1】（2022·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为．【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式1-3】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是.【题型2直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A1,1对称的直线方程为（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（

）A．3x−2y−10=0 B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0 D．2x+3y−2=0【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9 B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9 D．a=1，b=9【变式2-3】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【题型3点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(−1,−3) B．(−1,−4) C．(4,1) D．(2,3)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（

）A．(1,−2) B．(2,1)C．(2,−1) D．(−1,2)【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（

）A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【题型4直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为（

）A．x−3y+1=0 B．x−3y−1=0 C．x−2y−1=0 D．x−2y+1=0【变式4-1】（2022·江苏·高二专题练习）两直线l1:2x−y+1=0,l2:y=x，则直线lA．2x−y+1=0 B．x−3y+1=0 C．2x−3y+2=0 D．x−2y−1=0【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0【题型5光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A1,0射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C−1,0，则点B的坐标为（A．−2,1 B．0,3 C．−1,2 D．−1,1【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x−y+4−23=0C．3x+y+4−23=0【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线y=x反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（

）A．25 B．26 C．4 【变式5-3】（2022·山东淄博·高二期末）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AEA．−∞,−14 B．−14【题型6将军饮马问题】【方法点拨】将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B−1,−4，若将军从点A−1,2处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（A．13 B．17 C．217 D．【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B−4,−4，若将军从点A−2,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（A．13 B．5 C．210 D．【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x+12+y−12≤1，若将军从点1,0A．12x+5y−12=0 B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0 D．11x+2y−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B−2,0，若将军从山脚下的点A13,0处出发，河岸线所在直线方程为A．1453 B．5 C．1353 参考答案【题型1点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.【例1】（2021·四川·高二期中（文））若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2)【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.【解答过程】解：设Ba,b，由题知，点A和点B的中点为2,14+a2=20+b2所以B点的坐标为0,2故选：B.【变式1-1】（2022·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．【解题思路】由中点坐标公式求解即可【解答过程】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为B(x,y)，则点P为AB的中点．∴3=解得x=5y=6∴点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．故答案为：(5,6)．【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为3,−6．【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，所以x+52=4y+8所以C的坐标为3,−6．故答案为：3,−6.【变式1-3】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是17.【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.【解答过程】根据中点坐标公式，得x−22=1，且解得x=4，y=1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x,y)到原点的距离d=(4−0)故答案为：17.【题型2直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A1,1对称的直线方程为（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【解题思路】首先设对称直线上任意一点Px,y，得到Px,y关于A1,1对称点为2−x,2−y【解答过程】设直线l:4x+3y−2=0关于点A1,1对称的直线上任意一点P则Px,y关于A1,1对称点为又因为2−x,2−y在4x+3y−2=0上，所以42−x+32−y故选：B.【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点−1,2对称的直线方程是（

）A．3x−2y−10=0 B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0 D．2x+3y−2=0【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点−1,2对称的点的坐标为(−2−x,4−y)，代入已知直线即可求得结果.【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y，则其关于点−1,2对称的点的坐标为(−2−x,4−y)，因为点(−2−x,4−y)在直线2x+3y−6=0上，所以2−2−x+34−y故选：D.【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9 B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9 D．a=1，b=9【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则am+3n−9=0∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点∴a＝﹣1，b＝﹣9故选A．【变式2-3】（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【解题思路】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【解答过程】由ax＋y＋3a－1＝0得x+3a+由x+3=0y−1=0，得x=−3y=1，∴设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0C≠−6∴−6+3−64+9=−6+3+C4+9，解得:∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．【题型3点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（

）A．(−1,−3) B．(−1,−4) C．(4,1) D．(2,3)【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【解答过程】设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b−0a−2×(−1)=−1所以点Q的坐标为(−1,−3)故选：A.【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（

）A．(1,−2) B．(2,1)C．(2,−1) D．(−1,2)【解题思路】根据题意设对称点坐标为a,b，从而可得b−1a+2【解答过程】设点A(−2,1)关于直线x+y=0对称的点为a,b，则b−1a+2=1a−22+故选：D.【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（

）A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【解题思路】求出AB的中点，根据A，B两点连线的斜率可求出直线l的斜率，即可求出直线方程.【解答过程】由题意得AB的中点C为(1，1)，又A，B两点连线的斜率为kAB所以直线l的斜率为34，因此直线l的方程为y−1=34(x−1)，即3故选：B．【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得m,n，从而求得m+n的值．【解答过程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，∴线段AB的中点C（1+m2，−2+n2）在直线x+2∴1+m2−2+∴m+2n＝7，而n+2m−1×（−12）＝﹣1，得2解方程组m+2n=72m−n=4，可得m＝3，n∴m+n＝5.故选：C.【题型4直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】（2022·全国·高三专题练习）直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为（

）A．x−3y+1=0 B．x−3y−1=0 C．x−2y−1=0 D．x−2y+1=0【解题思路】先联立方程y=2x+1y=x得−1,−1，再求得直线y=2x+1的点0,1关于直线y=x对称点的坐标为1,0，进而根据题意得所求直线过点−1,−1，1,0【解答过程】解：联立方程y=2x+1y=x得−1,−1，即直线y=2x+1与直线y=x的交点为设直线y=2x+1的点0,1关于直线y=x对称点的坐标为x0所以x02=所以直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线过点−1,−1，1,0所以所求直线方程的斜率为12所以所求直线的方程为y=12故选：C.【变式4-1】（2022·江苏·高二专题练习）两直线l1:2x−y+1=0,l2:y=x，则直线lA．2x−y+1=0 B．x−3y+1=0 C．2x−3y+2=0 D．x−2y−1=0【解题思路】求出两直线的交点，在直线l1上任取一点，求出其关于l【解答过程】联立方程2x−y+1=0y=x，解得x=−1在直线l1:2x−y+1=0上任取一点0,1，其关于l2则直线l1关于直线l2对称的直线方程为y=故选：D.【变式4-2】（2022·江苏·高二专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【解答过程】设对称直线方程为x+2y+c=0，1+11+22=c−1所以所求直线方程为x+2y+3=0.故选：B.【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是25，则直线l1A．x−2y−13=0 B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0 D．x−2y−6=0【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.【解答过程】因为直线l1：x−2y+m=0m>0与l2所以n=−2×2=−4，又两条平行直线l1：x−2y+m=0m>0与l2：2x+ny−6=0所以|2m+6|4+16=2即直线l1：x−2y+7=0，l2：设直线l1关于直线l2对称的直线方程为则|−3−7|5=|−3−c|故所求直线方程为x−2y−13=0，故选：A.【题型5光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A1,0射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C−1,0，则点B的坐标为（A．−2,1 B．0,3 C．−1,2 D．−1,1【解题思路】由题可求A关于直线y=−x+3的对称点为A'及C关于直线y=x+3的对称点为C'，可得直线A'【解答过程】设A关于直线y=−x+3的对称点为A'则y12=−x1设C−1,0关于直线y=x+3的对称点为C则y22=x2∴直线A'C'的方程为：y=2可得x=−1，故B−1,2故选：C.【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x−y+4−23=0C．3x+y+4−23=0【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点A'【解答过程】点A2,4关于x轴的对称点为A又反射光线倾斜角为180∘−60∘=∴反射光线所在直线方程为：y+4=−3x−2，即故选：C.【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线y=x反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（

）A．25 B．26 C．4 【解题思路】作出点A关于直线y=x的对称点C2,1，连接CB，利用光线关于直线对称得到CB【解答过程】作出点A关于直线y=x的对称点C2,1连接CB，交直线y=x于点M，则CB即为光线经过路程的最小值，且CB=此即光线从A到B所经过的距离为26.故选：B．【变式5-3】（2022·山东淄博·高二期末）已知：A0,4，B0,−4，C4,0，E0,2，F0,−2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AEA．−∞,−14 B．−14【解题思路】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.【解答过程】由题意可知：直线BC的方程为y=x−4，直线AC的方程为y=−x+4，如图：设F0,−2关于直线BC的对称点为P(a,b)则b+解得a=2b=−4，故P同理可求P2,−4关于直线AC的对称点为M(8,2)连接MA,ME,ME交AC于N，而MN方程为y=2,联立y=2y=−x+4得N点坐标为N(2,2)连接PA,PN，分别交BC于H,G,PA方程为：y=−4x+4，和直线BC方程y=x−4联立，解得H点坐标为H(8PN的方程为x=2,和直线BC方程y=x−4联立解得G(2,−2)，连接FG,FH,则H,G之间即为动点D点的变动范围，而kFG故FD斜率的取值范围是(−1故选B.【题型6将军饮马问题】【方法点拨】将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B−1,−4，若将军从点A−1,2处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（A．13 B．17 C．217 D．【解题思路】作出图形，求出点B关于直线x+y=3的对称点C的坐标，在直线x+y=3上取点P，利用A、P、C三点共线时PA+【解答过程】如下图所示，设点B关于直线x+y=3的对称点为Ca,b由题意可得a−12+b−42=3在直线x+y=3上取点P，由对称性可得PB=所以，PA+当且仅当A、P、C三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为217故选：C.【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军