人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.1直线的倾斜角与斜率》同步测试题带答案

第第页人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.1直线的倾斜角与斜率》同步测试题带答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示4．两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【题型1直线的倾斜角】【方法点拨】直线倾斜角的概念和范围：(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．【例1】（2022·江苏·盐城市高二阶段练习）直线x−3y+1=0的倾斜角为（A．30° B．45° C．120° D．150°【变式1-1】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））直线3x−3y−2m=0A．120∘ B．60∘ C．30∘【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过A(1,−3)，B(−2,0)两点的直线的倾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【变式1-3】（2021·安徽·高二阶段练习）直线ax+ay+1=0a≠0A．π6 B．π4 C．2π3【题型2直线的斜率】【方法点拨】求直线的斜率：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．【例2】（2022·北京十五中高二期中）如图，直线l1,lA．k4<kC．k4<k【变式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）将直线3x−3y=0绕着原点逆时针旋转A．33 B．−33 C．3【变式2-2】（2021·广东·深圳高二阶段练习）直线y=−tanA．33 B．C．−3 D．【变式2-3】（2021·全国·高二专题练习）已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BCA．33 B．34 C．−3【题型3倾斜角和斜率的应用】【方法点拨】倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．【例3】（2022·全国·高三专题练习）设点A(3,−5)，B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥1或k≤−3 B．−3≤k≤1C．−1≤k≤3 D．以上都不对【变式3-1】（2022·贵州·遵义市高二期中（理））直线l的倾斜角等于直线x−3y=0倾斜角的2倍，则直线A．233 C．23 D．【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，求直线l的倾斜角αA．0,π3∪C．π6,3【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线m:x−2y+2=0，n:2x−y+1=0，若直线l过P(1,3)且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（

）A．−1 B．−23 C．−【题型4两条直线平行的判定】【方法点拨】判断两条不重合的直线是否平行的方法【例4】（2022·江苏·高二课时练习）直线ax−2y−1=0和直线2y−3x+b=0平行，则直线y=ax+b和直线y=3x+1的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【变式4-1】（2022·河南高二阶段练习）若直线x+my+3=0与直线4mx+y+6=0平行，则m=（

）A．12 B．−12 C．12【变式4-2】（2021·山西·怀仁市高二阶段练习）直线l1:a−1x+y+1=0，l2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）满足下列条件的直线l1与l2，其中①l1的斜率为2，l2过点A1,2②l1经过点P3,3，Q−5,3，l2平行于③l1经过点M−1,0，N−5,−2，l2经过点A．①② B．②③C．①③ D．①②③【题型5两条直线垂直的判定】【方法点拨】判断两条直线是否垂直：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．【例5】（2022·江苏·高二课时练习）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(

)A．ax+2y−1=0与2x+ay+2=0 B．6x−4y−3=0与10x+15y+c=0C．2x+3y−7=0与4x−6y+5=0 D．3x−4y+b=0与3x+4y=0【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）下列直线中，与直线l:y=3x+1垂直的是（

）A．直线y=−3x+1 B．直线y=3x−1C．直线y=13x−1【变式5-2】已知直线l1:x−2y+1=0，l2:2x+ay−1=0，若A．1 B．12 C．−12【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习）m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型6垂直与平行的应用】【方法点拨】用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．【例6】（2022·江苏·高二课时练习）已知A−4,3，B2,5，C6,3，D−3,0四点，若顺次连接【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）设A(5,−1)，B(−3,0)，C(2,m)，问是否存在正实数m，使△ABC为直角三角形?【变式6-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O0,0，P1,t，Q1−2t,2+t，R−2t,2，其中【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知A1,2，B5,0，（1）若A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，判断A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形.参考答案【题型1直线的倾斜角】【方法点拨】直线倾斜角的概念和范围：(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．【例1】（2022·江苏·盐城市高二阶段练习）直线x−3y+1=0的倾斜角为（A．30° B．45° C．120° D．150°【解题思路】求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.【解答过程】由题意，直线可化为y=33x+设直线的倾斜角为α，则tanα=因为0°≤α<180°，所以α=30°．故选：A．【变式1-1】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））直线3x−3y−2m=0A．120∘ B．60∘ C．30∘【解题思路】根据直线斜率k=tan【解答过程】直线3x−3y−2m=0中，斜率k=−AB=3又α∈0°,180°，∴α=30°故选：C.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过A(1,−3)，B(−2,0)两点的直线的倾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【解题思路】求出斜率后，由斜率与倾斜角的关系可得倾斜角．【解答过程】由已知直线的斜率为k=0−(−3)−2−1=所以倾斜角α=135°．故选：D.【变式1-3】（2021·安徽·高二阶段练习）直线ax+ay+1=0a≠0A．π6 B．π4 C．2π3【解题思路】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得结果.【解答过程】设直线ax+ay+1=0a≠0的倾斜角为α，则tanα=−1，因为0≤α<π，故故选：D.【题型2直线的斜率】【方法点拨】求直线的斜率：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．【例2】（2022·北京十五中高二期中）如图，直线l1,lA．k4<kC．k4<k【解题思路】直接由斜率的定义判断大小即可.【解答过程】由斜率的定义知，k2故选：D.【变式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）将直线3x−3y=0绕着原点逆时针旋转A．33 B．−33 C．3【解题思路】由题意知直线的斜率为3，设其倾斜角为α，将直线绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线的斜率为tan(α+【解答过程】由3x−3y=0知斜率为3，设其倾斜角为α，则将直线3x−3y=0绕着原点逆时针旋转则tan(α+故新直线的斜率是−3故选：B.【变式2-2】（2021·广东·深圳高二阶段练习）直线y=−tanA．33 B．C．−3 D．【解题思路】利用直线的斜截式方程可求得直线的斜率.【解答过程】直线y=−tan2π3故选：D.【变式2-3】（2021·全国·高二专题练习）已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BCA．33 B．34 C．−3【解题思路】先寻求AB，BC倾斜角之间的关系，然后结合两角和的正切公式即可求解.【解答过程】设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β，则β=α+π3或β=2π3当β=α+π3时，tanβ当β=2π3+α时，tanβ故选：C.【题型3倾斜角和斜率的应用】【方法点拨】倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．【例3】（2022·全国·高三专题练习）设点A(3,−5)，B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥1或k≤−3 B．−3≤k≤1C．−1≤k≤3 D．以上都不对【解题思路】先画出线段AB，之后连接PA，PB求得PA，PB的斜率，通过观察图像找到直线l斜率的取值范围【解答过程】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为kPB=1结合图形可知k≥1或k≤−3故选：A.【变式3-1】（2022·贵州·遵义市高二期中（理））直线l的倾斜角等于直线x−3y=0倾斜角的2倍，则直线A．233 C．23 D．【解题思路】先求出直线x−3y=0倾斜角，即可求出直线【解答过程】直线x−3y=0的斜率k=3所以l的斜率为3.故选：B.【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，求直线l的倾斜角αA．0,π3∪C．π6,3【解题思路】由−1≤k<3，得到−1≤【解答过程】由题意，直线l的倾斜角为α，则α∈0,因为−1≤k<3，即−1≤结合正切函数的性质，可得α∈0,故选：D．【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线m:x−2y+2=0，n:2x−y+1=0，若直线l过P(1,3)且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（

）A．−1 B．−23 C．−【解题思路】根据题意，设直线l的斜率为k，分析直线m、n的交点为(0,1)，设A(0,1)，而点P(1,3)在直线n上，求出tan∠PAB的值，分析可得∠PAB<45°，故A必为顶点，由此可得∠APB=∠ABP，必有2−k1+2k=−【解答过程】解：根据题意，设直线l的斜率为k，直线m:x−2y+2=0，n:2x−y+1=0，两直线相交于点(0,1)，设A(0,1)，点P(1,3)在直线n上，直线l与直线n相交于点B，△PAB为等腰锐角三角形，则tan∠PAB=2−1故A必为顶点，必有k<0则有∠APB=∠ABP，必有2−k1+2k=−12−k则k=−1，故选：A．【题型4两条直线平行的判定】【方法点拨】判断两条不重合的直线是否平行的方法【例4】（2022·江苏·高二课时练习）直线ax−2y−1=0和直线2y−3x+b=0平行，则直线y=ax+b和直线y=3x+1的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【解题思路】利用两直线平行的等价条件即可求解.【解答过程】因为直线ax−2y−1=0和直线2y−3x+b=0平行，所以a=3,b≠1，故直线y=ax+b为y=3x+b，与直线y=3x+1平行故选：B.【变式4-1】（2022·河南高二阶段练习）若直线x+my+3=0与直线4mx+y+6=0平行，则m=（

）A．12 B．−12 C．12【解题思路】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【解答过程】由直线x+my+3=0与直线4mx+y+6=0平行，可得:4m2=1故选:B.【变式4-2】（2021·山西·怀仁市高二阶段练习）直线l1:a−1x+y+1=0，l2A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用直线与直线平行时，斜率相等且截距不相等的性质分别讨论充分性和必要性即可.【解答过程】解：①充分性：当a=2时，l1:x+y+1=0，l2:4x+4y−1=0，所以l1②必要性：l1:a−1x+y+1=0，则a−1a+2−4=0，解得：a=2或当a=−3时，两直线重合，所以a=−3舍去，当a=2时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.所以“a=2”是“l1故选：C.【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）满足下列条件的直线l1与l2，其中①l1的斜率为2，l2过点A1,2②l1经过点P3,3，Q−5,3，l2平行于③l1经过点M−1,0，N−5,−2，l2经过点A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解题思路】从斜率是否相等以及直线是否重合两个角度逐项分析即可.【解答过程】根据两点间的斜率公式知①中l2的斜率为2，但是不能保证l②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证l1故选：B.【题型5两条直线垂直的判定】【方法点拨】判断两条直线是否垂直：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．【例5】（2022·江苏·高二课时练习）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(

)A．ax+2y−1=0与2x+ay+2=0 B．6x−4y−3=0与10x+15y+c=0C．2x+3y−7=0与4x−6y+5=0 D．3x−4y+b=0与3x+4y=0【解题思路】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率之积为－1，则它们垂直.据此即可求解.【解答过程】A：a＝0时，两直线分别为：y=12,x=−1，此时它们垂直；当aB：两直线斜率之积为：64C：两直线斜率之积为：−2D：两直线斜率之积为：34故选：B.【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）下列直线中，与直线l:y=3x+1垂直的是（

）A．直线y=−3x+1 B．直线y=3x−1C．直线y=13x−1【解题思路】由两直线垂直，当斜率存在时，有k1【解答过程】因为直线l:y=3x+1的斜率为3，所以与直线l:y=3x+1垂直的直线的斜率为−13故选：D.【变式5-2】已知直线l1:x−2y+1=0，l2:2x+ay−1=0，若A．1 B．12 C．−12【解题思路】利用一般式下两直线垂直的充要条件“l1【解答过程】由l1故选：A．【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习）m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】求出直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时m的值，再根据充分必要条件的定义即可得出答案.【解答过程】因为直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直，所以m⋅3+2m−1⋅m=0，所以2m2+2m=0所以当m＝－1时，直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直.但直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时，m＝－1不一定成立.所以m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要条件.故选：A.【题型6垂直与平行的应用】【方法点拨】用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．【例6】（2022·江苏·高二课时练习）已知A−4,3，B2,5，C6,3，D−3,0四点，若顺次连接【解题思路】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形ABCD的形状.【解答过程】由斜率公式，得kAB=5−32−−4=1所以kAB=kCD，又因为kAC所以AB//CD．因为kAD≠kBC，所以又因为kAB⋅k故四边形ABCD为直角梯形．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）设A(5,−1)，B(−3,0)，C(2,m)，问是否存在正实数m，使△ABC为直角三角形?【解题思路】由A,B,C分别为直角求解（相应直线斜率乘积为−1）可得．【解答过程】要使△ABC为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在．当A为直角时，则AC⊥A