2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：锐角三角函数（10题）

第1页（共1页）2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：锐角三角函数（10题）一．解答题（共10小题）1．（2024•驻马店模拟）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，如图是某过街天桥的截横面，桥顶AD平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为i=1：3，CD长10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝（1）求点D到地面BC的距离；（2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为AF，则斜面AF的坡角∠F＝30°，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.1m）（参考数据3≈1.732．（2024•瑶海区校级模拟）如图，从A地到B地有两条路线可走，但都要经过一条小河，路线一：A→C→D→B；路线二：A→E→F→B．已知AD∥BE，∠A＝37°，∠B＝53°，AE＝20千米．问：走哪条路线较近？近多少？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）3．（2024•秦都区校级一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC（1）求边AC的长；（2）求tan∠BAD的值．4．（2024•商河县一模）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米（点E，G，C，B在同一水平线上）．（1）小王和小李两人之间的距离CD；（2）此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）5．（2024•伊金霍洛旗校级三模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：23时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．6．（2024•汇川区三模）为了打造和美社区，增强民众生活幸福感，“善美”党群服务队为小区的超市安装了一个遮阳棚．如图在侧面横截示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°．作AF⊥BC交BC于点F（点B、F、C在同一直线上，且点A、B、F、C、D在同一平面内）．（1）求AF和BF的长；（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为2.4米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）7．（2024•东莞市校级二模）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．（1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β；（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝10m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）8．（2024•金凤区校级一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，3≈1.739．（2024•新市区校级三模）小红和小明家分别住在某坡地公园左右两侧同一水平面的A、B两处，步道正好连接了坡地公园顶部C处的平台，周末两人为尽快完成一项共同的工作，决定爬坡到公园坡顶的平台C处（平台间距离忽略不计）商量具体情况，已知两人同时从自己家出门，结果又同时到达了坡地公园顶部C处．经了解，小红家所在水平面与坡面AC的夹角为45°（即∠CAB＝45°），小明家所在水平面与坡面BC的夹角为30°（即∠CBA＝30°），已知小明步行速度是1.5米/秒，求小红的步行速度．（参考数据：2≈1.4，3≈10．（2024•广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73

2025年初中数学复习之小题狂练450题（解答题）：锐角三角函数（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2024•驻马店模拟）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，如图是某过街天桥的截横面，桥顶AD平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为i=1：3，CD长10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝（1）求点D到地面BC的距离；（2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为AF，则斜面AF的坡角∠F＝30°，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.1m）（参考数据3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】（1）点D到地面BC的距离为5m；（2）改建后需占路面宽度FB的长为3.7m．【分析】（1）作DH⊥BC于点H，根据坡度的概念求出DH；（2）过点A作AG⊥BC，根据坡角∠ABC的度数和铅直高DH的长求出水平宽BG、FG的长，进而可由FB＝FG﹣BG求得BF的长．【解答】解：（1）作DH⊥BC于点H，如图1，AD∥BC，∵斜面CD的坡度为i=1：∴tan∠∴∠DCH＝30°，∴DH=12答：点D到地面BC的距离为5m；（2）作AG⊥BC于点G，如图2，∵天桥斜面AB的坡角∠ABC＝45°，∴BG＝AG＝DH＝5cm，∵斜面AF的坡角∠F＝30°，∴tanF=AG∴FG=AGtan30°=∴FB＝FG﹣BG＝53-5≈3.7（m答：此改建需占路面的宽度FB的长约为3.7m．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度＝坡角的正切值．2．（2024•瑶海区校级模拟）如图，从A地到B地有两条路线可走，但都要经过一条小河，路线一：A→C→D→B；路线二：A→E→F→B．已知AD∥BE，∠A＝37°，∠B＝53°，AE＝20千米．问：走哪条路线较近？近多少？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】路线二较近，近2千米．【分析】如图，过点D，E分别作DG⊥BE于G，EH⊥AD于H，四边形DGEH为矩形，根据三角函数值解直角三角形，求出AH，AE，BD，BG即可求解．【解答】解：如图，过点D，E分别作DG⊥BE于G，EH⊥AD于H，由题意得，四边形DGEH为矩形，∴DG＝EH，DH＝GE．在Rt△AEH中，∠A＝37°，AE＝20千米，∴sin37°=EHAE，cos37°∴DG＝EH＝AE•sin37°≈12千米，AH＝AE•cos37°≈16千米．在Rt△BDG中，∠B＝53°，DG＝12千米，∵sin53°=DGBD，tan53°∴BD=DGsin53°≈15千米，BG路线一的长为：l1＝AH+DH+BD＝16+DH+15，路线二的长为l2＝AE+GE+BG＝20+GE+9，l1﹣l2＝2（千米），所以路线二较近，近2千米．【点评】本题考查了解直角三角形实际问题，构造直角三角形并熟练运用数形结合方法及正弦、余弦，正切的定义是解题的关键．3．（2024•秦都区校级一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC=35，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC（1）求边AC的长；（2）求tan∠BAD的值．【考点】解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．【答案】（1）6；（2）617【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．【解答】解：（1）设AC＝3m，∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC=35，tan∠DAC∴CD＝2m，∴4m＝2m+4，解得m＝2，∴AC＝3m＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4，∵AB⋅DE2∴10×DE2解得DE=12∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°，∴AD=62+∴AE=A∴tan∠BAD=DE即tan∠BAD的值是617【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2024•商河县一模）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米（点E，G，C，B在同一水平线上）．（1）小王和小李两人之间的距离CD；（2）此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据坡比的定义即可求解；（2）过点D作DH⊥AB于点H，解Rt△ADH即可求解．【解答】解：（1）∵小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米，∴GC＝3DG＝9（米），∴CD=G（2）解：设AB＝x米，如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∴DH＝GB，BH＝DG＝3，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）米，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x米，∴DH＝GB＝（9+x）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝31°，∴tan∠解得：x≈21，∴AB≈21米．答：无人机的高度约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键．5．（2024•伊金霍洛旗校级三模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：23时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）33米．（2）213米．【分析】（1）根据BQ＝PQ•tan∠BPQ，求解即可．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，设AM＝a米，则BM＝23a米，在Rt△APH中，根据tan∠PAH=PHAH，构建方程求出a，再利用勾股定理求出【解答】解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，∵∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ•tan30°＝9×33=（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，设AM＝a米，则BM＝23a米，∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，∴四边形AHQM是矩形，∴AH＝QM＝（33+23a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a在Rt△APH中，tan∠PAH=PH∴33解得a＝2，∴AM＝2（米），BM＝43（米），∴AB=AM2答：电子眼区间测速路段AB的长213米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2024•汇川区三模）为了打造和美社区，增强民众生活幸福感，“善美”党群服务队为小区的超市安装了一个遮阳棚．如图在侧面横截示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°．作AF⊥BC交BC于点F（点B、F、C在同一直线上，且点A、B、F、C、D在同一平面内）．（1）求AF和BF的长；（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为2.4米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）AF约为4.8米，BF约为1.4米；（2）3.8米．【分析】（1）在Rt△ABF中，根据三角函数，求出AF和BF的长，即可求解；（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，先求出DG＝CG﹣CD＝4.8﹣2.4＝2.4米，根据等腰直角三角形的性质求出AG＝DG＝2.4，证明四边形AGCF为矩形，得出CF＝AG＝2.4米，最后即可求解．【解答】解：（1）在Rt△AFB中，AB＝5米，∠BAF＝16°，∴AF＝AB•cos16°≈5×0.96＝4.8（米）BF＝AB•sin16°≈5×0.28＝1.4（米），答：AF约为4.8米，BF约为1.4米；（2）解：过点A作AG⊥CE，垂足为G，由题意得：AG＝CF，AF＝CG＝4.8米，∵CD＝1.8米，∴DG＝CG﹣CD＝4.8﹣2.4＝2.4（米），在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，∴AG＝DG＝2.4（米），∵∠AFC＝∠C＝∠AGC＝90°，∴四边形AGCF为矩形，∴CF＝AG＝2.4米，∴BC＝BF+CF＝1.4+2.4＝3.8（米），答：遮阳篷靠墙端离地高BC的长为3.8米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．7．（2024•东莞市校级二模）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．（1）如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β；（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝10m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）β＝90﹣α；（2）气球A离地面的高度AD是30m．【分析】（1）由已知直接可得答案；（2）设AD＝xm，可得CD＝AD＝xm，BD＝（20+x）m，tan∠ABD=AD【解答】解：（1）根据题意得：β＝90﹣α；（2）设AD＝xm，∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，∴CD＝AD＝xm，∵BC＝20m，∴BD＝（20+x）m，在RtABD中，tan∠ABD=AD∴tan37°=x∴xx+10=解得x＝30，经检验，x＝30是分式方程的解，∴AD＝30（m），答：气球A离地面的高度AD是30m．【点评】本题考查解直角三角形一仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．8．（2024•金凤区校级一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，3≈1.73【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】6.3cm．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出BM、BD，进而求出CN即可．【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D，在Rt△ABM中，∠A＝60°，AB＝16cm，∴BM＝AB•sinA＝16×＝83（cm），∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°，∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，在Rt△BCD中，BC＝8cm，∠BCD＝70°，∴BD＝BC•sin70°≈8×0.94＝7.52（cm），CN＝DM＝BM﹣BD＝83-≈6.3（cm），答：点C到AE的距离约为6.3cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．9．（2024•新市区校级三模）小红和小明家分别住在某坡地公园左右两侧同一水平面的A、B两处，步道正好连接了坡地公园顶部C处的平台，周末两人为尽快完成一项共同的工作，决定爬坡到公园坡顶的平台C处（平台间距离忽略不计）商量具体情况，已知两人同时从自己家出门，结果又同时到达了坡地公园顶部C处．经了解，小红家所在水平面与坡面AC的夹角为45°（即∠CAB＝45°），小明家所在水平面与坡面BC的夹角为30°（即∠CBA＝30°），已知小明步行速度是1.5米/秒，求小红的步行速度．（参考数据：2≈1.4，3≈【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】1.1米/秒．【分析】过点C作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质分别用CD表示出AC、BC，根据题意列式计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，设小红的步行速度为x米/秒，在Rt△CDB中，∠CBD＝30°，则BC＝2CD，在Rt△CDA中，∠CAD＝45°，则AC=2CD由题意得：ACx=BC解得：x≈1.1，答：小红的步行速度约为1.1米/秒．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握直角三角形的性质是解题的关键．10．（2024•广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°，根据三角函数的定义得到CH＝CD•cos60°＝10m，DH=CDsin60°=103m≈17.3m，根据矩形的性质得到BH＝FD，BF＝DH，求得FD【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°，在Rt△DCH中，∵cos60°=CH∴CH＝CD•cos60°＝10m，∴DH=CDsin60°∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，∴四边形DFBH为矩形，∴BH＝FD，BF＝DH，∵BH＝BC+CH＝（30+10）m＝40m，∴FD＝40m，在