专题38 中考最值难点突破胡不归问题（原卷版）

专题38中考最值难点突破胡不归问题（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

类型一有辅助角(隐含辅助角)

典例1点P在直线上运动“胡不归“问题

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由

于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所心以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图

所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，

小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？何以归”．这

个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？

这就是风靡千百年的“胡不归问题”．

针对训练

1．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点

P是BD上动点，则的最小值是．

3

𝐵+𝐵

2

2．（2021春•丽水期中）如图，ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点．

求：（1）当PD＝▱时，PB最短；

（2）PBPD的最小值等于．

1

+2

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3．（2017春•农安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，

0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次−函数3的表达式及其顶点坐标；

（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形

为菱形，求点M的坐标；

（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．

1

2

类型二构造辅助角

典例2（2021春•金牛区期末）如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点P是线段AD上一动点，连接

BP，则BPDP的最小值为．

1

+2

针对训练

1．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE+CE

1

=3

的最小值为．2

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2．（2020秋•宜兴市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B为（0，1），若C为线段

5

OA上一动点，则BCAC的最小值是．

2

+3

3．（2016•随州中考）如图所示，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、

B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线yx+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析=−式；3

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐

标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿

线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，

23

问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？3

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类型三求PA＋kPB＋PC最短问题

典例3（2022秋•雨花台区校级月考）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个

顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求

的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠

APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时，则PA+PB+PC取得最小值．

（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，

为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转

变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；

知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等

边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探

索以下问题．

（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'

过△ABC的费马点．

（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、

BP、CP，求PA+PB+PC的值．

针对训练

1．（2021春•郫都区校级期中）如图，已知边长为的等边△ABC，平面内存在点P，则PAPB+PC的

取值范围为．2+3

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2．（2018秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若

AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝．

2

模块二2023中考押题预测

1．（2023春•将乐县校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上

的动点，则2AD+DC的最小值是（）

A．6B．8C．10D．12

2．（2023•合肥一模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，

则的最小值为（）

1

𝐴+2𝐴

A．1B．C．D．2

3．（2022秋•任城区校级期末）2如图，△ABC中，AB3＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE

上的一个动点，则CDBD的最小值是（）

5

+5

A．3B．6C．5D．10

553

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4．（2023•邗江区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴的正半轴交于点A，

428

B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5A=C−的9�最小+值3�为（）

A．24B．25C．30D．36

5．（2022•平南县二模）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则

1

的最小值是（）𝐶+2𝐶

A．3B．C．6D．

6．（2022春•覃塘区期中）如3图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边3+BC3的中点，P是对角线BD上

的一个动点，连接AE，AP，若APBP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（）

1

+2

A．ABB．AEC．BDD．BE

7．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE

上的一个动点，则CDBD的最小值是（）

5

+5

A．2B．4C．5D．10

555

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8．（2021•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，

与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQPC的最小值是（）

2

+2

A．6B．2C．2+3D．3

3

9．（2022•南山区模拟）如图，+在2Rt2△ABC中，∠ACB＝920°，∠A＝30°，则2AB＝2BC．请在这一结论的

基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（）

1

+2

A．1B．C．D．2

10．（2022春•武汉期末）如图，2ABCD中∠A＝60°3，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则PD+2PB

最小值为▱．3

11．（2023春•姑苏区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、

3

B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为．�=3�−3

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12．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．

（1）∠ABC＝．

（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝．

1

𝐴+2𝐴

13．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD

3

上动点，连接AP，则APBP的最小值为．

1

+2

14．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，

AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连

接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．

1

2

15．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B

（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一

结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CDAD的最小值为．

1

+2

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16．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的

点D重合．连接DE，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图

��

=

②，在△OPM中，∠OPM＝90°�，�∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的

1

最小值为．��+2𝑃

17．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，

与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标

是，的最小值是．

2��+��

18．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中