专题02 确定二次函数的表达式（解析版）

第二讲确定二次函数的表达式

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一顶点式求表达式.................................................................................................................................2

考点二两点式求表达式...............................................................................................................................4

考点三一般式求表达式.................................................................................................................................7

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必备知识点

知识点1二次函数的解析式的常见形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线

与y轴的交点坐标是（0，c）。

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势

是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）。

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得

到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）。

知识点2二次函数与一元二次方程关系

（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当y＝0时，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a

≠0）．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方ax2＋bx＋c

＝0根的情况）

2

①抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）（x2，0）

当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根x1，x2，

②抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点

当＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根

③抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴没有交点

当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根。

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知识点3待定系数法求二次函数的解析式

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从

而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程

组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴

有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

考点一顶点式求表达式

1．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3

【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），

设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，

把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，

故选：B．

2．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（）

A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4

C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣4

【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，

则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，

将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，

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故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．

故选：C．

3．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于

点C．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．

【解答】解：（1）由抛物线的顶点A（﹣4，﹣1）

设二次函数为y＝a（x+4）2﹣1，

将B（﹣2，3）代入得，3＝a（﹣2+4）2﹣1，

解得a＝1，

∴二次函数为y＝（x+4）2﹣1（或y＝x2+8x+15），

设一次函数的解析式为y＝kx+b，

将A（﹣4，﹣1）和B（﹣2，3）代入得，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝2x+7；

（2）由直线y＝2x+7可知C（0，7），

设P（0，n），

∴PC＝|n﹣7|，

∴S△PAB＝S△PAC﹣S△BPC＝（4﹣2）•|n﹣7|＝9，

∴|n﹣7|＝9，

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∴n＝﹣2或16，

∴P（0，﹣2）或P（0，16）．

考点二两点式求表达式

4．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P

点的坐标．

【解答】解：（1）把点A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，

∴B（0，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝2，

∴P（1，2）．

5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y

轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）求△CDB的面积．

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（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写

出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）（x﹣3）．

把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．

a＝﹣1．

故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．

（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．

∵B（3，0），C（0，3），

∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，

∴BD2＝BC2+CD2．

∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．

∴S△BCD＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．

（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，

①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），

根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，

又∵P点（x，y）在抛物线上，

∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，

解得x1＝，x2＝＜1（舍去），

∴x＝，

∴y＝4﹣x＝，

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即点P坐标为（，）．

②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，

由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），

∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．

6．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D

的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），

将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝，

∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，

故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，

（2）如图，

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设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，

设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：

，解得，

∴直线AC：y＝x﹣2，

设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），

S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝×DE×xA＝×DE×4＝2DE，

∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，

222

∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x+2x）＝﹣x+4x＝﹣（x﹣2）+4，

∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2＝﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），

此时△DCA的面积最大，最大值为4．

考点三一般式求表达式

7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点

为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P

的坐标；若不存在，请说明理由．

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【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），

∴，

解得b＝﹣2，c＝﹣3，

∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）存在，理由如下：

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D点坐标为（1，4），

令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，

∴C点坐标为（0，﹣3），

又∵B点坐标为（2，﹣3），

∴BC∥x轴，

∴S△BCD＝×2×1＝1，

设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），

22

∴S△PBC＝×2×|m﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m﹣2m|，

当|m2﹣2m|＝4×1时，

解得m＝1±，

当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，

当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，

综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．

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8．已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经

过点A和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；

（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线

PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，

∴A（4，0）、B（0，4），

代入抛物线得：，

∴b＝1，c＝4，

∴抛物线的解析式为：．

（2）由＝，

可得抛物线的对称轴为直线x＝1，

当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，

∴C（1，3），

∴．

（3）如图，设点P的坐标为（t，0），

∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵PQ∥AB，

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∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，

∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，

∴四边形DPOQ为矩形，

∵OP＝OQ，

∴四边形DPOQ为正方形，

∴DP＝DQ＝OP＝t，

∴四边形DPOQ为正方形，

∴D（t，t），

∴，

解得：，（不合题意，舍去），

∴点P是坐标为：（，0）．

9．如图，二次函数