专题25 解答题重点出题方向解直角三角形的实际应用（原卷版）

专题25解答题重点出题方向解直角三角形的实际应用（原卷版）

模块一2022中考真题集训

类型一坡度坡角问题

1．（2022•菏泽）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至

30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结

果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

2．（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库

大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新

起点A与原起点B之间的距离．

3

（参考数据：1.41，1.73．结果精确到0.1m）

2≈3≈

3．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进

行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便

通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．

（1）求该斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）

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4．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角为75°，梯子

AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，

α

tan75°≈3.73）

5．（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再

从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠

ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．

（1）求∠ACB的度数；

=2

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．

类型二仰角俯角问题

6．（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖

恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场

进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两

点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

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7．（2022•陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住

楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来

到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正

好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，

OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．

8．（2022•钢城区）如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿

BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E

到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．

（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；

（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，

）

2≈

1.41

9．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建

筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡

坡度i＝3：4，即tan，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．

3

（结果精确到0.1m，θ参=考4数据：1.732）

3≈

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10．（2022•营口）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A

处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是

22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图

中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°

≈1.6）

11．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民

楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为，cos．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为

4

°，在点处测得楼顶端的仰角为°（点，，，在同一平面内）．

60DA30AαBCα=D5

（1）求C，D两点的高度差；

（2）求居民楼的高度AB．

（结果精确到1m，参考数据：1.7）

3≈

12．（2022•襄阳）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革

命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小

组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C

的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：

sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

13．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C

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处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端

A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的

距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：1.7）

3≈

14．（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航

天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F

到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端

G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），

在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），

请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

15．（2022•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络

全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在

坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为

30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数

据：sin53°，cos53°，tan53°）

434

（）求坡面的坡度；

1≈C5B≈5≈3

（2）求基站塔AB的高．

16．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面

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示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的

俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．

（1）求该滑雪场的高度h；

（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时

造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、

乙两种设备每小时的造雪量．

17．（2022•西藏）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树

顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高

度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

18．（2022•大连）如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运

行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，

测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．

（1）索道车从A处运行到B处的距离约为米；

（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

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19．（2022•河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，

从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，

求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

类型三方向角问题

20．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点

C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点

B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到

达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据：1.414，1.732）

2≈3≈

21．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，

他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，

此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

3

（1）求点D与点A的距离；

（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

22．（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C

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在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，

当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结

果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

23．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走

公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离

CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D

处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．

（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈

2.48）

24．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到

C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的

距离（结果取整数）．

（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，1.414）

2≈

25．（2022•恩施州）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸，碧波荡漾，相映成趣．某活动小

组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m

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到达D点，测得古亭B位于北偏东45°．求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：1.41，1.73，

结果精确到1m）．

2≈3≈

26．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东

60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km

内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：1.414，1.732）

2≈3≈

27．（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念

园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两

村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？

试通过计算加以说明．（参考数据：1.73，1.41）

3≈2≈

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类型四解直角三角形的应用

28．（2022•通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，

1.7）．

3≈

29．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间

的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

30．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已

知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两

固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）

2≈3≈

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31．（2022•济宁）知识再现

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．

∵sinA，sinB，∴c，c．∴．

������

拓展探=究====

��𝑠𝑖𝑠𝑖𝑠𝑖𝑠𝑖

如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．

请探究，，之间的关系，并写出探究过程．

���

解决问题

𝑠𝑖𝑠𝑖𝑠𝑖

如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，

∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

32．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处

于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，

AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．

（1）求A、C两点之间的距离；

（2）求OD长．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）

5≈

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模块二2023中考押题预测

33．（2022•新市区校级一模）如图所示，我区某中学课外活动小组的同学，利用所学知识去测某段诺敏河

的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在A处50米远的B处测得∠CBD

＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（结果保留根号）

34．（2023•泗洪县一模）如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB＝CD，坝顶BC＝2m，坝高

CH＝5m，迎水坡AB的坡度i＝1：1．

（1）求坝底AD的长；

（2）为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡

坡角改为＝30°，求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：≈3.14，，；

结果精确到0.1m3）

απ2≈1.413≈1.73

35．（2023•景县校级模拟）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯

水平方向的长度DF相等．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若滑梯的长度BC＝10米，DE＝8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；

（3）在（2）的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之

向右移动．

①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；

②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．

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36．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟

下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和

60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：1.414，1.732，结果精确到0.1

米）

2≈3≈

37．（2023•凤翔县模拟）如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处

的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.42，

tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14）

38．（2023•长沙一模）长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度MN＝270m．电视塔集广播

电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为15°，

由点A往前走640m至点B处，测得电视塔顶P处仰角为45°，请求出电视塔的高度NP．（假设图中A、

B、M三点在一条直线上，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

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39．（2022•市南区一模）如图，斜坡AB的坡角为33°，BC⊥AC，现计划在斜坡AB中点D处挖去部分坡

体，用于修建一个平行于水平线CA且长为12m的平台DE和一条坡角为45°的新的陡坡BE．建筑物

GH距离A处36米远（即AG为36米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角为36°．图中各点均在

同一个平面内，且点C、A、G在同一条直线上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（结果精确到1m）

（参考数据：sin33°，cos33°，tan33°，sin36°，cos36°，tan36°）

11213347

≈20≈20≈5≈5≈5≈10

40．（2023•合肥一模）为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销

售，空地南北边界AB∥CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，

在点D的北偏东48°方向，BC＝780米，求空地南北边界AB和CD的长（结果保留整数，参考数据：

tan48°≈1.1，tan58°≈1.6）．

41．（2023•瑶海区校级模拟）李俊、王可和张立三位同学在老师的带领下到荒地开展植树活动，如图，点A，

B，C分别是他们三人所在的植树位置，点A在点B的北偏东45°方向上，点C在点B的北偏东82°方

向上，且点C在点A的正南方向，若点B到点C的距离为80米，求点A到点B的距离．（参考数据：1.73，

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

3≈

42．（2022•铜仁市校级模拟）为了保证龙舟赛在我市锦江河顺利举办，工作人员乘快艇到锦江水域考察水

情，以每秒14米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东

30°方向上，继续行驶46秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示．求建筑物P

到赛道AB的距离．（结果保留根号）

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43．（2023•全椒县模拟）在湖面上修建一座观景桥MN是乡村振兴战略中一项重要工程．在观测点A，B两

处测得∠BAM＝90°，∠ABN＝112°，∠BNM＝105°，AB＝1千米，BN＝0.5千米，求观景桥MN的

长．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．

44．（2023•鄞州区校级一模）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B

旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．

（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；

（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转