专题20二次函数与对称变换综合问题 （原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题20二次函数与对称变换综合问题

【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．

例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．

（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐

标．写出抛物线的“镜像抛物线”为．

（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x

轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接

BC，CC'，B'C'，BB'．

①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．

②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）

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【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），

与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．

（1）求二次函数的解析式；

（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与

PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐

标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC

于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l

的解析式；若不存在，请说明理由．

（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐

标．

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2

【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线

L1对称抛物线L2的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为

m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．

一．解答题（共20题）

1．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．

（1）求二次函数的顶点坐标；

（2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，

将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．

①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；

②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是．

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2．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，

m+3）．其中，m≠0．

（1）当m＝1时．

①该二次函数的图象的对称轴是直线．

②求该二次函数的表达式．

（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．

（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．

2

3．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且（x1

＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．

（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，

①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；

②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：

此二次函数有两个不同的“零和点”；

（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．

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4．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．

（1）求二次函数的对称轴；

（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次

函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．

2

5．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x

﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．

（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；

（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；

（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2

时，求n的值．

6．（2022•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．

（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；

（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；

（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结

合图象，直接写出x1的取值范围．

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7．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B

（4，0）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段

DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；

②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，

求点P的坐标；

（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，

直接写出T的坐标．

8．（2022秋•乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；

（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．

（4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积

的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．

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9．（2022秋•永城市月考）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点

C，且过点D（﹣1，4）．

（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；

（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；

（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．

10．（2022秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等

腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直

线l平移的最远距离；

（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C

是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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11．（2022秋•西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互

为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．

（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O

的“对称函数”的函数解析式为；

（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数

值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；

（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C

互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线

段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．

12．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．

（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；

（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标

是．

（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；

（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．

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13．（2022春•西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已

知AO＝8，AD＝10．

（1）求F点的坐标；

（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知

抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M（5，﹣5）是否在

该抛物线上．

（3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF

与∠MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xP的取值范围．

14．（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x

＝1，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；

（3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点

F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

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15．（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点

及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不

存在，请说明理由；

（3）若点P为O上的动点，且O的半径为，求的最小值．

⊙⊙

16．（2022•南京模拟）已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记

为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛

物线于点E．

（1）求点D的纵坐标．

（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．

（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．

（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶

点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．

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17．（2021•九龙坡区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的

图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．

（1）求二次函数的解析式；

（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求

四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；

（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的

对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标．

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18．（2022•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点

A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得

最大值时点P的坐标；

（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，

且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于

点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．

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19．（2022秋•甘井子区校级月考）抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点

C、D关于抛物线的对称轴对称．

（1）抛物线的解析式是，△ABD的面积为；

（2）在直线AD下方的抛