专题23 解答题重点出题方向反比例函数与几何综合专项训练（解析版）

专题23解答题重点出题方向反比例函数与几何综合专项训练（解析版）

模块一2022中考真题集训

1．（2022•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于

�

点B．=�

（1）k＝4，b＝2；

（2）连接并延长AO，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为

�

顶点的三角形与△AOB相似，求点D的=坐�标．

思路引领：（1）将点A（1，4）分别代入反比例函数y（k≠0）和一次函数y＝2x+b的解析式中，求

�

解即可；=�

（2）根据题意，需要分类讨论：当点D落在y轴的正半轴上，当点D落在y轴的负半轴上，△COD∽

△AOB或△COD∽△BOA，依次根据比例关系，求解即可．

解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y（k≠0）的解析式中，

�

∴k＝1×4＝4；=�

将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b，

∴2×1+b＝4，

解得b＝2．

故答案为：4；2．

（2）当点D落在y轴的正半轴上，

则∠COD＞∠ABO，

∴△COD与△ABO不可能相似．

当点D落在y轴的负半轴上，

若△COD∽△AOB，

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∵CO＝AO，BO＝DO＝2，

∴D（0，﹣2）．

若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB，

∵OA＝CO，BO＝2，

=17

∴DO，

17

=

∴D（0，2），

17

−

综上所述：点2D的坐标为（0，﹣2），（0，）．

17

总结提升：本题是反比例函数与一次函数的−交2点问题，考查了待定系数法求函数的系数，三角形相似的

性质，解题的关键根据相似三角形的性质进行分类讨论．

2．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，与x

8

轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于=直�线AD的对称点为点E．

（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．

①求k、b的值；

②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．

思路引领：（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接

8

CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E�（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；

4

（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂�直平分CE，求得CHAD，设点A的坐标为（m，），

18

=

得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（20，2）代入y＝kx+b得，解方�程

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组即可得到结论；

②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点

P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．

解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，

理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，

8

=�

∴设点A的坐标为（m，），

8

∵点C关于直线AD的对�称点为点E，

∴AD⊥CE，AD平分CE，

如图．连接CE交AD于H，

∴CH＝EH，

∵BC＝CD，OC⊥BD，

∴OB＝OD，

∴OCAD，

1

∵AD⊥=x2轴于D，

∴CE∥x轴，

∴E（2m，），

4

∵2m�8，

4

∴点×E在�这=个反比例函数的图象上；

（2）①∵四边形ACDE为正方形，

∴AD＝CE，AD垂直平分CE，

∴CHAD，

1

=2

设点A的坐标为（m，），

8

∴CH＝m，AD，�

8

=

∴m，�

18

∴m＝=2（×负�值舍去），

∴A（2，4），C（0，2），

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把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，

2�+�=4

∴�=2；

�=1

②延�=长2ED交y轴于P，

∵CB＝CD，OC⊥BD，

∴点B与点D关于y轴对称，

∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，

则点P即为符合条件的点，

由①知，A（2，4），C（0，2），

∴D（2，0），E（4，2），

设直线DE的解析式为y＝ax+n，

∴，

2�+�=0

∴4�+�，=2

�=1

∴直�线=−DE2的解析式为y＝x﹣2，

当x＝0时，y＝﹣2，

∴P（0，﹣2）．

故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．

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总结提升：本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的

解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．

3．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（4，

0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两

�

点．=�

（1）求该反比例函数的解析式及m的值；

（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．

思路引领：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y可得反比例函数的解析式为y，即得m4；

�1616

====

（2）连接AC，BD交于H，由C（4，4），�P（﹣8，﹣2）得直线CD的解析�式是yx+24，即得D（0，

1

2），根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（=42，4）可得H（4，

2），设B（p，q），有，可解得B（8，2），从而可知B在反比例函数y的图象上．

�+0

2=416

�+2=�

=2

解：（1）把P（﹣8，﹣22）代入y得：

�

=

﹣2，�

�

解得=k−＝816，

∴反比例函数的解析式为y，

16

=�

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∵C（4，m）在反比例函数y的图象上，

16

=

∴m4；�

16

==

∴反比例4函数的解析式为y，m＝4；

16

=

（2）B在反比例函数y的�图象上，理由如下：

16

连接AC，BD交于H，=如图�：

把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：

，

4�+�=4

解−得8�+�=，−2

1

�=2

∴直线�C=D2的解析式是yx+2，

1

=

在yx+2中，令x＝0得2y＝2，

1

∴D=（02，2），

∵四边形ABCD是菱形，

∴H是AC中点，也是BD中点，

由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），

设B（p，q），

∵D（0，2），

∴，

�+0

2=4

�+2

解得2=2，

�=8

∴B（�8，=22），

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在y中，令x＝8得y＝2，

16

=

∴B在反�比例函数y的图象上．

16

总结提升：本题考查=反�比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法，菱形的性质及应用，函数图象上点

坐标的特征等，解题的关键是求出点B的坐标．

4．（2022•济南）如图，一次函数yx+1的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y

1�

轴交于点B．=2=�

（1）求a，k的值；

（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．

①求△ABC的面积；

②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

请求出所有符合条件的点P坐标．

思路引领：（1）将点A的坐标代入y求得a，再把点A坐标代入y求出k；

1�

（2）先求出A，B，C三点坐标，作=CF2⊥�x+轴1于F，交AB于E，求出点E坐=标�，从而求得CE的长，进

而求得三角形ABC的面积；

（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边

时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y求得点P的横坐标．

12

=

解：（1）把x＝a，y＝3代入yx+1得，�

1

=

，2

1

�+1=3

2∴a＝4，

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把x＝4，y＝3代入y得，

�

=

3，�

�

∴=k＝412；

（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，

∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，

把y＝6代入y得x＝2，

12

∴C（2，6），=�

①如图1，

作CF⊥x轴于F，交AB于E，

当x＝2时，y2，

1

∴E（2，2），=2×2+1=

∵C（2，6），

∴CE＝6﹣2＝4，

∴xA8；

△𝐴�11

②�如图2=，2𝐶⋅=2×4×4=

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当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，

∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，

∴yP＝1+3﹣0＝4，

当y＝4时，4，

12

∴x＝3，=�

∴P（3，4），

当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的ABQ′P′），

由yQ′﹣yB＝yP′﹣yA得，▱

0﹣1＝yP′﹣3，

∴yP′＝2，

当y＝2时，x6，

12

∴P′（6，2）=，2=

综上所述：P（3，4）或（6，2）．

总结提升：本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边

形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．

5．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标

是（﹣4，8），反比例函数＜的图象经过点C．

�

（1）求反比例函数的解析式�=；�(�0)

（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．

𝐶3

=

��4

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思路引领：（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出OA

＝BC＝AB＝5，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；

（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，

1612

然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．��=7��=7

解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：

∵四边形OABC是菱形，

设点A为（0，m），

∴OA＝BC＝AB＝m，

∵点B为（﹣4，8），

∴BF＝4，AF＝8﹣m，

在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，

解得：m＝5，

∴OA＝BC＝AB＝5，

∴点C的坐标为（﹣4，3），

把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，

�

�=

∴反比例函数的解�析式为＜；

12

�=−�(�0)

（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，

∵，

𝐶3

=

∴��4，

��4

=

∵D��G∥C7H，

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∴△ODG∽△OCH，

∴，

������4

===

∵�点�C的�坐�标为�（�﹣47，3），

∴OH＝4，CH＝3，

∴，

����4

==

∴43，7，

1612

��=7��=7

∴点D的纵坐标为，

12

∵DE∥x轴，7

∴点E的纵坐标为，

12

∴，解得7x＝﹣7，

1212

=−

∴点7E的坐�标为（﹣7，）．

12

7

总结提升：本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等

知识，解题的关键是熟练理解题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．

6．（2022•聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，

�

=

q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂�足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△

AOB：S△COD＝3：4．

（1）求k，p的值；

（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．

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思路引领：（1）根据解析式求出B点的坐标，根据A点的坐标和B点的坐标得出三角形AOB的面积，

根据面积比求出三角形COD的面积，设出C点的坐标，根据面积求出k的值，再用待定系数法求出p

即可；

（2）根据C点的坐标得出E点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可．

解：（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，

∴B（0，3），

即OB＝3，

∵点A的横坐标为2，

∴S△AOB3，

1

=×3×2=

∵S△AOB：S2△COD＝3：4，

∴S△COD＝4，

设C（m，），

�

∴m•�4，

1�

=

解得2k＝�8，

∵点A（2，q）在双曲线y上，

8

∴q＝4，=�

把点A（2，4）代入y＝px+3，

得p，

1

=

∴k＝82，p；

1

=2

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（2）∵C（m，），

�

∴E（m，m+3）�，

1

∵OE将四2边形BOCE分成两个面积相等的三角形，

∴S△BOE＝S△COE，

∵S△BOE，S△COE（）﹣4，

3�1

=�=�+3

∴2（）﹣24，2

3�1

�=�+3

解得2m＝42或2m＝﹣4（不符合题意，舍去），

∴点C的坐标为（4，2）．

总结提升：本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比

例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．

7．（2022•大庆）已知反比例函数y和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b）

��

两点．=�+3

（1）求反比例函数的关系式；

（2）如图，函数yx，y＝3x的图象分别与函数y（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存

1�

在点P，使得△ABP=周3长最小？若存在，求出周长的=最�小值；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）把（3a，b），（3a+1，b）代入y＝x﹣1中，列出方程组进行计算即可解答；

�

（2）作点B关于y轴的对称点B′，连+接3AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP

周长最小，先求出A，B两点坐标，从而求出AB的长，

再根据点B与点B′关于y轴对称，求出B′的坐标，从而求出AB′的长，进而求出△ABP周长的最小

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值．

解：（1）把（3a，b），（3a+1，b）代入y＝x﹣1中可得：

�

+

，3

�=3�−1

�

解得：k＝3，

�+3=3�+1−1

∴反比例函数的关系式为：y；

3

（2）存在，=�

作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP周长

最小，

由题意得：，

3

�=�

�=3�

解得：或，

�=1�=−1

∴B（1，�3=），3�=−3

由题意得：，

3

�=�

1

解得：�或=3�，

�=3�=−3

∴A（3，�1=），1�=−1

∴AB＝2，

∵点B与点2B′关于y轴对称，

∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，

∴AB′＝2，

∴AP+BP＝A5P+B′P＝AB′＝2，

∴AP+BP的最小值为2，5

∴△ABP周长最小值＝252，

∴△ABP周长的最小值为52+2．

5+2

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总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，根据题目

的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y（x＞0）和y（x＞0）的

�1�2

图象上，且点A的坐标为（1，4）．=�=�

（1）求k1，k2的值；

（2）若点C，D分别在函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在

�1�2

点C，D，使得△COD≌△AO=B．�若存在，请直=接写�出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；

（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，

可得结论．

解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，

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∵A（1，4），

∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，

∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，

∴∠AOG＝∠OBH，

∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，

∴△AGO≌△OHB（AAS），

∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，

∴B（4，﹣1），

∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；

（2）存在，

如图2，∵△COD≌△AOB，

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∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，

∴C（4，1），D（1，﹣4）．

总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴

对称图形是解本题的关键．

9．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B

在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上．

8

（1）求m的值和点D的坐标；=�

（2）求DF所在直线的表达式；

（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

思路引领：（1）根据平移的特点和反比例函数的性质解答即可；

（2）利用等腰直角三角形的性质求出D，F点的坐标，再利用待定系数法解答即可；

（3）联立两个函数解析式，根据三角形的面积公式解答即可．

解：（1）过A点作AH⊥BO于H，

∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），

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∴OH＝AH＝2，

∴m＝﹣2，

由平移可得D点纵坐标和A点纵坐标相同，设D（n，2），

∵D在y图像上，

8

∴n＝4，=�

∴D（4，2）．

（2）过D作DM⊥EF于M，

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴∠DFM＝45°，

∴DM＝MF＝2，

由D（4，2）得F（6，0），

设直线DF的表达式为：y＝kx+b，将F（6，0）和D（4，2）代入得：

，

2=4�+�

解0得=：6�+�，

�=−1

∴直线D�F=的6表达式为y＝﹣x+6．

（3）延长FD交y图像于点G，

8

=�

，

�=−�+6

8

�=

解得：�，，

�1=4�2=2

∴G（2，�14=），2�2=4

由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，

∴S△EFGEF•Gy4×4＝8．

11

=2=2×

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总结提升：本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质

是解答本题的关键．

10．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．

（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；

（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的

解析式．10

思路引领：（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接利用反比例

函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取值范围；

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角形，得出：

∠AOE＝45°，OAAE＝2，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得

D（1，﹣1），再根据=对2称性可得2C（﹣1，1），运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．

解：（1）设反比例函数y2，把A（2，2）代入，得：2，

��

解得：k＝4，=�=2

∴y2，

4

=

由�，解得：，，

�=�

�1=2�2=−2

∴（﹣4，﹣），12

B�=�22�=2�=−2

由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；

注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

∵A（2，2），

∴AE＝OE＝2，

∴△AOE是等腰直角三角形，

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∴∠AOE＝45°，OAAE＝2，

∵四边形ACBD是菱形=，22

∴AB⊥CD，OC＝OD，

∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，

∵∠DFO＝90°，

∴△DOF是等腰直角三角形，

∴DF＝OF，

∵菱形ACBD的周长为4，

∴AD，10

=10

在Rt△AOD中，OD，

2222

∴DF＝OF＝1，=𝐶−��=(10)−(22)=2

∴D（1，﹣1），

由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），

设直线AD的解析式为y＝mx+n，

则，

�+�=−1

解得2�：+�=2，

�=3

∴AD所�在=直−线4的解析式为y＝3x﹣4；

同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为yx，BD所在直线的解析式

14

=+

为yx．33

14

=3−3

总结提升：本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例函数的图象

和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，熟练掌握待定系数法是

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解题关键．

11．（2022•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象交于

�

=

点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．�

（1）求k与m的值；

（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．

7

2

思路引领：（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反

比例函数的解析式中，可得结论；

（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．

解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k，

1

=

∴yx+2，2

1

=

把A（22，n）代入yx+2，得n＝3，

1

∴A（2，3），=2

把A（2，3）代入y，得m＝6，

�

=�

∴k，m＝6；

1

=2

（2）当x＝0时，y＝2，

∴B（0，2），

∵P（a，0）为x轴上的动点，

∴PC＝|a+4|，

∴S△CBP•PC•OB|a+4|×2＝|a+4|，S△CAPPC•yA|a+4|×3，

1111

=2=2×=2=2×

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∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，

∴|a+4||a+4|，

37

=+

∴2a＝3或﹣211．

总结提升：本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数

构建方程解决问题．

12．（2022•眉山）已知直线y＝x与反比例函数y的图象在第一象限交于点M（2，a）．

�

（1）求反比例函数的解析式；=�

（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b

�

的值；=�

（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

思路引领：（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；

（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；

（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，即可根据A、B坐标证明△AOE≌△BOF（SAS），

得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐标即可得到OC＝OD，即可证明△AOD≌△BOC．

（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），

∴a＝2，

∴将M（2，2）代入中，得k＝4，

�

�=

∴反比例函数的解析式为�；

4

�=�

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，

4

�=

∵点A（1，m）在的图象上，�

4

�=�

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∴m＝4，

∴A（1，4），

由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，

将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；

（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．

由（1）知，反比例函数的解析式为，

4

�=

∵点B（n，﹣1）在的图象上，�

4

∴n＝﹣4，�=�

∴B（﹣4，﹣1），

∵A（1，4），

∴AE＝BF，OE＝OF，

∴∠AEO＝∠BFO，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，

由（2）知，b＝3，

∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，

又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，

∴C（﹣3，0），D（0，3），

∴OC＝OD，

在△AOD和△BOC中，

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，

��=��

∠𝐷�=∠���

∴�△�A=O�D�≌△BOC（SAS）．

总结提升：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判

定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．

13．（2022•乐山）如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（﹣1，n），直线

�

l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．=�

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

思路引领：（1）将A点坐标代入直线l解析式，求出n的值，确定A点坐标，再代入反比例函数解析式

即可；

（2）通过已知条件求出直线l′解析式，用△BOC的面积﹣△ACD的面积解答即可．

解：（1）∵点A（﹣1，n）在直线l：y＝x+4上，

∴n＝﹣1+4＝3，

∴A（﹣1，3），

∵点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，

�

∴k＝﹣3，=�

∴反比例函数的解析式为y；

3

（2）易知直线l：y＝x+4与=−x、�y轴的交点分别为B（﹣4，0），C（0，4），

∵直线l′经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，

∴直线l′与x轴的交点为E（2，0），

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设l′：y＝kx+b，则，

3=−�+�

解得：，0=2�+�

�=−1

∴l′：y�＝=﹣2x+2，

∴l′与y轴的交点为D（0，2），

∴阴影部分的面积＝△BOC的面积﹣△ACD的面积4×42×1＝7．

11

=2×−2×

总结提升：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的

解析式是解题的关键．

14．（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1（x＜0）、y2（x＞0，

2�

k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连=接�AB、PQ，已=知�点A的

纵坐标为﹣2．

（1）求点A的横坐标；

（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．

思路引领：（1）把y＝﹣2代入y1（x＜0）即可求得；

2

=�

（2）求得B（2，），即可得到PC＝OQ∴AC＝2，BC＝1+2＝3，然后根据S＝S△ABC﹣S△PQC即

���

=+

可得到结论．222

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解：（1）∵点A在函数y1（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，

2

=

∴﹣2，解得x＝﹣1，�

2

∴点A=的�横坐标为﹣1；

（2）∵点B在函数y2（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，

�

=�

∴B（2，），

�

∴PC＝OQ2，BQ＝2，

�

∵A（﹣1，=﹣22），

∴OP＝CQ＝1，AP＝2，

∴AC＝2，BC＝1+2＝3，

�

+2

∴S＝S△ABC﹣S△PQCAC•BCPC•CQ1＝3k．

111�1�1

总结提升：本题考查=了2反比例函−数2系数k=的2几×何3意×义(2，+反2比)−例2函×数2图×象上点+的2坐标特征，三角形的面积，

表示出线段的长度是解题的关键．

15．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A

�

=

（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．�

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C

的坐标．

思路引领：（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（m，

�

=

﹣1）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，�B两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，求出k、b

的值即可得出其解析式；

（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC＝2AD可得DC＝6，从而得点C的坐标．

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解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y的图象上，

�

=

∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，�

∴其函数解析式为y；

2

∵B（m，﹣1）在反=比−例�函数的图象上，

∴﹣m＝﹣2，

∴m＝2，

∴B（2，﹣1）