专题12 二次函数-阿氏圆求最小值（解析版）

第十二讲二次函数--阿氏圆求最值

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必备知识点

点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平

面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古

希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，

连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为

动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：

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【破解策略详细步骤解析】

例题演练

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x

﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶

点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AM+CM它的

最小值．⊙

【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；

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（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝2x+4，

设E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四边形GEOB是平行四边形，

∴EG＝OB＝4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，

∴m＝﹣2

∴G（﹣2，4）．

（3）①如图1，

由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，

∴设E（a，2a+4），

∵直线AC：y＝﹣x﹣6，

∴F（a，﹣a﹣6），

设H（0，p），

∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，

∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF为对角线，

∴EF与AH互相平分，

∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），

∴a＝﹣2，P＝﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

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②如图2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH＝，AE＝2，

设AE交E于G，取EG的中点P，

∴PE＝⊙，

连接PC交E于M，连接EM，

∴EM＝EH＝⊙，

∴＝，

∵＝，

∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴，

∴PM＝AM，

∴AM+CM的最小值＝PC，

设点P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，

∵PE＝，

∴5（p+2）2＝，

∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（﹣，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC＝＝，

即：AM+CM的最小值为．

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2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，

且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；

（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？

求出此时点E，H的坐标；

（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上以动点，求AM+CM

的最小值．⊙

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【解答】解：（1）将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；

（2）如图，当点E运动到（﹣2，0）时，四边形EAFH是矩形，

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：

，

解得：，

∴线AB的解析式为y＝2x+4，

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∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，此时，EF与AH互相平分，

设E（m，2m+4），H（0，t）则F（m，﹣m﹣6），

∵A（﹣4，﹣4），

∴，

解得：

∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；

（3）如图，

由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH＝，AE＝2，

设AE交E于点G，取GE的中点P，则PE＝，

设P（k，⊙2k+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（）2，

∴k＝﹣或k＝﹣（舍去），

∴P（，﹣1），

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∵C（0，﹣6），

∴PC＝＝，

连接PC交E于点M，连接EM，则EM＝EH＝，

⊙

∴＝＝，

∵＝＝，

∴＝，

∵∠PEM＝∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴＝＝，

∴PM＝AM，

∴AM+CM＝PM+CM，

∴当P、M、C三点共线时，AM+CM取得最小值即PC的长，

∴AM+CM最小值为．

3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点

C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，

若不存在，请说明理由；

（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为B上的一个动点，连接AQ，CQ，

求AQ+CQ的最小值．⊙

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【解答】解：（1）线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，

∴∠CAB＝120°，AB＝AC，

∴∠OAC＝60°，

∴OA＝AC•cos60°＝AC，OC＝AC•sin60°＝AC，

∵点B的坐标为（3，0），

∴OB＝3即OA+AC＝3，

∴OA＝1，AC＝2，OC＝，

∴A（1，0），C（0，），

又B（3，0），

将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c得：

，解得，

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+；

（2）抛物线y＝x2﹣x+的对称轴是直线x＝2，抛物线的对称轴上存在一点P，使△

ACP为直角三角形，设P（2，m），

分三种情况：

①若∠PCA＝90°，如答图1：

过P作PD⊥y轴于D，

∵A（1，0），C（0，），P（2，m），

∴OA＝1，OC＝，CD＝m﹣，PD＝2，

∵∠DPC＝90°﹣∠DCP＝∠AOC，∠PDC＝∠AOC＝90°，

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∴△PDC∽△COA，

∴即，

解得m＝，

∴P坐标为（2，），

②若∠CAP＝90°，对称轴与x轴交于E，如答图2：

∵A（1，0），C（0，），P（2，m），

∴OA＝1，OC＝，PE＝m，AE＝1，

同理可知△AOC∽△PEA，

∴即，

解得m＝，

∴P（2，），

③若∠APC＝90°，

∵以AC为直径的圆与对称轴无交点，

∴点P不存在，

综上所述，△ACP为直角三角形，P坐标为（2，）或（2，）；

（3）在AB上取BM，使BM＝BQ，连接CM，如答图3：

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∵A（1，0），B（3，0），

∴AB＝2，

以点B为圆心，以1为半径画圆，

∴BQ＝1，

∴＝，且∠QBM＝∠ABQ，

∴△ABQ∽△QBM，

∴，即QM＝AQ，

∴AQ+CQ的最小即是QM+CQ最小，

∴当C、Q、M共线时，AQ+CQ的最小为CM的长度，

此时OM＝，而OC＝，

∴CM＝＝，

∴AQ+CQ的最小值为．

4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作B．点E为B上的动点，

连接A，DE，求DE+AE的最小值．⊙⊙

（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作H，点Q

是H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；⊙

（⊙3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆

心，1为半径的O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．

⊙

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【解答】解：（1）如图1，

连接BE，在BA上截取BI＝，连接IE，DI，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），抛物线的对称轴为直线：x＝1，

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2+2x+3＝0得，

x1＝﹣1，x2＝3，

∴OB＝1，OA＝3，

∴AB＝OA+OB＝4，

∵＝，∠EBI＝∠ABE，

∴△BIE∽△BEA，

∴，

∴IE＝AE，

∴DE+AE＝DE+IE≥DI，

∴当点D、E、I共线时，DE+IE最小，最小值是DI的长，

∵D（1，4），I（，0），

∴DI＝＝，

∴DE+AE的最小值为：；

（2）如图2，

连接OH，QH，QI，在OH上截取HI＝，

∵A（3，0），C（0，3），

∴直线AC的解析式是：y＝﹣x+3，

当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，

∴H（1，2），

∴OH＝，

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∴，

∵∠QHI＝∠OHQ，

∴△HIQ∽△HQO，

∴，

∴IQ＝，

∴+AQ＝IQ+AQ≥AI，

∴当A、Q（图中Q′）共线时，IQ+AQ＝AI，

作IE⊥OA于E，HF⊥OA于F，

∴IE∥HF，

∴△OEI∽△OHF，

∴，

∴＝，

∴IE＝，OE＝，

∴AE＝OA﹣OE＝3﹣＝，

∴AI＝＝＝，

∴的最小值为：，

∵OQ+AQ＝（+AQ），

∴OQ+AQ的最小值为：×＝；

（3）如图3，

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连接OP，在OE上截取OI＝，

当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，

∴D（2，3），

，∠POI＝∠EOP，

∴△POI∽△EOP，

∴，

∴PI＝，

∵PD﹣PI≤DI，

∴当D，P（图中P′）、I共线时，PD﹣PI最小，

∵DI＝＝，

∴PD﹣PE的最大值为：．

5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点

C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．

（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；

（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′

（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作M，点Q是M上一动

点，求QB'+QB的最小值．⊙⊙

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【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，

∴OD＝OC＝2＝m，

∴m＝，

∴D（）；

（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，

∴联立，

解得，，

∵点A在点B的左侧，

∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AB＝＝3，

∵直线OD的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，

∴AB∥OD，两直线AB、OD之间距离h＝2×＝，

∴S△APB＝AB•h＝×3×＝3；

（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，

由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为（m+2）﹣m＝2，

取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，

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∴MN＝BM＝，

∵，∠QMN＝∠BMQ，

∴△MNQ∽△MQB，

∴，

∴，

由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，

∵直线AB的解析式为y＝x+2，

∴直线AB与对称轴夹角为45°，

∵点B、B′关于对称轴对称，

∴∠BMB′＝90°，

由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．

即QB'+QB的最小值是．

6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，

（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称

轴左右两侧；

①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的

对称点B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？

若不变，求出比值；若变化，说明变化规律；

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②直接写出B′Q+QB的最小值．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，

∴顶点坐标为C（m，m）；

（2）①的比值不变，理由如下：

∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，且m＝0，

∴令y＝x+2＝x2，

解得：x＝﹣1或2，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，1），B（2，4），

∴AB＝＝3，

∵直线AB的解析式为y＝x+2，

∴M（0，2），

∴AM＝＝，

∴BM＝AB﹣AM＝2，

∵M（0，2），C（0，0）

∴M的半径为2，

连接⊙QM，

∴QM＝2，

∵G（1，3），

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∴G为BM的中点，且MG＝BM＝＝，

∴＝，＝＝，

∴△MGQ∽△MQB，

∴＝＝，

∴QG＝QB，

∴；

②由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，

∵直线AB的解析式为y＝x+2，

∴直线AB与对称轴夹角为45°，

∵点B、B′关于对称轴对称，

∴∠BMB′＝90°，

由勾股定理得，QB′+QB最小值＝＝＝．

7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y

＝ax2+x+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；

（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．

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【解答】解：（1）由题意得，

﹣1＝2×（﹣2）+b，

∴b＝3，

∴直线AC的解析式是：y＝2x+3，

∴C（0，3），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式是：y＝+；

（2）如图1，

作AF⊥CD于F，作EF⊥y轴于F，作AG⊥EF于G，

∵tan∠ACO＝，tan∠ACD＝，

∴∠ACD＝∠ACO，

∴CE＝OC＝3，AE＝OB＝3，

可得：△EFC∽△AGE，

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∴＝＝，

设CF＝x，则AG＝OF＝3+x，

∴EF＝＝（x+3），

在Rt△EFC中，由勾股定理得，

x2+[]2＝32，

∴x1＝，x2＝﹣3（舍去），

∴EF＝，OF＝，

∴E（﹣，），

∴直线CD的解析式是：y＝﹣x+3，

由＝﹣得，

x3＝0（舍去），x4＝﹣，

当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）+3＝，

∴D（﹣，）；

（3）如2，

∵点O距离始终为2，

∴点P在以O为圆心，2为半径的圆O上运动，

在OA上取OI＝1，

∵∠POI＝∠AOP，＝，

∴△POI∽△AOP，

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∴，

∴PI＝AP，

∴PA+PC＝PI+PC，

∴当C、P、I共线时，PI+PC最小，此时P在线段AI与O的交点P′处，

PI+PC＝CI，⊙

在Rt△COI中，

CI＝＝＝，

∴PA+PC的最小值是．

8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交

AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；

（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，

使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果

不存在，请说明理由．

（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为（0°

＜＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．α

α

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（4，0），B（0，3）．

∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，

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∴，

解得．

∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．

（2）∵A（4，0），B（0，3）．

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝5．

∵ED⊥AB，

∴∠EDM＝∠AOB＝90°，

∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，

∴∠DEM＝∠BAO，

∴△AOB∽△EDM，

∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，

设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），

∴M（t，﹣t+3），

∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．

∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，

∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．

（3）存在以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

由y＝﹣x2+x+3可知，C（﹣2，0），点Q的横坐标为1，

第23页共30页.

由（2）知，M（2，）．

①当CM为边，且点P在点Q的左侧时，有xP﹣xQ＝xC﹣xM，

∴xP﹣1＝﹣2﹣2，即xP＝﹣3，

∴P（﹣3，﹣）．

当点P在点Q右侧时，xQ﹣xP＝xC﹣xM，

∴﹣1﹣xP＝﹣2﹣2，即xP＝5，

∴P（5，﹣）；

②当AM为对角线时，xP+xQ＝xC+xM，

∴xP+1＝﹣2+2，即xP＝﹣1，

∴P（﹣1，）．

综上，当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，

﹣）或（﹣1，）．

（4）如图，在y轴的正半轴取OG，使得OG＝，连接GN′，

∵OG•OB＝1，ON2＝1，

∴OG•OB＝ON2，

∵∠GON′＝∠N′OB，

∴△OBN′∽△ON′G，

∴BN′：N′G＝OB：ON′＝3，

∴N′G＝N′B，

∴N′A+N′B＝N′C+N′G，

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∴当A，N′，G三点共线时，N'A+N'B的值最小．

此时AG＝＝．

∴N'A+N'B的最小值为．

9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，

0），抛物线的对称轴是直线x＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，

若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作C，点

Q为C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．⊙

⊙

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的

坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝，

∴，解得．

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．

（2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4．

令y＝0，解得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

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设直线BC的解析式为：y＝kx+n，

∴，解得．

∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4．

设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣3m﹣4），过点P作PM∥y轴交BC于点M，

∴M（m，m﹣4），

∴PM＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．

∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△BCP

＝×（4+1）×4+（m2﹣4m）×4

＝﹣2m2+8m+10．

∵四边形ABPC的面积为16，

∴﹣2m2+8m+10＝16，

解得m＝1或m＝3，

∴P（1，﹣6）或（3，﹣4）．

（3）如图，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作C，

∵B（4，0），C（0，﹣4），⊙

∴OB＝OC＝4，

∴BC＝4，∠OBC＝45°，

∵BF⊥BC，

∴∠FBO＝45°，

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∵抛物线的对称轴是直线x＝，

∴点F的纵坐标为：4﹣＝，

∴F（，）．

在CB上取CE＝，过点E作EG⊥OC，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H，

∴CG＝EG＝，EH＝﹣