专题22 解答题重点出题方向圆的证明与计算（原卷版）

专题22解答题重点出题方向圆的证明与计算（原卷版）

模块一2022中考真题解析

1．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于O，BD为O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在

BC的延长线上，连接DE．

⊙⊙2

（1）求直径BD的长；

（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．

2

2．（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，交线段CA的延长

线于点E，连接BE．

⊙

（1）求证：BD＝CD；

（2）若tanC，BD＝4，求AE．

1

=2

3．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC

为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝．

（1）求证：无论为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的值．

θ

（2）当＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．

θθ

θ

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4．（2022•武汉）如图，以AB为直径的O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE

的延长线交O于点D，连接BD．

⊙

（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；

⊙

（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．

10

5．（2022•威海）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．

（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；

⊙

（2）若BC＝3，O的半径为2，求sin∠BAC．

⊙

6．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交

O于点G，连接BG．

⊙

（1）求证：FB2＝FE•FG；

⊙

（2）若AB＝6，求FB和EG的长．

7．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，∠ADB＝∠CDB．

（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；

⊙⊙

（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．

=2

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8．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图2，O是△ABC的外接圆，AE是O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延

⊙

长线交于点D．

⊙⊙��

①求证：BD⊥AD；

②若AC＝6，tan∠ABC，求O的半径．

3

=4⊙

9．（2022•淮安）如图，△ABC是O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交O于点E，连接

BD，∠ADB＝30°．

⊙⊙

（1）判断直线BD与O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．

⊙

3

10．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．

（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

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11．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于O，P是O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O

作BC的平行线交PC的延长线于点D．

⊙⊙

（1）试判断PC与O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC＝4，tan⊙A，求△OCD的面积．

1

=2

12．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB

长为半径的O经过点D，与OA相交于点E．

（1）判定AC与O的位置关系，为什么？

⊙

（2）若BC＝3，⊙CD，

3

求∠、∠的值；

①sinDBCsin=A2BC

②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2与sin、cos的关系，并用＝30°给予验证．

αααα

13．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的O与边BC交于点D．

（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由；

⊙

（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．

⊙

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14．（2022•攀枝花）如图，O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与O相切于

点C．

⊙⊙

（1）求证：∠PCB＝∠PAD；

（2）若O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．

⊙

15．（2022•济南）已知：如图，AB为O的直径，CD与O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，

BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．

⊙⊙

（1）求证：CA＝CD；

⊙

（2）若AB＝12，求线段BF的长．

16．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过

点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．

⊙

（1）求证：AB＝CB；

（2）若AB＝18，sinA，求EF的长．

1

=3

17．（2022•恩施州）如图，P为O外一点，PA、PB为O的切线，切点分别为A、B，直线PO交O于

点D、E，交AB于点C．

⊙⊙⊙

（1）求证：∠ADE＝∠PAE．

（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．

（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．

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18．（2022•临沂）如图，AB是O的切线，B为切点，直线AO交O于C，D两点，连接BC，BD．过圆

心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、O及BD于点E，F，G．

⊙⊙

（1）求证：∠D＝∠E；

⊙

（2）若F是OE的中点，O的半径为3，求阴影部分的面积．

⊙

19．（2022•随州）如图，已知D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与O相切，交CD的延

长线于点E，且BE＝DE．

⊙⊙

（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝4，⊙sinC，

1

求的半径；求的长．

①O②=3BD

⊙

20．（2022•天津）已知AB为O的直径，AB＝6，C为O上一点，连接CA，CB．

（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；

⊙⊙

（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作O的切线，与AC

��

的延长线相交于点F，求FD的长．

⊙⊙

21．（2022•新疆）如图，O是△ABC的外接圆，AB是O的直径，点D在O上，AC＝CD，连接AD，

延长DB交过点C的切线于点E．

⊙⊙⊙

（1）求证：∠ABC＝∠CAD；（2）求证：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．

22．（2022•绍兴）如图，半径为6的O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，

⊙

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连结OD，AD．

（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留）．

（2）求证：AD平分∠BDO．

��π

23．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交O于点D，过点

D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．

⊙⊙

（1）求证：直线DE是O的切线；

（2）求证：AB＝AM；

⊙

（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．

24．（2022•北京）如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．

（1）求证：∠BOD＝2∠A；

⊙⊙

（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中

点，求证：直线CE为O的切线．

⊙

25．（2022•扬州）如图，AB为O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．

（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；

⊙

（2）若sinA，OA＝⊙8，求CB的长．

5

=5

26．（2022•陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接

BC，以O为圆心，OB长为半径作O，延长BA，与O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的

⊙⊙

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延长线交于点D．

（1）求证：BC是O的切线；

（2）求EF的长．

⊙

27．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆

与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．

（1）求证：CD是O的切线；

（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．

⊙

3��

28．（2022•东营）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．

（1）求证：直线CE是O的切线；

⊙⊙

（2）若∠ABC＝30°，O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

⊙

⊙

29．（2022•锦州）如图，在O中，AB为O的直径，点E在O上，D为的中点，连接AE，BD并延

长交于点C．连接OD，⊙在OD的延长线⊙上取一点F，连接B⊙F，使∠CBF��∠BAC．

1

（）求证：为的切线；

1BFO=2

（2）若AE＝4，O⊙F，求O的半径．

9

=2⊙

30．（2022•鞍山）如图，O是△ABC的外接圆，AB为O的直径，点E为O上一点，EF∥AC交AB

的延长线于点F，CE与⊙AB交于点D，连接BE，若∠B⊙CE∠ABC．⊙

1

=2

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（1）求证：EF是O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC，求O的半径．

3

⊙=5⊙

31．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过

点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．

⊙

（1）求证：直线HG是O的切线；

（2）若HA＝3，cosB⊙，求CG的长．

2

=5

32．（2022•黔西南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作O，分别交BC于点D，交AC于点

E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．

⊙

（1）求证：DH是O的切线；

（2）若E为AH的⊙中点，求的值．

��

��

33．（2022•鄂尔多斯）如图，以AB为直径的O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点

E为BC中点，连接DE、BD．

⊙

（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD，求OE的长．

4

⊙=5

34．（2022•枣庄）如图，在半径为10cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C的直线，且

AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．

⊙⊙⊙

（1）求证：CD是O的切线；（2）求AD的长．

⊙

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35．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法如图2．

⊙

1．作直径AF．

2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与O交于点M，N．

3．连接AM，MN，NA．

⊙

（1）求∠ABC的度数．

（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．

（3）从点A开始，以DN长为边长，在O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n

的值．

⊙

36．（2022•福建）如图，△ABC内接于O，AD∥BC交O于点D，DF∥AB交BC于点E，交O于点F，

连接AF，CF．

⊙⊙⊙

（1）求证：AC＝AF；

（2）若O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留）．

⊙��π

37．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．

（1）求证：CD∥AB．

（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．

38．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．

（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；

（2）在扇形AOB的内部，O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称O1为扇形

AOB的内切圆，试求O1的面积S1．

⊙��⊙

⊙

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39．（2022•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于

点P，连接CA，CO，CB．

（1）求证：∠ACO＝∠BCP；

（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；

（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．

π

40．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到

甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”

你认同小亮的说法吗？请说明理由．

41．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂

足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．

（1）AB与O的位置关系为；

（2）求证：AC是O的切线；

⊙

（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°

⊙

≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）

⊙

42．（2022•淄博）已知△ABC是O的内接三角形，∠BAC的平分线与O相交于点D，连接DB．

（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；

⊙⊙

（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是O的切线；

（3）如图③，设弦BD，AC延长后交O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G

⊙

⊙

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作O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．

⊙

43．（2022•黄石）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、

AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．

⊙⊙

（1）求证：直线AB是O的切线；

（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；

⊙

（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求

AE•AP的值．

⊙6

44．（2022•绵阳）如图，AB为O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作O的切线与

AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

⊙��⊙

（1）求证：BC∥PF；

（2）若O的半径为，DE＝1，求AE的长度；

（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．

⊙5

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45．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的O与AC相切于点

E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．

⊙

（1）求证：四边形EMFC是矩形；

（2）若AE，O的半径为2，求FM的长．

=5⊙

46．（2022•西藏）如图，已知BC为O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线

于点A，连接BD，交CE于点F．

⊙��

（1）求证：AD是O的切线；

（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．

⊙

47．（2022•青海）如图，AB是O的直径，AC是O的弦，AD平分∠CAB交O于点D，过点D作O

的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

⊙⊙⊙⊙

（1）求证：AF⊥EF；

（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．

48．（2022•柳州）如图，已知AB是O的直径，点E是O上异于A，B的点，点F是的中点，连接

AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG

⊙⊙��

交AF于点G，交FB于点H．

（1）求证：CD是O的切线；

（2）求sin∠FHG的值；

⊙

（3）若GH＝4，HB＝2，求O的直径．

2⊙

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模块二2023中考押题预测

1．（2023•红桥区模拟）已知PA与O相切于点A，PO与O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A，

B不重合．

⊙⊙

（1）如图①，若∠P＝26°，求∠C的大小；

（2）如图②，AC⊥OB，垂足为D，若∠P＝∠C，OB＝2，求AC的长．

2．（2023•蜀山区校级模拟）如图，△ABC内接于O，AB＝AC，BD为O的弦，且AB∥CD，过点A作

O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．

⊙⊙

（1）求证：∠EAC＝∠ADC

⊙

（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的长．

3．（2023•合肥一模）如图1，AB为O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于D，点E为AB延长线

上一点，CE是O的切线．

⊙

（1）求证：∠BCE＝∠BOD；

⊙

（2）如图2，取弧AC的中点P，连接OP，AP，若AB＝13，BC＝5，求弦PA的长．

4．（2023•大连模拟）△ABC内接于O，AB＝AC，射线AD切O于点A，过点B作BF∥AC，交O于

点E，交AD于点F．

⊙⊙⊙

（1）如图1，求证：四边形ACBF为平行四边形；

（2）如图2，连接CE，延长BO交FA的延长线于点G，BC＝6，CE＝3，求BC的长．

10

5．（2023•碑林区校级二模）如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接

⊙⊙

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AD，过点A作O的切线与DO的延长线相交于点E．

（1）求证：∠B＝∠E；

⊙

（2）若O的半径为4，OE＝6，求AD的长．

⊙

6．（2023•庐阳区校级一模）如图，在O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP

以及O上，并且∠POM＝45°．

⊙

（1）若AB＝2，求PD的长度；

⊙

（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．

7．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分

线CE交以AB为直径的O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，O恰好过点C．

（1）求证：CD是O切线；

⊙⊙

（2）若，求CF的长．

⊙

��=43

8．（2023•定远县校级模拟）如图1，已知AB是半圆O的直径，BC是半圆O的切线，OC平行于弦AD．

（1）连接BD，若BD＝BC，求∠C的度数；

（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，连接AC与DE交于点P，求证：PD＝PE．

9．（2023•松原一模）如图，AB是O的直径，点E在O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交O于点

⊙⊙⊙

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C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．

（1）判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求的长（结果保留）．

⊙

𝐴=3��=23��π

10．（2023•西安二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作O，O与直角边