专题11 二次函数-胡不归求最小值（原卷版）

第十一讲二次函数--胡不归求最值

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一PA+k•PB...............................................................................................................................................2

考点二PA+QB+k•PQ......................................................................................................................................12

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必备知识点

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。

由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目的地，AC是一

条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子

时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C

ACBC

在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

V2V1

ACBC1VV

=BC1AC，记k1，

V2V1V1V2V2

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最

小值，即BC+kAC最小．

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在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为

“PA+PC”型．

胡不归模型问题解题步骤如下：

bbb

1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形

aaa

式解决）。

b

2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=

a

3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题

考点一PA+k•PB

1．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连

接AC，BC．且△ABC的面积为8．

（1）求m的值；

（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）

2的值．

（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．

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2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和

点A，且tan∠CAO＝1．

（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明

理由；

（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请

求出最小值，若不存在，请说明理由．

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3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，

其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．

（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；

（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：

①点M的坐标，说明理由；

②MN+BN的最小值；

（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，

求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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4．如图1，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y轴

交于C点，连接BC．

（1）求直线BC的解析式：

（2）如图1，点P是线段BC下方抛物线上任意一点，点F是y轴上一点，当△PBC面积最大时，求

PF+FO的最小值；

（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点M，点Q是直线BC上一动点，连接MQ，将△BMQ沿MQ

折叠至△B′MQ，其中点B的对应点为点B′，连接AB'，CB′，当△ACB′为等腰三角形时，求点Q

的坐标．

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5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A

在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的

坐标；

（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．

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6．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线

y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；

（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．

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7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，

经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；

（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最

小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．

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8．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线

的顶点为M，对称轴交x轴于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段

BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．

（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ

与抛物线有两个交点，求t的取值范围．

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9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，

点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；

（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标．

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10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交

y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）填空：a＝，点B的坐标是；

（2）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物

线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上

一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP+PC的最小值；

（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP+PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移

个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0°＜＜360°），得到△A′

OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点αG，使得αGQ′＝OG？若存在，

请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．

第11页共18页.

考点二PA+QB+k•PQ

11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．

（1）求直线AE的解析式及△ACE的面积．

（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B

且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，

连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．

（3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'

绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直

线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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12．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），

与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．

（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长

度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请

直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．

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13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．

（1）连接BD，点P是线段BD上一动点（点P不与端点B、D重合），过点P作PQ⊥BD，交抛物线

于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交BD于G，点M是线段OC上一动

点，当△PQG周长取得最大时，求FG+GM+MC的最小值；

（2）在（1）中，当△PQG周长取得最大，FG+GM+MC取得最小值时，把点M向下平移个单

位得到点M'，连接AM'，把△AOM'绕点O逆时针旋转一定的度（0＜＜360°），得到△A'OM''，其中

边A'M''交坐标轴于点I．在旋转过程中，是否存在点I，使得∠Mα''＝∠Mα''OI？若存在，请直接写出所有

满足条件的点M''的坐标；若不存在，请说明理由．

第14页共18页.

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的

左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）如图1，P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q．在抛物线的对称轴

上有一动点M，在x轴上有一动点N，当6PQ﹣CQ的值最大时，求PM+MN+NB的最小值；

（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC'，再将△A′BC′向右平移1个单位得

到△A“B′C“，那么在抛物线的对称轴DM上，是否存在点T，使得△A′B′T为等腰三角形？若存

在，求出点T到x轴的距离；若不存在，请说明理由．

第15页共18页.

15．如图抛物线y＝﹣x2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．C，

D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E，抛物线对称轴交x轴于点F．

（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD，PE．点M是y轴上一点，过点M作MN⊥y轴

交抛物线对称轴于点N．当△PDE面积最大时，求PM+MN+NF的最小值；

（2）如图2，在（1）中PM+MN+NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120°后得到△

PM′E′，点G是MN的中点，连接M′G交抛物线的对称轴于点H，过点H作直线l∥PM，点R是

直线l上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以点M′，点G，点R，点S为顶点的四边形

是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．

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16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y

轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物

线于点N（点N在对称轴的右侧）