专题22 解答题重点出题方向圆的证明与计算（解析版）

专题22解答题重点出题方向圆的证明与计算（解析版）

模块一2022中考真题解析

1．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于O，BD为O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在

BC的延长线上，连接DE．⊙⊙2

（1）求直径BD的长；

（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．

2

思路引领：（1）由BD为O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以

BC＝DC，△BDC是等腰⊙直角三角形，即可求出BD的长；

（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积．

解：（1）∵BD为O的直径，

∴∠BCD＝∠DCE⊙＝90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴BC＝DC＝2，

∴BD＝224；

（2）∵BE2＝×52，=

∴CE＝3，2

∵BC＝DC2，

∴S阴影＝S△CDE26．

1

总结提升：本题=考2查×了圆2×的3性2质=，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周

角定理是解题的关键．

2．（2022•呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于点D，交线段CA的延长

线于点E，连接BE．⊙

（1）求证：BD＝CD；

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（2）若tanC，BD＝4，求AE．

1

=2

思路引领：（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线

合一性质即可解答；

（2）利用（1）的结论可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出

AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE

的长，进行计算即可解答．

（1）证明：连接AD，

∵AB是O的直径，

∴∠ADB⊙＝90°，

∵AB＝AC，

∴BD＝DC；

（2）解：∵BD＝DC＝4，

∴BC＝DB+DC＝8，

在Rt△ADC中，tanC，

1

=

∴AD＝CD•tanC＝422，

1

×=

∴AC22，

2222

∵AB=是�O�的+直�径�，=2+4=5

∴∠AEB⊙＝90°，

∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，

∴△CDA∽△CEB，

∴，

𝐶𝐶

=

∴����，

𝐶8

=

425

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∴CE，

16

=5

∴AE＝C5E﹣AC，

6

=55

∴AE的长为．

6

5

5

总结提升：本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟

练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．

3．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC

为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝．

（1）求证：无论为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BθC成立的值．

（2）当＝90°时θ，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．θ

θ

思路引领：（1）证明四边形DEGF是平行四边形，可得结论；

（2）当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．证明OJ∥AB，可得结论．

（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，

∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，

∵D，C，F共线，

∴G，B，E共线，

∴DF∥EG，DF＝GE，

∴四边形DEGF是平行四边形，

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∴EF与BC互相平分．

当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，

∴EG＝2GF，

∴∠GEF＝30°，

∴＝90°﹣30°＝60°；

θ

（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．

理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．

∵四边形BCFG是菱形，

∴∠G＝∠FCO＝90°，

∵EF与BC互相平分，

∴OC＝OB，

∴CF＝BC，

∴FC＝2OC，

∴tan∠FOC＝tan∠ABC，

∴∠ABC＝∠FOC，

∴OJ∥AB，

∵OC＝OB，

∴CJ＝AJ，

∵BC是直径，

∴∠BAC＝∠OJC＝90°，

∴EF垂直平分线段AC．

总结提升：本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活

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运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

4．（2022•武汉）如图，以AB为直径的O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE

的延长线交O于点D，连接BD．⊙

（1）判断△⊙BDE的形状，并证明你的结论；

（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．

10

思路引领：（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠

DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．

（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因

为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为

OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝1（02）2﹣（5﹣t5）2，解

出t的值即可．5

（1）解：△BDE为等腰直角三角形．

证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．

∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，

∴∠BED＝∠DBE．

∴BD＝ED．

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴△BDE是等腰直角三角形．

另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．

（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.

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∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．

∴BD＝DC．

∵OB＝OC．

∴OD垂直平分BC．

∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，

∴BD＝2．10

∵AB＝10，5

∴OB＝OD＝5．

设OF＝t，则DF＝5﹣t．

在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，

解得t＝3，5

∴BF＝4．

∴BC＝8．

另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，

再根据面积相等求得BC．55

总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等

腰直角三角形是解题关键．

5．（2022•威海）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．

（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠A⊙DE；

（2）若BC＝3，O的半径为2，求sin∠BAC．

⊙

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思路引领：（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；

（2）连接CO并延长交O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直

角三角形即可得解．⊙

（1）证明：∵四边形ABCD是O的内接四边形，

∴∠ADE＝∠ABC，⊙

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠ADE；

（2）解：连接CO并延长交O于点F，连接BF，

⊙

则∠FBC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，

∴sinF，

��3

∵∠F＝=∠𝐶BA=C4，

∴sin∠BAC．

3

总结提升：此=题4考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理

是解题的关键．

6．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交

⊙

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O于点G，连接BG．

⊙（1）求证：FB2＝FE•FG；

（2）若AB＝6，求FB和EG的长．

思路引领：（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；

（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，

∴．

∴∠��D=BA�＝�∠G．

∵∠EFB＝∠BFG，

∴△EFB∽△BFG，

∴，

����

2=

∴F��B＝F�E�•FG；

（2）解：连接OE，如图，

∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，

∴BD6．

22

=��+𝐶=2

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∴OBBD＝3．

1

∵点E=为2AB的中2点，

∴OE⊥AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，

∴OE∥BC，OE＝BEAB．

1

=

∴．2

𝐶𝐶1

==

∴����，2

𝐶−��1

=

∴��2，

32−��1

=

∴BF�＝�2；2

∵点E为A2B的中点，

∴AE＝BE＝3，

∴EC3．

22

∵AE•=BE＝��EG+•E�C�，=5

∴EG．

35

总结提=升5：本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，

平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．

7．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，∠ADB＝∠CDB．

（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；⊙⊙

（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．

=2

思路引领：（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；

（2）根据勾股定理解答即可．

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解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：

∵AC为O的直径，

∴∠ADC⊙＝∠ABC＝90°，

∵∠ADB＝∠CDB，

∴，

∴A�B�＝=B�C�，

又∵∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，AB＝BC，

∴AC＝2，=2

在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，

∴CD．

即CD=的长3为：．

总结提升：本题主3要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质

定理是解答本题的关键．

8．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图2，O是△ABC的外接圆，AE是O的直径⊙，点B是的中点，过点B的切线与AC的延

长线交于点D．⊙⊙��

①求证：BD⊥AD；

②若AC＝6，tan∠ABC，求O的半径．

3

=4⊙

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思路引领：（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆

即可；

（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结论；

②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得

到答案．

（1）解：如图1，O即为△ABC的外接圆；

（2）①证明：如图⊙2，连接OB，

∵BD是O的切线，

∴OB⊥B⊙D，

∵点B是的中点，

∴��，

∴∠��C=AB�＝�∠EAB，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠EAB，

∴∠CAB＝∠OBA，

∴OB∥AD，

∴BD⊥AD；

②解：如图2，连接EC，

由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC，

∵tan∠ABC，

3

=

∴tan∠AEC4，

3

∵AE是O=的4直径，

∴∠ACE⊙＝90°，

∴，

��3

=

∵�A�C＝64，

∴EC＝8，

∴AE10，

22

∴O=的�半�径+为�5�．=

⊙

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总结提升：本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半

径是解题的关键．

9．（2022•淮安）如图，△ABC是O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交O于点E，连接

BD，∠ADB＝30°．⊙⊙

（1）判断直线BD与O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB＝4，求⊙图中阴影部分的面积．

3

思路引领：（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，根据等边三角形的性质得

到∠BOD＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得

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到结论．

解：（1）直线BD与O相切，

理由：连接BE，⊙

∵∠ACB＝60°，

∴∠AEB＝∠C＝60°，

连接OB，

∵OB＝OE，

∴△OBE是等边三角形，

∴∠BOD＝60°，

∵∠ADB＝30°，

∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴OB⊥BD，

∵OB是O的半径，

∴直线B⊙D与O相切；

（2）∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°⊙，

∵AB＝4，

3

∴sin∠AEB＝sin60°，

𝐶433

∴AE＝8，=𝐶=𝐶=2

∴OB＝4，

∴BDOB＝4，

=33

∴图中阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形BOE48．

2

160⋅�×48�

=2××43−360=3−3

总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计

算，正确地作出辅助线是解题的关键．

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10．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．

（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

思路引领：（1）由切线的判定定理，可证明；

（2由弓形面积公式，可求解．

解：（1）直线AD与圆O相切，

连接OA，

∵AD∥BC，

∴∠D＝∠DBC，

∵AD＝AB，

∴∠D＝∠ABD，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，

∠BAD＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABD＝30°，

∴∠OAD＝90°，

∴OA⊥AD，

∵OA是圆的半径，

∴直线AD与圆O相切，

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（2）连接OC，作OH⊥BC于H，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝30°，

∴∠BOC＝120°，

∴OHOB＝3，BHOH＝3，

1

∴BC＝=22BH＝6，=33

3

∴扇形OBC的面积为：12，

22

���120×6�

==π

∵S△OBCBC•OH63603＝9360，

11

∴阴影部=分2的面积为=：21×2﹣39×．3

总结提升：本题考查圆的π切线的3判定定理，弓形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表

示方法．

11．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于O，P是O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O

作BC的平行线交PC的延长线于点D⊙．⊙

（1）试判断PC与O的位置关系，并说明理由；

⊙

（2）若PC＝4，tanA，求△OCD的面积．

1

=2

思路引领：（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性质

得出∠OBC＝∠OCB，结合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是O的切线；

⊙

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（2）由tanA，得出，由△PCB∽△PAC，得出，进而求出PB＝2，PA＝8，

1��1𝐶����1

=====

OC＝3，由平行2线分线段��成比2例定理得出，进而�求�出C�D�＝6，��即可2求出△OCD的面积．

��𝐶

=

解：（1）PC是O的切线，理由如下：��𝐶

∵AB是O的直⊙径，

∴∠ACB⊙＝90°，

∴∠OAC+∠OBC＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠PCB＝∠OAC，

∴∠PCB+∠OCB＝90°，

∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，

∵OC是半径，

∴PC是O的切线；

⊙

（2）在Rt△ACB中，tanA，

��

=

∵tanA，��

1

=

∴2，

��1

=

∵∠��PCB2＝∠OAC，∠P＝∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∴，

𝐶����1

===

∵P�C�＝4�，���2

∴PB＝2，PA＝8，

∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，

∴OC＝OB＝OA＝3，

∵BC∥OD，

∴，即，

��𝐶42

==

∴�C�D＝6�，���3

∵OC⊥CD，

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∴3×6＝9．

△���11

总结�提升=：2本⋅题��考⋅查��了=直2线×与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解

直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题

的关键．

12．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB

长为半径的O经过点D，与OA相交于点E．

（1）判定A⊙C与O的位置关系，为什么？

⊙

（2）若BC＝3，CD，

3

①求sin∠DBC、sin∠=A2BC的值；

②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2与sin、cos的关系，并用＝30°给予验证．

αααα

思路引领：（1）连接OD，证明OD∥BC，则∠ODA＝∠C＝90°，再根据圆的切线的判定定理证明AC

是O的切线；

（2⊙）①根据三角函数定义可得结论；

②计算cos∠DBC的值，并计算2sin∠DBC•cos∠DBC的值，可得结论：sin∠ABC＝2sin∠DBC•cos∠

DBC；并用＝30°可得结论．

解：（1）ACα是O切线，理由如下：

如图，连接OD⊙，

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∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠OBD＝∠DBC，

∴∠ODB＝∠DBC，

∴OD∥BC，

∴∠ODA＝∠C＝90°，

∵OD是O的半径，且AC⊥OD，

∴AC是⊙O的切线；

⊙

（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD，

3

=2

∴BD，

2232235

=��+��=(2)+3=2

∴sin∠DBC，

3

��25

=��=35=5

如图2，连接DE，OD2，过点O作OG⊥BC于G，

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∴∠ODC＝∠C＝∠CGO＝90°，

∴四边形ODCG是矩形，

∴OG＝CD，

3

∵BE是O=的2直径，

∴∠BDE⊙＝90°，

∴cos∠DBE＝cos∠CBD，

∴，

����

=

����

∴35，

32

35=

��

2

∴BE，

15

=

∴OB4BE，

115

==

∴sin∠A2BC8；

3

𝐹24

==15=

②∵2sin∠DB�C�•cos∠8DB5C＝2，

534

××35=

∴sin∠ABC＝2sin∠DBC•cos∠DB5C；25

猜想：sin2＝2sincos，理由如下：

ααα

当＝30°时，sin2＝sin60°，

3

αα=

2sincos＝2，2

133

∴siαn2＝α2sin×c2o×s．2=2

总结提α升：此α题重α点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，解

题的关键是正确的作出所需要的辅助线，掌握三角函数的定义进行解题．

13．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的O与边BC交于点D．

（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由；⊙

（2）若AB＝4，求图⊙中阴影部分的面积．

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思路引领：（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，可得结论；

（2）根据图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD可得结论．

解：（1）直线AC与O相切，理由如下：

∵∠ABC＝45°，AB⊙＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，

∴BA⊥AC，

∵AB是O的直径，

∴直线A⊙C与O相切；

（2）连接OD⊙，AD，

∵AB是O的直径，

∴∠ADB⊙＝90°，

∵∠ABD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，

∵AO＝OB，AB＝4，

∴S△ABD•AB•OD4×2＝4，

11

==×

∴图中阴影2部分的面积2＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD

4×44

2

1190�×2

＝=82﹣×2﹣−2×−360

π

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＝6﹣．

总结提π升：本题考查了切线的判定，勾股定理，扇形的面积，等腰三角形的性质．解题的关键：（1）熟

练掌握切线的判定；（2）利用等腰三角形的性质解决问题．

14．（2022•攀枝花）如图，O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与O相切于

点C．⊙⊙

（1）求证：∠PCB＝∠PAD；

（2）若O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．

⊙

思路引领：（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCB+∠OCB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC

＝∠OCB，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠OBC，等量代换证明结论；

（2）连接OD，根据直角三角形的性质求出∠ODF＝30°，根据三角形的面积公式得到S△CFB＝S△DFO，

根据扇形面积公式计算，得到答案．

（1）证明：连接OC，

∵CP与O相切，

∴OC⊥P⊙C，

∴∠PCB+∠OCB＝90°，

∵AB⊥DC，

∴∠PAD+∠ADF＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，

∴∠PCB＝∠PAD；

（2）解：连接OD，

在Rt△ODF中，OFOD，

1

则∠ODF＝30°，=2

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∴∠DOF＝60°，

∵AB⊥DC，

∴DF＝FC，

∵BF＝OF，AB⊥DC，

∴S△CFB＝S△DFO，

∴S阴影部分＝S扇形BOD．

2

60�×22

=360=3π

总结提升：本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经

过切点的半径是解题的关键．

15．（2022•济南）已知：如图，AB为O的直径，CD与O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，

BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点⊙B作BF⊥CE，垂足为F．

（1）求证：CA＝CD；⊙

（2）若AB＝12，求线段BF的长．

思路引领：（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可

得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即可解答；

（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得BCAB＝6，再利

1

用角平分线的定义可得∠BCE＝45°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义进行=计2算即可解答．

（1）证明：连接OC，

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∵CD与O相切于点C，

∴∠OCD⊙＝90°，

∵∠D＝30°，

∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，

∴∠A∠COD＝30°，

1

∴∠A＝=∠2D＝30°，

∴CA＝CD；

（2）解：∵AB为O的直径，

∴∠ACB＝90°，⊙

∵∠A＝30°，AB＝12，

∴BCAB＝6，

1

∵CE=平2分∠ACB，

∴∠BCE∠ACB＝45°，

1

∵BF⊥CE=，2

∴∠BFC＝90°，

∴BF＝BC•sin45°＝63，

2

∴线段BF的长为3×．2=2

2

总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结

合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

16．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过

点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足⊙为点F．

（1）求证：AB＝CB；

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（2）若AB＝18，sinA，求EF的长．

1

=3

思路引领：（1）连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通过证明得出∠A＝∠C，结论

得证；

（2）连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用sin∠A＝sin∠FDB，

1

解直角三角形可得结论．=3

（1）证明：连接OD，如图1，

∵DE是O的切线，

∴OD⊥D⊙E．

∵BC⊥DE，

∴OD∥BC．

∴∠ODA＝∠C，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A．

∴∠A＝∠C．

∴AB＝BC；

（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，如图2，

在Rt△ABD中，

∵sinA，AB＝18，

��1

∴BD＝=6�．�=3

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD．

∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，

∴∠A＝∠FDB．

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∴sin∠A＝sin∠FDB．

在Rt△BDF中，

∵sin∠BDF，

��1

∴BF＝2．=��=3

由（1）知：OD∥BF，

∴△EBF∽△EOD．

∴．即：．

������2

==

解得𝐶：BE��．��+99

18

=7

∴EF．

2282

=��−��=7

总结提升：本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直

角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周

角是解决此类问题常添加的辅助线．

17．（2022•恩施州）如图，P为O外一点，PA、PB为O的切线，切点分别为A、B，直线PO交O于

点D、E，交AB于点C．⊙⊙⊙

（1）求证：∠ADE＝∠PAE．

（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．

（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．

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思路引领：（1）连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等

角的余角相等解答即可；

（2）利用（1）的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答

即可；

（3）CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，OA＝OE，OC＝OE﹣CE，OP＝OE+PE，利用

6+�6−�14+�

相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结=论2．=2=2

（1）证明：连接OA，如图，

∵PA为O的切线，

∴AO⊥P⊙A，

∴∠OAE+∠PAE＝90°．

∵DE是O的直径，

∴∠DAE⊙＝90°，

∴∠ADE+∠AED＝90°．

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AED，

∴∠ADE＝∠PAE；

（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，

∵∠DAE＝90°，

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∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．

∵∠AED＝∠PAE+∠APE，

∴∠APE＝∠PAE＝30°，

∴AE＝PE；

（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，

∴OA＝OE，

6+�

=

∴OC＝OE﹣C2E，

6−�

=

OP＝OE+PE2．

14+�

∵PA、PB为=O2的切线，

∴PA＝PB，P⊙O平分∠APB，

∴PO⊥AB．

∵PA为O的切线，

∴AO⊥P⊙A，

∴△OAC∽△OPA，

∴，

����

=

����

∴6+�14+�，

22

6−�=6+�

即：2x2+10x﹣224＝0．

解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），

∴CE＝2．

总结提升：本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂

径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．

18．（2022•临沂）如图，AB是O的切线，B为切点，直线AO交O于C，D两点，连接BC，BD．过圆

心O作BC的平行线，分别交⊙AB的延长线、O及BD于点E，⊙F，G．

（1）求证：∠D＝∠E；⊙

（2）若F是OE的中点，O的半径为3，求阴影部分的面积．

⊙

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思路引领：（1）连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE＝90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB＝90°，

证出∠BOE＝∠OCB，则可得出结论；

（2）求出∠BOG＝60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．

（1）证明：连接OB，

∵AB是O的切线，

∴∠OBE⊙＝90°，

∴∠E+∠BOE＝90°，

∵CD为O的直径，

∴∠CBD⊙＝90°，

∴∠D+∠DCB＝90°，

∵OE∥BC，

∴∠BOE＝∠OBC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠BOE＝∠OCB，

∴∠D＝∠E；

（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，

∴OF＝EF＝3，

∴OE＝6，

∴BOOE，

1

=2

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∵∠OBE＝90°，

∴∠E＝30°，

∴∠BOG＝60°，

∵OE∥BC，∠DBC＝90°，

∴∠OGB＝90°，

∴OG，BG，

33

=2=23

∴S△BOGOG•BG，S扇形BOF，

2

1133960⋅�×33

=2=2×2×23=83=360=2π

∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG．

39

总结提升：本题考查了切线的=性2�质−，8直3角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定

理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

19．（2022•随州）如图，已知D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与O相切，交CD的延

长线于点E，且BE＝DE．⊙⊙

（1）判断CD与O的位置关系，并说明理由；

⊙

（2）若AC＝4，sinC，

1

①求O的半径；=3

②求⊙BD的长．

思路引领：（1）结论：CD是O的切线；只要证明OD⊥CD即可；

⊙

（2）①根据sinC，构建方程求解即可；

1

=3

②证明△CDA∽△CBD，推出，设ADk，BD＝2k，利用勾股定理求解即可．

����42

====2

解：（1）结论：CD是O的切�线�；��422

理由：如图，连接OD⊙．

∵EB＝ED，OB＝OD，

∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB，

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∵BE是O的切线，OB是半径，

∴OB⊥B⊙E，

∴∠OBE＝90°，

∴∠EBD+∠OBD＝90°，

∴∠EDB+∠ODB＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是半径，

∴CD是O的切线；

⊙

（2）①设OD＝OA＝r，

∵OD⊥CD，

∴sinC，

��1

==

∴��，3

�1

=

∴�r＝+42，3

∴O的半径为2；

⊙

②在Rt△COD中，CD4，

2222

∵AB是直径，=��−��=6−2=2

∴∠ADB＝90°，

∴∠DBA+∠BAD＝90°，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵∠ADC+∠ODA＝90°，

∴∠ADC＝∠CBD，

∵∠C＝∠C，

∴△CDA∽△CBD，

∴，

����42

===

设�A�D��k，B4D＝22k，2

=2

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∵AD2+BD2＝AB2，

∴（k）2+（2k）2＝42，

2

∴k（负根已经舍去），

26

=

∴BD＝32k．

46

=3

总结提升：本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20．（2022•天津）已知AB为O的直径，AB＝6，C为O上一点，连接CA，CB．

（Ⅰ）如图①，若C为⊙的中点，求∠CAB的大小和⊙AC的长；

（Ⅱ）如图②，若AC＝�2�，OD为O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作O的切线，与AC

的延长线相交于点F，求FD的长．⊙⊙

思路引领：（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据余弦的定

义求出AC；

（Ⅱ）根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD＝EC，根据

勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．

解：（Ⅰ）∵AB为O的直径，

∴∠ACB＝90°，⊙

∵C为的中点，

��

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∴，

∴∠��C=AB�＝�∠CBA＝45°，

∴AC＝AB•cos∠CAB＝3；

（Ⅱ）∵DF是O的切线2，

∴OD⊥DF，⊙

∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，

∴四边形FCED为矩形，

∴FD＝EC，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，

则BC4，

22

∵OD⊥=BC�，�−��=2

∴ECBC＝2，

1

∴FD=＝2．2

总结提升：2本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径

是解题的关键．

21．（2022•新疆）如图，O是△ABC的外接圆，AB是O的直径，点D在O上，AC＝CD，连接AD，

延长DB交过点C的切⊙线于点E．⊙⊙

（1）求证：∠ABC＝∠CAD；

（2）求证：BE⊥CE；

（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．

思路引领：（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC

＝∠ADC，即可解答；

（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，

再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，

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即可解答；

（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，

再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的

性质可求出DE的长，最后再利用（2）的结论可证△ACB∽△CE