专题11 二次函数-胡不归求最小值（解析版）

第十一讲二次函数--胡不归求最值

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一PA+k•PB...............................................................................................................................................2

考点二PA+QB+k•PQ......................................................................................................................................33

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必备知识点

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日

夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图所示：A是出发地，B是目

的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世

了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，

ACBC

点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

V2V1

ACBC1VV

=BC1AC，记k1，

V2V1V1V2V2

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

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将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH

取到最小值，即BC+kAC最小．

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为

“PA+PC”型．

胡不归模型问题解题步骤如下：

bbb

1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系数，转化为小于1

aaa

的形式解决）。

b

2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=

a

3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题

考点一PA+k•PB

1．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交

于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．

（1）求m的值；

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（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求

（t﹣1）2的值．

（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐

标．

【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），

令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，

∵m＞0，

∴﹣m＜0，

∴A（﹣m，0），B（2，0），

∴AB＝2+m，

令x＝0，则y＝﹣2m，

∴C（0，﹣2m），

∵△ABC的面积为8，

∴×（2+m）×（2m）＝8，

解得m＝2或m＝﹣4（舍）；

（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，

∵的横坐标为t，

∴T（t，t2﹣4），

过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D

作DE⊥EF交于E点，

∵∠DCT＝90°，

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∴∠DCE+∠TCF＝90°，

∵∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠TCF＝∠CDE，

∴△CED∽△TFC，

∴＝＝，

∵∠ATC＝60°，

∴＝，

∵C（0，﹣4），

∴CF＝t，TF＝t2，

∴DE＝t，CE＝t2，

∴D（﹣t2，t﹣4），

设直线AT的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，

∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，

∴（t﹣1）2＝；

（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，

∵A、B关于y轴对称，

∴AP＝BP，

∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，

∴∠ABG＝∠ACO，

∵AO＝2，CO＝4，

∴AC＝2，

∴sin∠ACO＝，

∴＝，

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∴CP＝GP，

∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，

∵cos∠ACO＝＝＝，

∴BG＝，

∴CP+AP的最小值为8，

∵tan∠ACO＝＝＝，

∴OP＝1，

∴P（0，﹣1）．

2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，

0）和点A，且tan∠CAO＝1．

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（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，

请说明理由；

（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存

在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），

∴OC＝2，

∵tan∠CAO＝1，

∴＝1，

∴OA＝2，A（﹣2，0），

将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：

，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：

过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线

于Q'，如图：

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∵AM∥BC，

∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，

∵B（3，0），C（0，﹣2），

∴直线BC解析式是y＝x﹣2，

设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，

∴m＝，

∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，），

解得（与A重合，舍去）或，

∴Q（5，），

∵M、M'关于x轴对称，

∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），

∴Q'是满足题意的点，

设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，

∴k＝﹣，

∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，

解得（舍去）或，

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∴Q（1，﹣2）；

综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）；

（3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD值最小，理由如下：

过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：

∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，

∴抛物线对称轴是直线x＝，

∴D（，0），

∵OA＝OC＝2，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OCA＝45°＝∠OAC，

∴△PCH是等腰直角三角形，

∴PH＝PC，

∴PC+PD最小即是PH+PD最小，

∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'，

∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，

∴△ADH'是等腰直角三角形，

∴DH'＝AD，

∵A（﹣2，0），D（，0），

∴AD＝，

∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．

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3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于

点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．

（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；

（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大

时，求：

①点M的坐标，说明理由；

②MN+BN的最小值；

（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若

存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，

∴OB＝OC，

∵OA：OB＝1：3，AB＝4，

∴OA＝1，OB＝3，

∴OC＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

将A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，

∴，

解得，

∴y＝﹣x2+2x+3，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

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（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x+3，

过点M作MG∥y轴交BC于点G，

设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），

∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，

22

∴S△MBC＝×3×（﹣t+3t）＝﹣（t﹣）+，

∵0＜t＜3，

∴当t＝时，S△MBC有最大值，

此时M（，）；

②过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，

∵∠OBC＝45°，

∴NH＝BN，

∴MN+BN＝MN+NH≥MH，

∵M（，），

∴MH＝，

∴MN+BN的最小值为，

故答案为：；

（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：

设P（m，﹣m2+2m+3），

如图2，当∠ACP＝90°时，

过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，

∴∠ECA+∠FCP＝90°，

∵∠ACE+∠EAC＝90°，

∴∠FCP＝∠EAC，

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∴△ACE∽△CPF，

∴＝，

∴＝，

解得m＝0（舍）或m＝，

∴P（，）；

如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥

MN交于N，

∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，

∴∠NAP＝∠MCA，

∴△ACM∽△PAN，

∴＝，

∴＝，

解得m＝﹣1（舍）或m＝，

∴P（，﹣）；

综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）．

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4．如图1，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），

与y轴交于C点，连接BC．

（1）求直线BC的解析式：

（2）如图1，点P是线段BC下方抛物线上任意一点，点F是y轴上一点，当△PBC面积最大时，

求PF+FO的最小值；

（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点M，点Q是直线BC上一动点，连接MQ，将△BMQ

沿MQ折叠至△B′MQ，其中点B的对应点为点B′，连接AB'，CB′，当△ACB′为等腰三角

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形时，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于C点，

∴C点坐标为（0，），

∵当y＝0时，＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6

又∵抛物线与x轴分别交于A，B两点（点B位于点A的右侧），

∴A（﹣2，0）、B（6，0）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，

解得：，

∴直线BC的解析式为：．

（2）如图1，过P点作PG∥y轴，交BC于G点，

设P点坐标为（x，），则则G点为（x，），

PG＝（）﹣（）＝，

∴当x＝3时，PG最大，

∵S△PBC＝，BO＝6，

∴当PG最大时，△PBC面积最大，此时P点坐标为（3，）．

过O点作∠MOC＝30°，过F点作HF⊥OM垂足为H，

∴HF＝，

∴PF+FO＝HF+PF，

∴当P、F、H三点在一条直线，即PH⊥OM时，HF+PF最小，

过P点作PQ⊥y轴，

∴∠FPQ＝30°，PQ＝3，

∴QF＝，PF＝2，

∴OF＝OQ﹣QF＝＝，

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∴PF+FO的最小值＝＝；

（3）∵C点坐标为（0，），抛物线对称轴为x＝2，

∴M点坐标为（2，0），

∴CM＝4，AC＝4，

由折叠性质可知BM＝B′M＝4，又有AM＝4，

∴故A、B、C、B′四点在以M点为圆心，4为半径的圆上，

∵tan∠CBO＝，

∴∠CBO＝30°，＝60°，

当△ACB′为等腰三角形时有四种情况，

Ⅰ．如图2﹣1，当AC＝B'C＝4时，

∴，

∴B′C∥x轴，∠B′MB＝60°，

∵∠MB'Q1＝∠MBQ1＝30°，

∴BQ1⊥x轴，

当x＝4时，代入得y＝．

即Q1点坐标为（4，）

Ⅱ．如图2﹣2，当AC＝B'C＝4时，

B′点恰好是C点关于x轴的对称点，

∴∠AMB′＝60°，

∵∠MB'Q2＝∠MBQ2＝30°，

∴B′Q与y轴重合，

∴Q2点与C点重合，

即Q2点坐标为（0，）；

Ⅲ．如图2﹣3，当AB′＝B'C时，即B′在AC的垂直平分线上，

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∴∠AMB′＝30°，

∵∠MB'Q2＝∠MBQ2＝30°，

∴B′Q3∥x轴，B′纵坐标为﹣2，

即Q3纵坐标为﹣2，当y＝﹣2时，代入解得x＝6﹣2，

即Q3点坐标为（6，﹣2）；

Ⅳ．如图2﹣4，当AB′＝B'C时，即B′在AC的垂直平分线上，

∴∠AB′M＝15°，

∴∠BMB′＝30°，

∵∠MB'Q4＝∠MBQ4＝150°，

∴B′Q4∥x轴，B′纵坐标为2，

即Q4纵坐标为2，当y＝2时，代入解得x＝6+2，

即Q4点坐标为（6，2）；

综上所述：当△ACB′为等腰三角形时，点Q的坐标为（4，）、（0，）；（6，

﹣2）；（6，2）；

．

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5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，

点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求

点P的坐标；

（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．

【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2，

令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，

∴x1•x2＝﹣2c，

∵tan∠CAB•tan∠CBA＝1，即＝1，

2

∴OC＝OA•OB＝（﹣x1）•x2＝2C，

即c2＝2c，

解得c1＝0（舍去），c2＝2，

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∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2，

令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，

故点A（﹣4，0），点B（1，0）；

（2）△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，

作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），

设直线AC'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，

得，

解得，

∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，

联立抛物线与直线得，

解得，，

故点P坐标（2，﹣3）；

（3）过点A作直线AD，使sin∠OAD＝，过点M作ME⊥AD于点E，如图，

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在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，

∴ME＝AM，

∴MC+AM＝MC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE，

∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，

∴∠EAM＝∠OCM，

在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，

∴tan∠OCM＝＝＝，cos∠OAD＝＝，

∴OM＝1，CM＝，

∴AM＝4﹣1＝3，

在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，

∴EM＝3•sin∠OAD＝，

∴MC+ME＝+＝．

故MC+AM的最小值．

6．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，

直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；

（3）连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．

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【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：

﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，

∴A（﹣7，0），B（1，0）；

（2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：

抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，

在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，

∴C（0，7），

∴AC＝＝7，

∴sin∠CAB＝＝＝，

在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CAB＝AM，

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∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长，

∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，

∴PN与OC关于抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7），

∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7，

由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7，

在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，

∴M（﹣6，）；

（3）过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图：

∵A（﹣7，0），B（1，0），C（0，7），

∴AB＝8，AC＝7，

∵∠MAO＝∠BAC，

∴△AOM与△ABC相似，分两种情况：

①当△ABC∽AMO时，＝，

∴＝，

∴AM＝，

∵MH⊥x轴，

∴MH∥OC，

∴△AMH∽△ACO，

第21页共62页.

∴＝＝，即＝＝，

∴AH＝，MH＝，

∴OH＝OA﹣AH＝，

∴M（﹣，），

②当△ABC∽△AOM'时，

∴＝，即＝，

∴AM'＝，

同理可得＝＝，

∴＝＝，

∴AG＝，M'G＝，

∴OG＝OA﹣AG＝，

∴M'（﹣，），

综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为（﹣，）或（﹣，）．

7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点

C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；

（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF

的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．

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【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，

解得y＝3，

∴D（﹣5，3），

把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，

解得a＝，

∴抛物线的解析式为；

（2）设直线BD与y轴交于点E，

∴E（0，），

由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），

由S△BCD＝S△ABP，

∴CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|，

∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，

∴|yP|＝，

∴yP＝±，

∵抛物线的顶点为（1，﹣），

∴yP＝，

∴P点坐标为或；

（3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：

过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，

∴sin30°＝＝，

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∴HF＝DF，

∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，

当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值，

∵A（﹣2，0），

∴F（﹣2，2），

∵D（﹣5，3），

∴AH＝3，

∴2AF+DF的最小值为6．

8．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛

物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F

为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．

（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线

段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．

【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，

第24页共62页.

解得x1＝﹣2，x2＝6，

∴OA＝2，

∵OC＝OA，

∴OC＝3，即C（0，3），

将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；

（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：

∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，

∴P横坐标为2，即ON＝2，

∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，

∵AP＝2PE，

∴AN＝2NH，

∴NH＝2，

∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，

∴E（4，3），

由（1）可知：OC＝3，OB＝6，

Rt△BOC中，BC＝＝3，

∴sin∠CBO＝＝＝，

∵EH⊥x轴，

∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，

第25页共62页.

∴FQ＝BF，

而EF+BF＝（EF+BF），

∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'

重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，

∵EH＝|yE|＝3，

∴EF+BF的最小值为3，

∴EF+BF的最小值为；

（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续

将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：

∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4），

又C（0，3），

∴CM的解析式为y＝x+3，

由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，

∴b＝8，

∴MQ解析式为y＝﹣2x+8，

在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，

∴Q（4，0），

而C（0，3），

∴CQ解析式为y＝﹣x+3，

将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t），

第26页共62页.

代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，

将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，

由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）

•（﹣t）＝0，

解得t＝，

∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．

9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x

＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；

（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标．

【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，点

A（﹣1，0），

∴B（3，0），

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

第27页共62页.

（2）∵B（3，0），，

∴OD＝4，即D（0，4）．

∴直线BE的解析式为：y＝﹣x+4．

如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于点H，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，﹣m+4），

∴PH＝﹣m+4﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+7，

∴S△BDP＝×PH×3

＝﹣m2+m+

＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当m＝时，即P（，﹣）时△BDP的面积最大．

（3）如图，过点M作MS∥y轴，过点E作ES∥x轴，过A作AT⊥ES于点T，

第28页共62页.

∵ES∥x轴，

∴∠SEM＝∠EBA，

∵tan∠EBA＝，

∴tan∠MES＝，

∴sin∠MES＝＝，

∴SM＝EM，

∴AM+EM＝AM+SM≥SA≥AT，

∴AM+EM的最小值为AT．

令x2﹣2x﹣3＝﹣x+4，

解得x＝3（舍）或x＝﹣，

∴E（﹣，），

∴AM+EM的最小值，此时M（﹣1，）．

10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），

交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）填空：a＝﹣1，点B的坐标是（3，0）；

（2）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交

抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是

线段OC上一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP+PC的最小值；

第29页共62页.

（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP+PC取得最小值时，如图2，把点P向

下平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0°＜＜

360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存α在一点Gα，

使得GQ′＝OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，

解得，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2+2x+3，

当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

解得，x1＝﹣1，x2＝3，

∴点B的坐标是（3，0）；

故答案为：﹣1，（3，0）；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3

＝﹣（x﹣1）2+4，

∴点C（0，3），点D（1，4），

设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），D（1，4）代入得：

，

解得，，

∴y＝﹣2x+6，

设点F（m，﹣2m+6），N（m，﹣m2+2m+3），

由图形可知，∠MNF＝∠DBE，

第30页共62页.

∵sin∠DBE＝，cos∠DBE＝，

∴MN+MF＝NF+NF＝NF，

∴C△MNF＝NF+NF

＝NF

＝×（﹣m2+2m+3+2m﹣6）

＝×（﹣m2+4m﹣3）

＝×[﹣（m﹣2）2+1]，

∴当m＝2时，C△MNF最大，此时F（2，2），HF＝2，

在x轴上取点K（﹣，0），则∠OCK＝30°，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，此时

PG＝PC，

∴PF+PC＝FP+PG，

∴当点F，P，G三点共线时，PF+PC有最小值为FG，

而此时点P不在线段OC上，故不符合题意，

∴FP+PC的最小值为FC的长度，

∵点C（0，3），点F（2，2），

∴CF＝＝，

∴当△MNF的周长取得最大值时，FP+PC的最小值为；

（3）存在．

第31页共62页.

由（2）可知，OP＝2tan30°+2＝+2，则点P（0，+2），

将点P向下平移个单位得到点Q，

∴点Q（0，2），

在Rt△AOQ中，OA＝1，OQ＝2，则AQ＝，

取AQ的中点G，则有OG＝GQ，

∴△A′OQ′在旋转过程中，只需使AG的中点G在坐标轴上即可使得GQ′＝OG，

如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点Q'作Q'I⊥x轴，垂足为I，

∵GQ′＝OG，

∴∠GOQ'＝∠GQ'O

∵OG∥IQ，

∴∠GOQ'＝∠IQ'O，

∴∠IQ'O＝∠GQ'O，

设Q'（x，y），则有：

sin∠IQ'O＝sin∠AQ'O

＝

＝，

∴x＝，则点Q'（，），

同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点Q'（，﹣）；

当点G在y轴负半轴上时，点Q'（﹣，﹣）；

当点G在x轴负半轴上时，点Q'（﹣，）．

综上，点Q'的坐标为（，），（，﹣），（﹣，﹣），（﹣，）．

第32页共62页.

考点二PA+QB+k•PQ

11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．

（1）求直线AE的解析式及△ACE的面积．

（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l

过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y

轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小

值．

（3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将

△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交

于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形

是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第33页共62页.

【解答】解：（1）作O与y轴夹角是60°角的直线l2，作PS∥y轴交AE于点S，交l2于点J，

作NT⊥l2于点T，设直线FB与y轴交于点I，连接IE，IE，如图：

∵＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+，

令y＝0得x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

令x＝0得y＝，

∴C（0，），

∵抛物线对称轴为直线x＝1，C、E关于对称轴对称，

∴E（2，），

设直线AE解析式为y＝kx+b，

第34页共62页.

则，解得，

∴直线AE的解析式为：y＝x+，

∴D（0，），

∴CD＝．

∴SSSSSSS△ACE＝CD•（xE﹣xA）＝ו[2﹣（﹣1）]＝．

（2）∵AE∥BF，B（3，0）

∴直线BF的解析式为：y＝x﹣，

∴I（0，﹣），

∴S△DEF＝S△DEI＝DI•xE＝×（+）×2＝，

设P（m，﹣m2+m+），（﹣1＜m＜2），则S（m，m+），

∴PS＝（m﹣m2+m+）﹣（m+）＝﹣m2+m+）＝﹣（m

﹣）2+，

22

∴S△PDE＝PS•（xE﹣xD）＝×[﹣（m﹣）+]×2＝﹣（m﹣）+，

当m＝时，S△PDE有最大值，S四边形PDFE取得最大值，此时P（，），

∵NM⊥MG，MG⊥OG，OG⊥ON，

∴∠NMG＝∠MGO＝∠GON＝90°，

∴四边形NMGO为矩形，

∴NO＝MG，

∴PN+NM+MG＝PN+1+NO＝PN+1+NO•sin∠NOT＝PN+1+NT≥1+PT，

∴当P，N，T三点共线且PT⊥l2时，PN+NM+MG取得最小值，

∵直线l2过原点且∠NOT＝60°，

∴直线l2的解析式为：y＝﹣x，

∴J（，﹣），

第35页共62页.

∴PJ＝+＝，

∴PN+NM+MG的最小值为1+•sin∠PJT＝1+＝；

（3）存在，理由如下：

设A′C′的中点为L，AL平分∠OAC，作LX⊥OB于点X，如图2：

∵OC＝，OA＝1，

∴tan∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝∠O′A′C′＝60°，

∵AL平分∠OAC，

∴∠A′AL＝∠A′LA＝30°，

∴A′A＝A′L，

∵L为A′C′的中点，

∴LX＝C′O′＝，

∴A′L＝＝1，

∴A′A＝A′L＝1，即O，A′重合，O′（1，0）

①当HC＝HK时，设直线A′′C′′与x轴交于点Y，如图3：

将△HCK沿y轴翻折可得菱形CHKQ，

第36页共62页.

∴∠HKC＝∠HCK＝∠ACO＝30°，

∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，

∴O′Y＝O′A′′＝1，

∴Y（2，0），

∵kA′′C′′＝﹣，

∴由待定系数法直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x+2，

∵A（﹣1，0），C（0，），

∴直线AC的解析式为：y＝x+，

令﹣x+2＝x+，

解得x＝，

∴H（，），

∴Q（﹣，）．

如图4：

同理可得：∠HKC＝∠HCK＝30°，

∴∠YHA＝∠YAH＝60°，

∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，kA′′C′′＝﹣，

∴O′Y＝O′A′′＝O′O＝1，

∴O，K，Y重合，

∴直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x，

令x+＝﹣x，

解得x＝﹣．

第37页共62页.

∴H（﹣，），

∴Q（，）．

②当KH＝KC时，作QZ⊥OC于点Z，如图5：

∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAY＝60°，

∴∠CKY＝60°，∠O′YC′′＝∠O′C′′Y＝30°，

∴kA′′C′′＝，O′Y＝O′C′′＝，

∴Y（1+，0），

∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣﹣1，

∴K（0，﹣﹣1），

在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝++1＝，

∵∠QCZ＝2∠KCH＝60°，

∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，

∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，

∴Q（﹣，）．

如图6：

第38页共62页.

∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAO＝60°

∴∠C′′YO′＝∠AYH＝∠O′C′′A′′＝30°

∴O′Y＝O′C′′＝，kAkA′′C′′＝，

∴Y（1﹣，0），

∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣+1，

∴K（0，﹣+1），

在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝+﹣1＝，

∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，

∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，

∴Q（，）．

综上所述，点Q的坐标为：（﹣，）或（，）或Q（﹣，）或（，

）．

12．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的

左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．

（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段

CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存

在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．

第39页共62页.

【解答】解：（1）因为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），

∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x＝＝2，

由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，

令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，

∴D（2，3），

∴CD＝C'D'＝4．

设E（m，﹣m2+m+5），则F（m，﹣m+5），

222

∴EF＝yE﹣yF＝﹣m+m+5+m﹣5＝﹣m+m＝﹣（m﹣）+，

∴当m＝时，EF取得最大值，此时E（，）．

如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'（，）．

作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．

∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，

∴D'G＝D'B，

∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，

第40页共62页.

当且仅当E'、D'、G