专题21 解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题（原卷版）

专题21解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题（原卷版）

模型一动点运动轨迹——直线型

【模型解读】(1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直

线．(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径

为直线．

基本图形：

典例1（2021秋•遂川县期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点（不

与端点A，D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．

（1）当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE＝PC；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．

变式练习

1．（2022•呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动

点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中

点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．

3．（2019•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴

上，OA＝8，OC＝4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达

点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，

点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）填空：当t＝时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；

第1页共7页更多资料加微信：.

（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t的值；若不能，请说明

理由；

（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为．

4．（2019秋•牡丹区期末）（1）问题发现：如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和

AD上，连接CF．

①写出线段CF与DG的数量关系；

②写出直线CF与DG所夹锐角的度数．

（2）拓展探究：

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请利用图

②进行说明．

（3）问题解决

如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．点

D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，求线段OE的长的最小值．（直接写出结果）

第2页共7页更多资料加微信：.

模型二动点运动轨迹——圆或圆弧型

【模型解读】(1)“一中同长”：到定点的距离等于定长的点的集合是圆．(2)用定弦对定角定圆：当某

条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧．见直角→找斜边(定长)→想直径→定外心→现

“圆”形；见定角→找对边(定长)→想圆周角→转圆心角→现“圆”形．

基本图形：

典例2（2021•红花岗区二模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，），

5

点E在边AB上，且AE＝1．已知点P是边CO上的一个动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段2，

垂足为点H，在点P从点C运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为．

变式训练

1．（2020•岑溪市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线yx

3

与O交于B、C两点，则弦BC的长为．=3+3

⊙

2．（2021秋•宝应县期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F

从点D出发向点C运动，点E与点F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线

段AF，BE相交于点P，则线段DP的最小值为．

第3页共7页更多资料加微信：.

模型三动点轨迹为其他曲线，构造三角形

【模型解读】(1)当动点轨迹不是“定线”或“定圆”，是两条线段时，可以考虑三角形的三边关系，

最大值为其他两线段长之和，最小值为其他两线段长之差．(2)在转化较难进行时，可以借助于三角形的中

位线及直角三角形斜边上的中线．(3)这类问题归属为滑竿问题．

基本图形：

8．（2022•青秀区校级开学）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B

在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动

过程中点D到点O的最大距离是．

变式训练

1．（2022秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△

ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形

状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为．

2．（2020•昆山市一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连接

AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连接DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．

第4页共7页更多资料加微信：.

模型四双动点型

【模型解读】(1)对于不关联的双动点问题，采用“控制变量法”，先控制其中一个点不动，分析另一

个点的运动轨迹，再让这个点运动起来，可以使问题更直观，思路更清晰；(2)对于多个点运动并且是联动

的问题，一般采用相对运动法，可以让一些点静止，减少动点的个数，使问题简单化．

典例4（2022秋•青秀区校级期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC

于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是．

变式训练

1．（陕西中考）如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在

直线l的异侧，若∠⊙AMB＝45°，则四边形MA⊙NB面积的最大值是．⊙

2．（惠山区期末）如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，

CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运

动的路径长是（）

A．2B．C．4D．6

8

2ππ52

3

第5页共7页更多资料加微信：.

3．（启东市一模）阅读并解答下列问题：

问题一．如图1，在ABCD中，AD＝20，AB＝30，∠A＝60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当

AP＝时，PB最▱小值为．

问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB＝60°，P是线段AC上的动点，E在AB

上，且，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．

1

问题三�．�如=图4�3，�在矩形ABCD中，AB＝20，CB＝10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP

长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．

模型四动点在函数图象上运动类型

典例5（2020•浙江自主招生）如图，点A是双曲线y在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长

6

交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠=A−C�B＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点

C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y上运动，则k的值为．

�

=�

第6页共7页更多资料加微信：.

变式训练

1．（2021春•亭湖区校级期末）如图，已知点A是双曲线y在第一象限的分支上的一个动点，连结AO

2