专题8 填空题压轴题之动点问题（解析版）

专题8填空题压轴题之动点问题（解析版）

模块一2022中考真题训练

类型一用函数观点描述几何图形

1．（2022•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥

AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数

图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为．

思路引领：根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，BDEF的面积为3，则

此时BF，AB＝2BF，即可解决问题．▱

解：∵抛=物线3的顶点为（2，3），过点（0，0），

∴x＝4时，y＝0，

∴BC＝4，

作FH⊥BC于H，当BD＝2时，BDEF的面积为3，

▱

∵3＝2FH，

∴FH，

3

∵∠A=BC2＝60°，

∴BF，

3

2

∵DE=∥A𝑠B�，60°=3

∴AB＝2BF＝2，

3

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故答案为：2．

总结提升：本题3主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角

函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．

2．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A

出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→

DC向终点C运2动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的

图象如图2所示，当x（s）时，则y＝cm2．

735

=

24

思路引领：根据题意以及函数图像可得出△AED∽△APQ，则点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角

三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时x＝3，则AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，

过点P作PF⊥AD于点F，结合面积公式，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，最后代

入求解即可．

解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

在Rt△ADE中，

∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，

∴，

𝐴2

=

𝐴2

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∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，

∴APx，AQ＝22x，

∴=2，

𝐴2�2

==

在�△�APQ2和�△AE2D中，

，∠A＝45°，

𝐴𝐴2

==

�∴�△AE�D�∽△2APQ，

∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，

∴AP＝PQx，

=2

∴当点Q在AD上运动时，yAP•AQxx＝x2，

11

由图像可知，当y＝9此时面积=最2大，x＝=32或×﹣23（×负2值舍去），

∴AD＝2x＝6cm，

当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：

此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，

在Rt△APF中，APx，∠PAF＝45°，

∴AF＝PF＝x，FD＝=6﹣2x，QD＝2x﹣6，

2

∴S△APQx（x+2x﹣6）•（6﹣x）6×（2x﹣6），

111

即y＝﹣=x2+26x+，2−2×

当x时，y＝﹣（）2+6，

77735

=×=

故答案2为：．224

35

总结提升：本4题考查了动点问题的函数图像，注意分类讨论，求出各段函数的函数关系式是解答本题的

关键．

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3．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C

停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象

如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为22．

5+

思路引领：由图象可得AB＝BC＝4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．

解：如图，连接AP，

由图2可得AB＝BC＝4cm，

∵∠B＝36°，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠C＝72°，

∵AP平分∠BAC，

∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，

∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，

∴AP＝AC＝BP，

∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，

∴△APC∽△BAC，

∴，

𝐴��

2=

∴�A�P＝A�B�•PC＝4（4﹣AP），

∴AP＝22＝BP，（负值舍去），

5−

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∴t22，

4+25−2

故答=案为：12=2．5+

总结提升：本题5+是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三

角形相似是解题的关键．

类型二三角形、多边形上的动点问题

4．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且

AN＝CM，AB．当AM+BN的值最小时，CM的长为2．

=2−2

思路引领：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．AM+BN，欲求

2222

AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1=，1）1，+F（(10−，�)）+的(距离2)和+的�最小值，

如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最2小，此时直线EF′的

解析式为y＝（1）x，求出点P的坐标，可得结论．

解：过点A作AH2⊥+BC于−点2H．设AN＝CM＝x．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

=2

∴BC2，

22

∵AH=⊥BC(，2)+(2)=

∴BH＝AH＝1，

∴AH＝BH＝CH＝1，

∴AM+BN，

2222

欲求AM+B=N的1最+小(1值−，�相)当+于(在2x)轴+上�寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，）的距离和的最

小值，如图1中，2

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作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，

此时直线EF′的解析式为y＝（1）x，

当y＝0时，x＝2，2+−2

∴AM+BN的值最−小时2，CM的值为2，

解法二：过点C作CE⊥CB，使得CE−＝A2C，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．

∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，

∴△BAN≌△ECM（SAS），

∴BN＝EM，

∴AM+BN＝AM+ME，

∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，

∵AD∥EC，

∴，

����

==2

∴C�M�𝐴1＝2．

2

=×−2

故答案为1：+22．

总结提升：本−题考2查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是

学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

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5．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连

接DF，CF，则∠BCF＝30°，FB+FD的最小值为5．

3

思路引领：首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，

连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的

长．

解：如图，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，

∴∠BAE∠BAC＝30°，

1

∵△BEF=是2等边三角形，

∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△BAE和△BCF中，

，

��=��

∠𝐴�=∠���

∴�△�=BA�E�≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠BCF＝30°，

作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′

+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．

∵∠DCF＝∠FCG＝30°，

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∴∠DCG＝60°，

∵CD＝CG＝5，

∴△CDG是等边三角形，

∴DB＝DC＝DG，

∴∠CGB＝90°，

∴BG5，

2222

∴BF+=DF�的�最−小�值�为=510，−5=3

故答案为：30°，5．3

总结提升：本题考查旋3转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找

全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

6．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针

旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为120°；

当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为75°．

思路引领：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，

推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，

可得结论．

解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．

∵△BPP′是等边三角形，

∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，

∴∠ABP＝∠EBP′，

在△ABP和△EBP′中，

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，

��=��

∠𝐴�=∠���′

∴�△�A=B�P�≌′△EBP′（SAS），

∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，

∴点P′在射线EP′上运动，

如图1中，设EP′交BC于点O，

当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，

当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，

∴EOOB，OP′OC，

11

==

∴EP′＝2EO+OP′2OBOCBC，

111

∵BC＝2AB，=2+2=2

∴EP′＝AB＝EB，

∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，

∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，

∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．

故答案为：120°，75°．

总结提升：本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考填空题中的压轴题．

7．（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝

2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为

22．

5−

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思路引领：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，

利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH

＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．

解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，

作MH⊥CD于H，

∵∠EDF＝∠GDM，

∴∠EDG＝∠FDM，

∵DE＝DF，DG＝DM，

∴△EDG≌△MDF（SAS），

∴MF＝EG＝2，

∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，

∴△DGC≌△MDH（AAS），

∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，

∴CM2，

22

∵CF≥=CM4﹣+M2F，=5

∴CF的最小值为22，

故答案为：22．5−

总结提升：本题5−主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形

三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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8．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动

点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交

于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2．

3

思路引领：由已知求出AB＝4，AC＝2，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况进行讨论，即可

求出答案．3

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，

∴∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝2×2＝4，

∴AC2，

2222

当∠A=PQ＝𝐴90−°�时�，=如图41，−2=3

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，

∴∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝2×2＝4，

∴AC2，

2222

∵∠A=PQ＝𝐴∠−AC�B�＝=90°4，−∠2CA=P＝∠3BAC，

∴△CAP∽△BAC，

∴，即，

��𝐴234

==

∴�A�P＝3�，�𝐴23

当∠AQP＝90°时，如图2，

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∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，

∴四边形DPEC是矩形，

∴CQ＝QP，

∵∠AQP＝90°，

∴AQ垂直平分CP，

∴AP＝AC＝2，

综上所述，当△3APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，

故答案为：3或2．3

总结提升：本题考查3了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含30度角的直角三角形的性

质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，分类讨论的数学思

想是解决问题的关键．

9．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM

＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．

15

2

思路引领：连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，根据勾股定理

7

求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含=A2M的代数式表示ME、NF，

计算即可．

解：连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，

7

=2

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由勾股定理得：OA，

2227215

∵ME⊥BD，AO⊥B=D，𝐴−𝐴=4−(2)=2

∴ME∥AO，

∴△DEM∽△DOA，

∴，即，

������4−𝐶

=15=

��𝐴4

2

解得：ME，

415−15𝐶

=

同理可得：NF8，

15𝐶

=

∴ME+NF，8

15

=

故答案为：2．

15

2

总结提升：本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定

理是解题的关键．

10．（2022•盘龙区二模）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点

E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C

点向D点运动．当点Q的运动速度为或3或或cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．

9515

1344

思路引领：设点P在线段BC上运动的时间为ts，分两种情况讨论，①点P由B向C运动时，△BPE≌

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△CQP②△BPE≌△CPQ，③点P由C向B运动时，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根据全等

三角形的对应边相等列方程解出即可．

解：设点P在线段BC上运动的时间为ts，

①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，

∵△BPE≌△CQP，

∴BE＝CP＝5，

∴5＝8﹣3t，

解得t＝1，

∴BP＝CQ＝3，

此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）；

②点P由B向C运动时，

∵△BPE≌△CPQ，

∴BP＝CP，

∴3t＝8﹣3t，

t，

4

=

此时3，点Q的运动速度为：5（cm/s）；

415

③点P由C向B运动时，CP÷＝33t=﹣84，

∵△BPE≌△CQP，

∴BE＝CP＝5，

∴5＝3t﹣8，

解得t，

13

∴BP＝=C3Q＝3，

此时，点Q的运动速度为3（cm/s）；

139

④点P由C向B运动时，÷3=13

∵△BPE≌△CPQ，

∴BP＝CP＝4，

3t﹣8＝4，

t＝4，

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∵BE＝CQ＝5，

此时，点Q的运动速度为5÷4（cm/s）；

5

=4

综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；

9515

故答案为：或3或或．1344

9515

总结提升：1本3题考查三4角4形全等的判定，掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示及分情况讨论，

它们也是解决问题的关键．

类型三有关圆的动点问题

11．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点

A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为或．

36

25

思路引领：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．

解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，

∵圆与AC相切于点A．

∴OA⊥AC，

由题意可知：D点位置分为两种情况，

①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，

∴OA＝r，OC＝4﹣r，

∵AC＝2，

在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，

解得：r，

3

=

即AD＝AO2；

3

=

②当∠ADC＝290°时，AD，

��⋅𝑃

=

∵AO，AC＝2，OC＝4﹣r𝑃，

35

=2=2

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∴AD，

6

=5

综上所述，AD的长为或，

36

故答案为：或．25

36

25

总结提升：本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．

12．（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，

0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．

①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为（4，33）；

②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为（0，3±）或2（+0，﹣3

±）．2

2

思路引领：①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知AB＝6，OC的

半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；

②同理根据2作辅助线，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．

解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，

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∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），

∴AB＝7﹣1＝6，

∵∠APB＝45°，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC＝3，

∴PC＝3，2

∵点P在直2线x＝4上，

∴AD＝4﹣1＝3，

∴AD＝BD，

∵CD⊥AB，

∴CD＝AD＝3，

∴P（4，33），

故答案为：（24，+33）；

②如图2所示，同2理+作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接

PC，P1C，

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在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，

则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，

2

由勾股定理得：PE，

22

∴PO＝3，=(32)−4=2

同理得：+OP12＝3，

∴P（0，3±）−，2

综上分析，点P2的坐标为（0，3±）．

故答案为：（0，3±）．2

总结提升：本题主要考2查了坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题关键是作△APB的

外接圆．

模块二2023中考押题预测

13．（2022•驻马店二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四

边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为32．

3−

思路引领：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于

F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．

解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交

CD于G，则OM+ME≥OF．

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∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，

∴OMAD＝2，

1

∵AB∥=C2D，

∴∠GCF＝∠B＝60°，

∴∠DGO＝∠CGF＝30°，

∵AD＝BC，

∴∠DAB＝∠B＝60°，

∴∠ADC＝∠BCD＝120°，

∴∠DOG＝30°＝∠DGO，

∴DG＝DO＝2，

∵CD＝4，

∴CG＝2，

∴OG＝2OD•cos30°＝2，GF，OF＝3，

∴ME≥OF﹣OM＝323，=33

∴当O，M，E共线时3，−ME的值最小，最小值为32．

总结提升：本题考查解直角三角形，垂线段最短，直3角−三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学

会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

14．（2022•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE，如

=5

果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是MP．

15

≥3

思路引领：过M点作MF⊥OB于F，如图，先根据角平分线的性质得到ME＝MF，∠AOM＝30°，再

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利用含30度角的直角三角形三边的关系得到ME，所以MF，然后根据垂线段最短可确定线

1515

段MP的取值范围．=3=3

解：过M点作MF⊥OB于F，如图，

∵OM平分∠AOB，ME⊥OA，MF⊥OB，

∴ME＝MF，∠AOM∠AOB60°＝30°，

11

在Rt△OME中，∵∠=M2OE＝30=°2，×

∴MEOE，

3315

==×5=

∴MF3，33

15

∵P是=OB3上一动点，

∴MP≥MF，

即线段MP的取值范围为MP．

15

≥

故答案为：MP．3

15

≥3

总结提升：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最

短．

15．（2022•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动

点，则△DEF周长的最小值为3．

思路引领：作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，

HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确

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定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边

角关系确定GH＝AD，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为AI，最后根据等

边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．

解：如图，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，

HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．

∴GE＝DE，HF＝DF，AG＝AD，AH＝AD，∠GAB＝∠DAB，∠HAC＝∠DAC，

∴AG＝AH，C△DEF＝DE+DF+EF＝GE+HF+EF，

∴∠GAJ＝∠HAJ∠GAH，△DEF周长的最小值是GH．

1

∵三角形ABC是等=边2三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°

∴∠DAB+∠DAC＝60°，

∴∠GAB+∠HAC＝60°，

∴∠GAH＝∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC＝120°，

∴∠GAJ＝∠HAJ＝60°，

∴GJ＝AG×sin∠GAJAGAD，J＝AH×sin∠HAJAHAD，

3333

∴GH＝GJ+HJAD=，2=2=2=2

∴当AD取得最=小值3时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．

∴当AD⊥BC时，即点D与点Ⅰ重合时，ADEF周长取得最小值为AI，

∵AB＝2，3

∴AI＝AB×sin∠ABC，

∴AI＝3．=3

∴△3DEF周长的最小值是3．

故答案为：3．

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总结提升：本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点D关于AC、BC的对称点，将△DEF的周长

转化为MN的长是解题的关键．

16．（2022•仁怀市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D为边AB的中点，

点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为．

43

思路引领：先作点D关于AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，当B，P，E在同

一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，再判定△ADE是等边三角形，求得Rt△ABE中，BE，即可

得到PB+PD的最小值为．=43

解：如图所示，作点D关4于3AC的对称点E，连接AE，PE，DE，则AE＝AD，PE＝PD，

∴BP+PD＝BP+PE，

∴当B，P，E在同一直线上时，BP+PD＝BP+PE＝BE，

∵∠BAC＝30°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠ADE＝60°，

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又∵D为AB上的中点，

∴DE＝AD＝DB，

∴∠DEB∠ADE＝30°＝∠ABE，

1

∴∠AEB＝=920°，

∵AB＝8，

∴AE＝4，

∴Rt△ABE中，BE，

即PB+PD的最小值=为43，

故答案为：．43

总结提升：4本题3主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质、勾股定理等，凡是涉及最短距

离的问题，一般要考虑线段的性质定理，利用轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

17．（2022•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB的三等分点，点

P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是：

或6＜a≤2．�=25

10

思路引领：根据题意若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则PD+PE取得最小值或最大值，作点E

关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，则PD+PE＝PD+PE'＝DE'＝a即可．

解：若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，

则PD+PE取得最小值，

作点E关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，

则PD+PE＝PD+PE'＝DE'，

∵A（3，3），B（6，0），

∴OA＝AB3

22

∴（3）=2+（33+）32=＝622，

22

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∴△AOB为等腰直角三角形，

∴∠ABO＝45°，

∵点D、E是OB的三等分点，

∴OD＝DE＝EB＝2，

根据轴对称的性质可得，∠ABE＝∠ABE'＝45°，EB＝E'B＝2，

∴∠EBE'＝90°，

∴，

22

即��+��时=，�只�+存�在�唯′=一�一�个′=点P4使+得2P=D+2PE5＝a，

当�P=在2A5点时，PD+PE＝2，P在B点时PD+PE＝6，

∴PD+PE的最大值为2，1最0小值为2，

∴或6＜a≤21，05

�=2510

总结提升：本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理等知识点，读懂题意得出若只存在唯一一

个点P使得PD+PE＝a，则PD+PE取得最小值或最大值是解本题的关键．

18．（2022•夏邑县校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E

为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，

AE的长为或．

3

3

3

思路引领：当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据对称的性质得到和等腰三角形的判定和

性质定理以及直角三角形的性质即可得到结论．

解：∵AC＝BC＝2，点D为AC的中点，

∴ADAC＝1，

1

①当直=线2EF与直线AC垂直时，如图1，

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∵点A关于直线DE的对称点为点F，

∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，

∵∠AGE＝90°，

∴∠AEG＝60°，

∴∠AED＝∠FED＝30°，

∴AD＝DE＝1，

过D作DM⊥AE与M

∴AE＝2AM＝21；

3

②当直线EF与×直2线×AC=垂3直时，如图2，

∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，

∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，

∵∠AGE＝∠FGD＝90°，

∴∠FDG＝60°，

∴∠ADE＝∠FDE＝30°，

∴∠A＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴AGAD，

11

=2=2

∴AE，

3

=

故答案为3：或．

3

3

3

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总结提升：本题考查了翻折变换（折叠问题）等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正

确的作出图形是解题的关键．

19．（2022•新昌县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连

结BP和PQ．把△ABC分割成三个三角形．若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数

可以是80°．

思路引领：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

解：∵∠A＝60°，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，

∴△ABP是等边三角形，

∴∠ABP＝∠A＝60°，

①如图1，

当BP＝BQ，PQ＝CQ时，

则∠C＝∠CPQ，∠BPQ＝∠BQP，

∴∠C+∠CBP＝∠APB＝60°，

∴∠CBP＝60°﹣∠C，

∵∠BQP＝∠C+∠CPQ＝2∠C，

∴2∠C+2∠C+60°﹣∠C＝180°，

∴∠C＝40°，

∴∠ABC＝80°；

②如图2，当BQ＝PQ＝PC时，

则∠PBQ＝∠BPQ，∠C＝∠CQP，

∵∠PQB＝180°﹣∠CQP＝180°﹣∠C，

∴∠QBP+∠BPQ+∠BQP＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣∠C＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣（60°﹣∠PBQ）＝

180°，

∴∠PBQ＝20°，

∴∠ABC＝80°，

综上所述，∠ABC的度数可以是80°，

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故答案为：80°．

总结提升：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，分类讨论是解题的关键．

20．（2022•新化县一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．点E为边AC上的动点，

点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是．

5

2

思路引领：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，当B、E、F'共线且与AB'垂直时，求BD

的长即可．

解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，作BD⊥AB'于D，

∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，

∴FE+EB＝BE+EF'，

∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，BE+EF'长度最小，即求BD的长，

在△ABD中，BDAB，

15

==

故答案为：．22

5

2

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总结提升：本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，将BE+EF转化为求线段BD是解题的关键．

21．（2022•顺城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点M是射线AC上的

一个动点，MC＝1，连接BM，以AB为边在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直线BE交AC的延长线于点

F，则CF＝或．

618

75

思路引领：分两种情况根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．

解：如图，过点F作FH⊥BM于点H，

∴∠BHF＝90°，

∵∠ABE+∠ABF＝180°，∠AMB+∠BMF＝180°，∠ABE＝∠AMB，

∴∠ABF＝∠BMF，

∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠BMF+∠MBF+∠AFB＝180°，

∴∠A＝∠MBF，

∵∠A＝30°，

∴∠MBF＝∠A＝30°，

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∴HFBF，

1

设CF=＝2x，

∵MC＝1，

∴MF＝MC+CF＝x+1，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，

∴BC＝AC•tan30°＝62，

3

∴BM×3，=BF3，

22222

=��+��=13=��+��=12+�

∴HFBF，

112

=2=212+�

∵MF•BCBM•FH，

11

=

∴2（x+1）×22，

1112

3=×13×12+�

∴x2或x（舍2去），2

618

如图=，7过点=F−作5FH⊥BM，交BM的延长线于点H，

∴∠BHF＝90°，

设CF＝x，

∵MC＝1，

∴MF＝CF﹣MC＝x﹣1，

同理，BM，BF，HFBF，

2112

=13=12+�=2=212+�

∵MF•BCBM•FH，

11

=

∴2（x﹣1）×22，

1112

3=×13×12+�

222

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