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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题27以相似为载体的几何综合问题
21.(2022·四川内江·中考真题)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点M、N分别在
AB、AD上,且MN⊥MC,点E为CD的中点,连接BE交MC于点F.
(1)当F为BE的中点时,求证:AM=CE;
(2)若=2,求的值;
𝐸𝐴
(3)若�M�N∥BE,��求的值.
𝐴
【答案】(1)见解析��
(2)
27
(3)37
2
7
【分析】(1)根据矩形的性质,证明△BMF≌△ECF,得BM=CE,再利用点E为CD的中
点,即可证明结论;
(2)利用△BMF∽△ECF,得,从而求出BM的长,再利用△ANM∽△BMC,得
𝐸𝐵1
,求出AN的长,可𝐸得=答�案�=;2
𝐴𝐵
(�3�)首=先��利用同角的余角相等得CBF=CMB,则tan∠CBF=tan∠CMB,得,可
����
得BM的长,由(2)同理可得答∠案.∠��=𝐵
(1)
证明:∵F为BE的中点,
∴BF=EF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD
∴∠BMF=∠ECF,
∵∠BFM=∠EFC,
第1页共69页.
∴△BMF≌△ECF(AAS),
∴BM=CE,
∵点E为CD的中点,
∴CE=CD,
1
∵AB=C2D,
∴,
1
∴𝐵=��,=2��
∴�AM�==C�E�;
(2)
∵∠BMF=∠ECF,∠BFM=∠EFC,
∴△BMF∽△ECF,
∴,
𝐸𝐵1
∵C𝐸E==3��,=2
∴BM=,
3
∴AM=2,
9
∵CM⊥2MN,
∴∠CMN=90°,
∴∠AMN+∠BMC=90°,
∵∠AMN+∠ANM=90°,
∴∠ANM=∠BMC,
∵∠A=∠MBC,
∴△ANM∽△BMC,
∴,
𝐴𝐵
𝐵=��
∴9,
𝐴2
3
2=4
∴,
27
∴D𝐴N==A1D6﹣AN=4﹣=,
2737
1616
∴27;
𝐴1627
37
��37
(3)=16=
∵MN∥BE,
∴∠BFC=∠CMN,
∴∠FBC+∠BCM=90°,
第2页共69页.
∵∠BCM+∠BMC=90°,
∴∠CBF=∠CMB,
∴tan∠CBF=tan∠CMB,
∴,
����
∴��=𝐵,
34
∴4=𝐵,
16
∴𝐵=3,
162
由(𝐵2)=同��理−得�,�=6−,3=3
𝐴𝐵
𝐵=��
∴2,
𝐴3
16
3=4
解得:AN=,
8
∴DN=AD﹣9AN=4﹣=,
828
99
∴8.
𝐴92
28
【点��睛=】9本=题7是相似形综合题,主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三
角形的判定与性质,三角函数等知识,求出BM的长是解决(2)和(3)的关键.
22.(2022·贵州铜仁·中考真题)如图,在四边形中,对角线与相交于点O,记
的面积为,的面积为.��𝑁��𝑁
△(1�)��问题解决:�如1图△①�,��若AB//CD,�2求证:
�1��⋅��
(2)探索推广:如图②,若与不平行,(�21=)�中�⋅�的�结论是否成立?若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.��𝑁
(3)拓展应用:如图③,在上取一点E,使,过点E作交于点F,点
H为的中点,交于点��G,且,��若=��,求值.𝐸∥𝑁��
��5�1
����𝐸��=2����=6�2
【答案】(1)见解析;(2)(1)中的结论成立,理由见解析:(3)
25
【分析】(1)如图所示,过点D作AE⊥AC于E,过点B作BF⊥A5C4于F,求出
,,然后根据三角形面积公式求解即可;��=��⋅
sin∠���𝐸=��⋅sin∠𝐶�
第3页共69页.
(2)同(1)求解即可;
(3)如图所示,过点A作交OB于M,取BM中点N,连接HN,先证明△OEF≌△OCD,
得到OD=OF,证明△OE�F�∽∥△�O�AM,得到,设,,
����5
则,,证明△OGF∽△O�H�N=,�推�=出6��=��=,5���=��=5�
315�
��=6,�则��=6�,由(2)结论求解�即�可=.2��=2𝐴=��=��−
3�
�【�详=解】2解:(��1)=如��图+所�示�,=过9点�D作AE⊥AC于E,过点B作BF⊥AC于F,
∴,,
∴��=��⋅sin∠���𝐸=��⋅sin∠𝐶�,
11
�△�𝑁=�1=2��⋅��=2��⋅��⋅sin∠��,�
11
�∵△∠𝐶D�=O�E2==∠2B�O�F⋅,𝐸=2��⋅��⋅sin∠𝐶�
∴;
sin∠���=sin∠𝐶�
∴1;
�12��⋅��⋅sin∠�����⋅��
1
2
�=2��⋅��⋅sin∠𝐶�=��⋅��
(2)(1)中的结论成立,理由如下:
如图所示,过点D作AE⊥AC于E,过点B作BF⊥AC于F,
∴,,
∴��=��⋅sin∠���𝐸=��⋅sin∠𝐶�,
11
�△�𝑁=�1=2��⋅��=2��⋅��⋅sin∠��,�
11
�∵△∠𝐶D�=O�E2==∠2B�O�F⋅,𝐸=2��⋅��⋅sin∠𝐶�
∴;
sin∠���=sin∠𝐶�
∴1;
�12��⋅��⋅sin∠�����⋅��
1
2
�=2��⋅��⋅sin∠𝐶�=��⋅��
(3)如图所示,过点A作交OB于M,取BM中点N,连接HN,
𝐵∥𝐸
第4页共69页.
∵,
∴∠𝐸O∥�D�C=∠OFE,∠OCD=∠OEF,
又∵OE=OC,
∴△OEF≌△OCD(AAS),
∴OD=OF,
∵,
∴△𝐸O∥�EF�∽△OAM,
∴,
����5
设��=��=6,,则,,
∵�H�是=A�B�的=中5点�,�N�是=B�M�的=中5�点,��=6���=6�
∴HN是△ABM的中位线,
∴,
∴△��O∥G�F�∽∥�△�OHN,
∴,
����
∵O��G==2�G�H,
∴,
2
∴��=3��,
����2
∴��=��=3,,
315�3�
∴��=2��=2𝐴,=��=��−��=2
由(��2)=可��知+𝐴=9�.
�1��⋅��5�⋅5�25
�2=��⋅��=6�⋅9�=54
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判
定,三角形中位线定理,正确作出辅助线是解题的关键.
23.(2022·内蒙古包头·中考真题)如图,在平行四边形中,是一条对角线,且
,,,是边上两点,点在点的右�侧�,𝑁��,连接,的�延�长=
�线�与=5的�延�长=线6相�交于�点�.�����=������
���
第5页共69页.
(1)如图1,是边上一点,连接,,与相交于点.
①若�,求��的长;𝐵�������
3
②在满��足=①2的条�件�下,若,求证:;
(2)如图2,连接,是𝐴上=一�点�,连接�.�若⊥��,且,
求的长.�����𝑂∠𝑂�=∠𝐸�+∠�𝐸��=2��
【答𝐸案】(1)①;②证明见解析
5
(2)3
2
【分析】(1)①解:根据平行四边形的性质可证,得到,再根
𝑂��
据,,,结��合�平�行四边形的△性�质�求�∽出△�的��长,代入��比=例�式�即可
3
求出��=的��长=;5��=6��=2��
②先根𝑂据证明可得,再根据,求出,进
3
一步证明���△,�最��后≌利△用�等��腰三角�形�的=三𝐵线合一可证�明�结=论2.��=��𝐸=3
(2)如图�,�连=接��,先根据证明,再结合,说
明,利用�平�行线分线段��成�比例△定�理�可�得≌△���,接着证明∠𝑂�=∠𝐸�+∠,�可𝐸得到
��1
𝑂,∥设𝐸,则,根据��=2构建方程求△出𝑂,最�∽后△利�用��
��1
��=2可�得�=结�论.��=2�𝑁=��+��=6�𝐸=𝑁−
�(�1−)��
①解:如图,
∵四边形是平行四边形,,,
∴�,�𝑁,��=,��=5��=,6
∴��∥𝑁𝑁∥,����=��=,5𝑁=��=6
∴∠���=∠𝑁�,∠𝑂�=∠���
∴△𝑂�,∽△���
𝑂��
∴��=��,
∵𝑂·��,=��·��
3
��=2
第6页共69页.
∴,
39
∴��=𝑁−�,�=6−2=2
93
∴2𝑂=,5×2
5
∴𝑂的=长3为.
5
𝑂3
②证明:∵,
∴𝑁∥�,�
∵∠𝐸�=∠,𝐵�
在𝐴=�和�中,
△𝐴�△𝐴�
∠𝐸�=∠𝐵�
∴,𝐴=𝐴
∠𝐴�=∠𝐴�
∴△𝐴�≌,△𝐴����
∵𝐸=�,�,
3
∴��=2,��=��
3
∴��=2,
∴𝐸=𝑁,−��−��=3
∵𝐵=3,
∴��=6,
∴𝐵=��,−𝐵=3
∵𝐵=��,
∴��=��.
(�2)�⊥��
如图,连接,
∵,𝐸,
∴��=��,��=��
∴��=��,
∵∠�𝑁=,∠𝑁�
在��=�和�中,
△���△���
第7页共69页.
��=��
∴,∠�𝑁=∠𝑁�
��=��
∴△���≌,△������
∴��=𝐸
∵∠𝐸�=∠�𝐸,
∴∠𝑂�=∠𝐸�+∠�𝐸,
∴∠𝑂�=,∠𝐸�+∠�𝐸=∠𝐸�+∠𝐸�=∠𝐸�
∴𝑂∥𝐸,
����
∵��=��,
∴��=,2��
��1
∵��=2,
∴��∥𝑁,,
∴∠���=∠𝑁�,∠𝑂�=∠���
∴△𝑂�,∽△���
����
∴��=�,�
��1
∴��=2,
设��=2,��则,
∵��=�,��=2�
∴𝑁=6,
∴𝑁=,��+��=�+2�=6
即�=2,
∴��=2,
∴��=2.
∴𝐸的=长𝑁为−.��−��=2
𝐸2
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性
质,等腰三角形的三线合一,平行线的判定及性质,平行线分线段成比例定理等知识.灵活
第8页共69页.
运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键.
24.(2022·江苏泰州·中考真题)已知:△ABC中,D为BC边上的一点.
(1)如图①,过点D作DE∥AB交AC边于点E,若AB=5,BD=9,DC=6,求DE的长;
(2)在图②,用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F,使∠DFA=∠A;(保留作图痕迹,不
要求写作法)
(3)如图③,点F在AC边上,连接BF、DF,若∠DFA=∠A,△FBC的面积等于,
1
以FD为半径作⊙F,试判断直线BC与⊙F的位置关系,并说明理由.2𝑁•��
【答案】(1)2
(2)图见详解
(3)直线BC与⊙F相切,理由见详解
【分析】(1)由题意易得,则有,然后根据相似三角形的性质与判定可进行求
𝑁2𝑁2
解;𝑁=3��=5
(2)作DT∥AC交AB于点T,作∠TDF=∠ATD,射线DF交AC于点F,则点F即为所求;
(3)作BR∥CF交FD的延长线于点R,连接CR,证明四边形ABRF是等腰梯形,推出AB=FR,
由CF∥BR,推出,推出CD⊥DF,然后问题可求解.
11
(1)�△𝐸�=�△𝐸�=2��⋅𝑁=2��⋅𝑁
解:∵DE∥AB,
∴,
∴△𝑁�,∽△���
��𝑁
∵A��B=5�,�BD=9,DC=6,
∴,
��6
∴5=6+9;
(�2)�=2
解:作DT∥AC交AB于点T,作∠TDF=∠ATD,射线DF交AC于点F,则点F即为所求;
如图所示:点F即为所求,
第9页共69页.
(3)
解:直线BC与⊙F相切,理由如下:
作BR∥CF交FD的延长线于点R,连接CR,如图,
∵∠DFA=∠A,
∴四边形ABRF是等腰梯形,
∴,
∵△��F=BC�的�面积等于,
1
∴2𝑁•��,
11
∴C�△D�⊥��D=F,�△𝐸�=2��⋅𝑁=2��⋅𝑁
∵FD是⊙F的半径,
∴直线BC与⊙F相切.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定,熟练
掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键.
25.(2022·湖南岳阳·中考真题)如图,和的顶点重合,,
,,△�.��△����∠���=∠���=90°
∠���=∠𝑁�=30°��=3��=2
第10页共69页.
(1)特例发现:如图1,当点,分别在,上时,可以得出结论:______,直线
𝑁
与直线的位置关系是____�__;�������=𝑁
(2)探究�证�明:如图2,将图1中的绕点顺时针旋转,使点恰好落在线段上,连
接,(1)中的结论是否仍然成立△?�若�成�立,�请证明;若不成立,�请说明理由;��
(3)�拓�展运用:如图3,将图1中的绕点顺时针旋转,连接、,
它们的延长线交于点,当△时��,�求�的值�(.19°<�<60°)𝑁��
【答案】(1),垂直���=��tan60°−�
(2)成立,理由3见解析
(3)
85−93
11
【分析】(1)解直角三角形求出,,可得结论;
(2)结论不变,证明���,�推出,,可得结论;
𝑁��
(3)如图3中,过点△作�𝑁∽△于��点�,设�交�=�于�=点3,过∠点𝑁�作=∠���于点求出,
,可得结论.�𝐵⊥���𝑁𝐴����⊥���.𝐵
�(1�)
解:在中,,,,
∴𝑅△���,∠�=90°��=3∠�=30°
在��=3�中�,=33,,
∴𝑅△𝑁�∠𝑁,�=30°��=2
∴𝑁=,3��=23,
∴��=1,�此�时=3,
𝑁
故答��案=为3:,垂𝑁直⊥;��
(2)3
第11页共69页.
结论成立.
理由:∵,
∴∠���=,∠���=90°
∵∠�𝑁=∠�,��,
∴��=,3��𝑁=3��
����
∴��=��,
∴△�𝑁∽△�,��,
𝑁��
∵��=��=3∠𝑁�=,∠���
∴∠𝑁�+∠𝑁�=180°,
∴∠𝑁�+∠���=180°,
∵∠���+∠��,�=180°
∴∠���=90°,
∴∠���=;90°
(3)𝑁⊥��
如图3中,过点作于点,设交于点,过点作于点.
�𝐵⊥���𝑁𝐴����⊥���
∵,,
∴∠𝐵�=90°,∠���=30°
∴∠�𝐵=60°.
∵∠�𝐵=60,°−�
∴��=33,,
1339
当𝐵=2��时=,四2边�形�=3�是�矩=形2,
∴��=��,�𝐸�,
2222
设∠𝑁�=,9则0°𝑁=�,�−𝑁=,(33)−(23)=15
∵��=�𝐾=3�,𝐴=2�
∠���=∠𝑁�=90°
第12页共69页.
∴,
��𝑁
∴tan�=�,�=𝑁
�15
∴𝐾=23,
25
∴𝐾=5�,
25
∴3�+5�,=33
45−615
∴�=11,
90−1215
∴𝐴=2�=11,
990−12152415−81
∴��=𝐵−𝐴=2−11.=22
��85−93
【点tan睛6】0°本−题�属=于�三�=角形1综1合题,考查了解直角三角形,相似三角形的判定和性质等知识,
解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考压轴题.
一、解答题
1.(2022·江苏镇江·中考真题)已知,点、、、分别在正方形的边、、、
上.������𝑁����𝑁
𝑁
(1)如图1,当四边形是正方形时,求证:;
(2)如图2,已知𝐸��,,当、�的�+大�小�有=__�_�______关系时,四边形
是矩形;��=𝑂𝐸=𝑂��𝐸𝐸��
(3)如图3,,、相交于点,,已知正方形的边长为16,
长为20,��当=��的𝑂面积�取�最大值时�,判�断�:四��边=形4:5是怎样的四�边��形�?证明你的结
�论�.△�𝑂𝐸��
【答案】(1)见解析
(2)
��=𝐸
第13页共69页.
(3)平行四边形,证明见解析
【分析】(1)利用平行四边形的性质证得,根据角角边证明.
(2)当,证得,∠�𝐸=是∠等𝑂腰�直角三角形,∠HE△F�=∠𝑂EF≌G△=�90�°�,
即可证得�四�边=形𝐸EFGH是△矩��形�.≌△�𝑂△�𝐸
(3)利用正方形的性质证得为平行四边形,过点作,垂足为点,交
于点,由平行线分线段成比�例�,��设,,���⊥,�则�可表示出�,从而𝑂把
△OE�H的面积用x的代数式表示出来�,�根=据4�二次�函�=数5求�出最��大=值ℎ,则可得OE=O�G�,OF=OH,
即可证得平行四边形.
(1)
∵四边形为正方形,
∴��𝑁,
∴∠�=∠�=90°.
∵∠四�边𝑂形+∠𝑂为�正=方90形°,
∴𝐸,��,
∴𝑂=𝐸∠�𝐸=9,0°
∴∠�𝑂+∠�𝐸.=90°
在∠�𝐸=和∠𝑂�中,
∵△�𝑂△𝐸�,,,
∴∠�=∠�=90°.∠𝑂�=∠�𝐸𝑂=��
∴△�𝑂≌.△𝐸�
∴𝑂=��;
(�2)�+𝑂=��+��=��
;证明如下:
�∵�四=边�形�为正方形,
∴��𝑁,AB=BC=AD=CD,
∵∠AE�==AH∠,�C=F9=0C°G,AE=CF,
∴AH=CG,
∴,
∴△EH�=�F�G.≌△�𝑂
∵AE=CF,
∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
∴是等腰直角三角形,
∴∠△B�E�F�=∠BFE=45°,
第14页共69页.
∵AE=AH,CF=CG,
∴∠AEH=∠CFG=45°,
∴∠HEF=∠EFG=90°,
∴EH∥FG,
∴四边形EFGH是矩形.
(3)
∵四边形为正方形,
∴�.�𝑁
∵��∥𝑁,,
∴�四�边=形����为∥平��行四边形.
∴�.𝑂�
∴𝑁∥𝑂.
过点𝑂∥�作�,垂足为点,交于点,
∴��.�⊥���𝑂�
����
∵��=��,
设��:��=,4:5,,则,
ℎ20−5�
∴��=4���.=5���=ℎ16=20
∴ℎ=44−�.
112
∴�当=2⋅��时⋅,��=2⋅的4�面⋅4积(4最−大�,)=−8(�−2)+32
∴�=2△�𝑂,,
11
∴�四�边=形4�=8是=平2�行�四=边�形�.��=5�=10=2��=��
𝐸��
【点睛】此题考查了正方形的性质,矩形的判定和平行四边形的性质与判定,平行线分线段
成比例定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,二次函数的最值,有一定的综
合性,解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用.
2.(2022·山东东营·中考真题)和均为等边三角形,点E、D分别从点A,B
△���△𝑁�
第15页共69页.
同时出发,以相同的速度沿、运动,运动到点B、C停止.
����
(1)如图1,当点E、D分别与点A、B重合时,请判断:线段、的数量关系是____________,
位置关系是____________;𝑁𝐸
(2)如图2,当点E、D不与点A,B重合时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请给予
证明;若不成立,请说明理由;
(3)当点D运动到什么位置时,四边形的面积是面积的一半,请直接写出答案;
此时,四边形是哪种特殊四边形�?�请��在备用图中△画�出��图形并给予证明.
【答案】(1)CD�=�E�F�,CD∥EF
(2)CD=EF,CD∥EF,成立,理由见解析
(3)点D运动到BC的中点时,是菱形,证明见解析
▱𝑁𝐸
【分析】(1)根据和均为等边三角形,得到AF=AD,AB=BC,∠FAD=∠ABC=60°,
根据E、D分别与△点��A、�B重△合𝑁,�得到AB=AD,EF=AF,CD=BC,∠FAD=∠FAB,推出CD=EF,
CD∥EF;
(2)连接BF,根据∠FAD=∠BAC=60°,推出∠FAB=∠DAC,根据AF=AD,AB=AC,推出
AFB≌ADC,得到∠ABF=∠ACD=60°,BF=CD,根据AE=BD,推出BE=CD,得到BF=BE,
△推出BF△E是等边三角形,得到BF=EF,∠FEB=60°,推出CD=EF,CD∥EF;
(3)△过点E作EG⊥BC于点G,设ABC的边长为a,AD=h,根据AB=BC,BD=CD=BC=
1
a,BD=AE,推出AE=BE=AB,△根据AB=AC,推出AD⊥BC,得到EG∥AD,推出2
11
2EBG∽ABD,推出2,得到=h,根据CD=EF,CD∥EF,推出四
𝑂��111
边△形CEF△D是平行四边𝑁形=,推��出=2𝑂=2𝑁2,根据EF=BD,
11111
EF∥BD,推出四边形BDEF是�平��行��四=边�形�,⋅�根�据=2B�F=⋅2EℎF,=推2⋅出2�ℎ=2�△是��菱�形.
(1)▱𝑁𝐸
∵和均为等边三角形,
∴△AF�=�A�D,△AB�=�B�C,∠FAD=∠ABC=60°,
当点E、D分别与点A、B重合时,AB=AD,EF=AF,CD=BC,∠FAD=∠FAB,
∴CD=EF,CD∥EF;
故答案为:CD=EF,CD∥EF;
第16页共69页.
(2)
CD=EF,CD∥EF,成立.
证明:
连接BF,
∵∠FAD=∠BAC=60°,
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,
即∠FAB=∠DAC,
∵AF=AD,AB=AC,
∴AFB≌ADC(SAS),
∴∠△ABF=∠△ACD=60°,BF=CD,
∵AE=BD,
∴BE=CD,
∴BF=BE,
∴BFE是等边三角形,
∴△BF=EF,∠FEB=60°,
∴CD=EF,BC∥EF,
即CD∥EF,
∴CD=EF,CD∥EF;
(3)
如图,当点D运动到BC的中点时,四边形的面积是面积的一半,此时,四边
形是菱形.�𝐸�△���
证明𝑁:𝐸
过点E作EG⊥BC于点G,设ABC的边长为a,AD=h,
∵AB=BC,BD=CD=BC=a,△BD=AE,
11
∴AE=BE=AB,22
1
∵AB=AC,2
∴AD⊥BC,
∴EG∥AD,
∴EBG∽ABD,
△△
第17页共69页.
∴,
𝑂��1
∴𝑁=��==2h,
11
由(𝑂2)=知2�,�CD2=EF,CD∥EF,
∴四边形CEFD是平行四边形,
∴四边形,
11111
此时�,EF��=�B�D=,�E�F⋅∥�B�D=,2�⋅2ℎ=2⋅2�ℎ=2�△���
∴四边形BDEF是平行四边形,
∵BF=EF,
∴是菱形.
▱𝑁𝐸
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的
判定与性质,相似三角形的判定与性质,菱形的判定,解决问题的关键是熟练掌握等边三角
形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形判定和性质,相似三角形的判定和
性质,菱形的判定.
3.(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图,在中,,,点在直线
上,连接,将绕点逆时针旋转△�,�得�到线�段�=�,�连∠接���,=12.0°���
𝑁���120°������
(1)求证:;
(2)当点在��线=段3�上�(点不与点,重合)时,求的值;
��
(3)过点�作��交于�点,若��,请直接𝑁写出的值.
𝐴
【答案】�(1�)证�∥明�见�解�析�;�𝑁=2𝑁��
(2)
(3)3或
5721
1921
第18页共69页.
【分析】(1)作AH⊥BC于H,可得BH=AB,BC=2BH,进而得出结论;
3
(2)证明△ABD∽△CBE,进而得出结果;2
(3)当点D在线段AC上时,作BF⊥AC,交CA的延长线于F,作AG⊥BD于G,设AB
=AC=3a,则AD=2a,解直角三角形BDF,求得BD的长,根据△DAG∽△DBF求得AQ,
进而求得AN,进一步得出结果;当点D在AC的延长线上时,设AB=AC=2a,则AD=4a,
同样方法求得结果.
(1)
证明:如图1,
作AH⊥BC于H,
∵AB=AB,
∴∠BAH=∠CAH=∠BAC=×120°=60°,BC=2BH,
11
∴sin60°=,22
𝑂
∴BH=A�B�,
3
∴BC=22BH=AB;
(2)3
解:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB===,
180°−∠���180°−120°
由(1)得,,2230°
��
同理可得,��=3
∠DBE=30°,,
��
∴∠ABC=∠D�B�E=,3,
����
∴∠ABC−∠DBC=∠��D=BE�−�∠DBC,
∴∠ABD=∠CBE,
∴△ABD∽△CBE,
∴;
����
(3𝑁)=𝑁=3
:如图2,
第19页共69页.
当点D在线段AC上时,
作BF⊥AC,交CA的延长线于F,作AG⊥BD于G,
设AB=AC=3a,则AD=2a,
由(1)得,,
在Rt△ABF中��,=∠B3A�F�==1820°−3∠�BAC=60°,AB=3a,
∴AF=3a•cos60°=,BF=3a•sin60°=,
333
在Rt△BDF中,DF2=�AD+AF=2�,
37
2�+2�=2�
=+,
22
22337
∵𝑁∠AG�D�=∠�F�=9=0°,∠2A�DG=+∠2B�DF=,19�
∴△DAG∽△DBF,
∴=,
𝑂𝑁
∴𝐸𝑁,
𝑂2�
33
2�=19�
∴,
33
∵A�N�=DE1,9�
∴∠A∥ND=∠BDE=120°,
∴∠ANG=60°,
∴=,
𝑂332619
𝐴sin60°=19·3�=19�
∴619,
𝐴19�57
如图��3=,23�=19
第20页共69页.
当点D在AC的延长线上时,
设AB=AC=2a,则AD=4a,
由(1)得,
CE=,
作BR⊥3C𝑁A,=交4C3A�的延长线于R,作AQ⊥BD于Q,
同理可得,
AR=a,BR=,
∴3�,
22
∴𝑁=,3�+5�=27�
𝐴4�
∴3�=27�,
23
∴𝐴=7�,
2324
𝐴=7�·3=7�
∴4,
𝐴7�21
综上��所=述4:3�=的21值为或.
𝐴5721
【点睛】本题��考查了等19腰三21角形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,
解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力.
4.(2022·浙江衢州·中考真题)如图,在菱形ABCD中,AB=5,BD为对角线.点E是边AB
延长线上的任意一点,连结交于点,平分交于点G.
�����𝑂∠�����
(1)求证:.
∠�𝑂=90°
第21页共69页.
(2)若,.
①求菱𝑁形=6�的�面=积2�.�
②求��𝑁的值.
(3)若tan∠𝑁�,当的大小发生变化时(<<),在上找一点,使
为定值��,=说�明�理由并∠�求�出�的值.0°∠���180°�����
【答案】(1)见解析𝐾
(2)①24,②
4
(3)=,理9由见解析
10
𝐾3
【分析】(1)由菱形的性质可证得∠CBD=∠ABD=∠ABC,由平分交于点G,
1
得到∠CBG=∠EBG=∠CBE,进一步即可得到答案2;𝑂∠�����
1
(2)①连接AC交BD于2点O,RtDOC中,OC=,求得AC=8,
2222
由菱形的面积公式可得答案;②由△BGAC,得到𝑁−��,=DH5=−H3G,=D4G=2DH,又由
����1
DG=2GE,得到EG=DH=HG,则∥,再证�明�=C�D�H=∽2AEH,CH=AC=,OH=
��118
OC-CH=4-=,利用正切的定义�得�=到2答案;△△33
84
(3)过点G作3G3TBC,交AE于点T,△BGE∽△AHE,得AB=BE=5,则EG=GH,再
证△DOH∽△DBG,∥得DH=GH=EG,由△EGT∽△EDA得,GT=,为定值,
��𝐾15
即可得到ET的值.𝑁=��=33
(1)
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=DC,ABCD,
∴∠BDC=∠CB∥D,∠BDC=∠ABD,
∴∠CBD=∠ABD=∠ABC,
1
∵平分交2于点G,
∴∠𝑂CBG=∠�∠�E�BG�=�∠CBE,
1
∴∠CBD+∠CBG=2(∠ABC+∠CBE)=×180°=90°,
11
∴∠DBG=90°;22
(2)
解:①如图1,连接AC交BD于点O,
第22页共69页.
∵四边形ABCD是菱形,BD=6,
∴OD=BD=3,AC⊥BD,
1
∴∠DOC2=90°,
在Rt△DOC中,OC=,
2222
∴AC=2OC=8,𝑁−��=5−3=4
∴菱形,
11
即菱�形��𝑁=的2面��积×是𝑁24=.2×8×6=24
②如图�2�,�连�接AC,分别交BD、DE于点O、H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵∠DBG=90°
∴BG⊥BD,
∴BGAC,
∴∥,
����1
∴D��H==�H�G=,2DG=2DH,
∵DG=2GE,
∴EG=DH=HG,
∴,
��1
∵A𝑂B=C2D,
∴∠D∥CH=EAH,∠CDH=∠AEH,
∴△CDH∽△AEH,
∴,
𝑂��1
∴C𝑂H==𝑂AC==2,
18
∴OH=3OC-C3H=4-=,
84
33
第23页共69页.
∴tan∠BDE=;
��4
(3)��=9
如图3,过点G作GTBC交AE于点T,此时ET=.
10
∥3
理由如下:由题(1)可知,当∠DAB的大小发生变化时,始终有BGAC,
∴△BGE∽△AHE,∥
∴,
𝑂��
∵A��B==B��E=5,
∴EG=GH,
同理可得,△DOH∽△DBG,
∴,
����
∵B��O==D𝐶O,
∴DH=GH=EG,
∵GTBC,
∴GT∥AD,
∴△E∥GT∽△EDA,
∴,
��𝑂𝐾1
∵A𝑁D==�A�B==�5�,=3
∴GT=,为定值,
5
此时ET3=AE=(AB+BE)=.
1110
【点睛】此3题主要3考查了相似三角3形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数
等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
5.(2022·山东枣庄·中考真题)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4cm,点P从点A
出发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动,同时动点Q从点B出发沿BC方向以
每秒1cm的速度向终点C2运动,设运动的时间为t秒.
第24页共69页.
(1)如图①,若PQ⊥BC,求t的值;
(2)如图②,将△PQC沿BC翻折至△P′QC,当t为何值时,四边形QPCP′为菱形?
【答案】(1)当t=2时,PQ⊥BC
(2)当t的值为时,四边形QPCP′为菱形
4
3
【分析】(1)根据勾股定理求出,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.
(2)作于,于��,证明出为直角三角形,进一步得出和
为等腰直�角�三⊥�角�形,�再�证�明⊥四��边形�为矩Δ形��,�利用勾股定理在、Δ���Δ�中𝑁,
结合四边形为菱形,建立等式��进�行�求解.𝑅△���𝑅△𝑁�
【详解】(1�)�解��:(′1)如图①,
∵∠ACB=90°,AC=BC=4cm,
∴AB==(cm),
2222
由题意得�,�AP+=��tcm,4B+Q4=t=cm4,2
则BP=(4﹣2t)cm,
∵PQ⊥BC,22
∴∠PQB=90°,
∴∠PQB=∠ACB,
∴PQAC,
∥,
∠�𝐴=∠���
∴{
∠𝐴�=∠���,
∴△�=𝐴∽,△���
��𝐴
∴����,
42−2��
42=4
第25页共69页.
解得:t=2,
∴当t=2时,PQ⊥BC.
(2)解:作于,于,如图,
𝑁⊥�����⊥���
,,
��=2�,𝐴=���(0⩽�,<4)
∵∠�=为90直°角�三�角=形��,=4cm
∴Δ���,
∴∠�=和∠�=45为°等腰直角三角形,
∴Δ���Δ�𝑁,,
2
∴��=��=2��=�cm�,�=𝑁
∴四��边=形��−�为�矩=形(4,−�)cm
∵��𝑁,
∴𝑁=��=(4−,�)cm
∴𝑁=(4−�)cm,
∴在��=𝑁−中�,�=(4−2�)cm,
22222
在𝑅△���中,��=��+��=�+(4−�),
22222
四�边�△形𝑁�为�菱�形=,𝑁+��=(4−�)+(4−2�)
∵��,��′
∴𝐴=��,
2222
∴�+(4,−�)=((4舍−去�)).+(4−2�)
4
∴�1的=值3为�.2=4
4
∴【�点睛】此3题是相似形综合题,主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质,线段垂
直平分线的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
6.(2022·江苏南通·中考真题)如图,矩形中,,点E在折线上运
动,将绕点A顺时针旋转得到,旋转�角�等𝑁于��,=连4,接𝑁=.3�𝑁
��𝐸∠���𝐸
第26页共69页.
(1)当点E在上时,作,垂足为M,求证;
(2)当��时,求�的�长⊥;��𝐵=��
(3)连接��=,3点2E从点�B�运动到点D的过程中,试探究的最小值.
【答案】��(1)见详解��
(2)或
(3)313
3
5
【分析】(1)证明
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