专题05 二次函数-线段最大值问题（原卷版）

第五讲二次函数--线段最大值问题

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一单个线段的最大值.............................................................................................................................1

考点二线段之和的最大值.............................................................................................................................3

考点三线段之差的最大值.............................................................................................................................8

考点四线段之比的最大值.............................................................................................................................9

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必备知识点

考点一单个线段的最大值

1．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在

y轴上，点B的纵坐标为﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为

对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；

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2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值

及此时点D的坐标；

2

3．如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左

侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此

时点P的坐标；

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考点二线段之和的最大值

4．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与

y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．

（1）求二次函数解析式；

（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，

求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；

5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在

点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A、C两点的坐标；

（2）连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC

交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；

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6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，交y轴于点C

（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线

交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；

7．已知，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣8.0）、B（2，0）（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点E、G是直线AC上方抛物线上的点，点E位于抛物线对称轴的左侧，设点G的

横坐标为g，则点E的横坐标比点G的横坐标g小2．过E作EF∥x轴，交抛物线于点F，过G

作GH∥x轴，交直线AC于点H，当EF+2GH的值最大时，求EF+2GH的最大值及此时点E的

坐标；

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8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+

与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，

垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；

9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于

点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交直线BC于

点D；是否存在点M，使得MD+DC取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

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10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交

于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于

点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B

两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，过点D作

DE∥AC交x轴于点E．求的最大值及此时点P的坐标；

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12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），与y

轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P

为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作PE∥y轴交BD于点E，过点P作PF⊥直线OD

于点F．当PE+PF为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；

13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），B（4，0），与

y轴交于点C，连接AC

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接BC，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，

过点P作PN∥AC交x轴于点N，求PN+PM的最大值及此时点P的坐标；

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14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y

轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，

求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；

考点三线段之差的最大值

15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与

y轴交于点C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求

BE的最大值及点P的坐标．

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16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为y＝x﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段BC上有一动点D，过点D作DE⊥BC交抛物线于点E，过点E作y轴的平行线交

BC于点F．求EF﹣DE的最大值，以及此时点