专题23二次函数推理计算与证明综合问题 （解析版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题23二次函数推理计算与证明综合问题

【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c

（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．

（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．

【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再

求对称轴即可；

（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．

【解答】解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，

∴，

∵m＝n，

∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；

∴t＝2，

∵c＝2，

∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．

（2）∵m＜n＜c，

∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，

解得﹣4a＜b＜﹣3a，

∴3a＜﹣b＜4a，

∴＜﹣＜，即＜t＜2．

当t＝时，x0＝2；

当t＝2时，x0＝3．

∴x0的取值范围2＜x0＜3．

【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣

6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

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（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；

（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定

y的最大值即可；

（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即

可．

【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得b＝﹣6，c＝﹣3．

（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，

又∵﹣4≤x≤0，

∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．

（3）①当﹣3＜m≤0时，

当x＝0时，y有最小值为﹣3，

当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，

∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，

∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．

②当m≤﹣3时，

当x＝﹣3时y有最大值为6，

∵y的最大值与最小值之和为2，

∴y最小值为﹣4，

∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，

∴m＝或m＝（舍去）．

综上所述，m＝﹣2或．

【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P

（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．

（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．

【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，

解得m1＝1，m2＝﹣3，

又∵m＞0，

∴m＝1．

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（2）∵m＝1，

∴y＝x2+x﹣2，

∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，

∴二次函数图象与x轴有2个交点．

2

【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两

点．

（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称

轴．

2

（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最

小值．

（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）

（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．

【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），

其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；

2

（2）把函数y1＝2（x﹣h）﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子

的特点求出其最小值；

（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），

把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．

2

【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），

2

∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x﹣6x+4．

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．

2

（2）把y1＝2（x﹣h）﹣2化成一般式得，

22

y1＝2x﹣4hx+2h﹣2．

∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．

∴b+c＝2h2﹣4h﹣2

＝2（h﹣1）2﹣4．

把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，

∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．

（3）由题意得，y＝y1﹣y2

＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）

＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．

∵函数y的图象经过点（x0，0），

∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．

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∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．

即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．

【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为

和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．

（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m

的取值范围．

【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；

（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣

4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；

②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，

当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．

【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，

设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），

∴2x+1＝x，

解得x＝﹣1，

∴和谐点为（﹣1，﹣1）；

（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，

∴＝a+15+c，

∴c＝﹣a﹣，

∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，

∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，

∴Δ＝25﹣4ac＝0，

∴a＝﹣1，c＝﹣；

②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，

∴抛物线的对称轴为直线x＝3，

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当x＝1时，y＝﹣1，

当x＝3时，y＝3，

当x＝5时，y＝﹣1，

∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；

当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．

一．解答题（共20题）

1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．

（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；

（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．

【分析】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴和顶点坐标，根据顶点在x

轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值；

（2）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1．

若抛物线的顶点在x轴上，

则a2﹣a﹣2＝0，

∴a＝2或﹣1．

（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

则Q（4，y2）关于直线x＝1对称点的坐标为（﹣2，y2），

∴当a＞0时，若y1＜y2，m的取值范围为：﹣2＜m＜4；

当a＜0时，若y1＜y2，m的取值范围为：m＜﹣2或m＞4．

2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为

抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；

（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．

【分析】（1）先化抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+1，依此可求抛物线的对称轴；

（2）利用二次函数性质即可求得答案；

（3）利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答．

【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，

∴抛物线的对称轴为x＝1；

（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，

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∴1﹣x1＞1﹣x2，

∴A离对称轴越远，

若a＞0，开口向上，则y1＞y2，

若a＜0，开口向下，则y1＜y2，

（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，

存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，

∴t＜0且t＞1，

∴存在1﹣x1＝x2﹣1，

即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，

∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，

∴﹣1＜t＜0．

3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．

（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）；

（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．

【分析】（1）由对称轴方程，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，

答案可得；

（2）利用当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，可求得a的值，再利用二次函数图象

的特点可确定y的最大值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝﹣＝2．

令x＝0，则y＝2．

∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2与y轴的交点为（0，2）．

故答案为：x＝2；（0，2）．

（2）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x＝2，

∴顶点在1≤x≤5范围内，

∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，

∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6，

∴25a﹣20a+2＝﹣6，

解得a＝﹣，

∴抛物线为y＝﹣x2+x+2

当x＝2时，y＝﹣×22+×2+2＝，

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∴此时y的最大值为．

当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6，

∴4a﹣8a+2＝﹣6，

解得a＝2，

∴抛物线为y＝2x2﹣8x+2，

当x＝5时，y＝2×25﹣8×5+2＝12，

∴此时y的最大值12．

综上，y的最大值为12．

4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．

（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．

（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝

y2，试求此函数的最值．

（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．

【分析】（1）直接将点（1，2）代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；

（2）利用题意，﹣＝＝＝﹣1求解a，然后把解析式化成顶点式，根据

二次函数的性质即可得到结论；

（3）利用顶点公式求得x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，由a

＜0且a≠﹣1即可判断x＜0，y＞0，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．

【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，2），

∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，

解得a＝2，

∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，

∴x＝﹣＝﹣，

∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，

∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；

（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，

∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，

∴﹣＝＝＝﹣1，

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∴a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，

∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；

（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，

∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，

∵a＜0且a≠﹣1，

∴x＜0，y＞0，

∴该二次函数图象的顶点在第二象限．

2

5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为

﹣3．

（1）求b，c的值；

2

（2）抛物线C2：y＝﹣x+mx+n经过抛物线C1的顶点P．

①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；

②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛

物线C2于点F，求EF长度的最大值．

【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，即可求出b的值，由抛物线与y轴交点的纵坐

标为﹣3即可求得c的值；

（2）①由（1）可得抛物线C1的解析式，从而可得抛物线C1的顶点P的坐标，由抛物

2

线C2经过抛物线C1的顶点可得n＝﹣m﹣3，从而可得抛物线C2为：y＝﹣x+mx﹣m﹣3，

根据对称轴公式x＝﹣，即可求出顶点Q的坐标，再将点Q的横坐标代入抛物线C1

的解析式中，即可证明；

②先分别求出点P和点Q的横坐标，由①可得n＝﹣11，设点E横坐标为x，由点E在

抛物线C1上可表示出纵坐标，由题可知点F与点E横坐标相同，代入抛物线C2的解析

式中可得点F纵坐标，即可求解．

2

【解答】（1）解：∵抛物线C1：y＝x+bx+c对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣

3，

∴x＝﹣＝1，c＝﹣3，

∴b＝﹣2；

2

（2）①证明：∵抛物线C1的解析式为：y＝x﹣2x﹣3，

∴顶点P的坐标为：（1，﹣4），

∵抛物线C2经过抛物线C1的顶点，

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∴﹣4＝﹣12+m+n，

∴n＝﹣m﹣3，

2

∴抛物线C2为：y＝﹣x+mx﹣m﹣3，

∴对称轴为：直线x＝﹣＝，

将x＝代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：

y＝﹣m﹣3，

∴点Q坐标为：（，﹣m﹣3），

将x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，得：

y＝﹣m﹣3，

∴点Q也在抛物线C1上；

②解：由①知n＝﹣m﹣3，

∵m＝8，

∴n＝﹣11，

2

∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x+8x﹣11，对称轴为：直线x＝＝4，

设点E横坐标为x，

∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，

∴点E坐标为（x，x2﹣2x﹣3），1＜x＜4，

∵过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，

∴点F横坐标为x，

∴点F坐标为（x，﹣x2+8x﹣11），

∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣（x2﹣2x﹣3）

＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3

＝﹣2x2+10x﹣8

＝﹣2（x2﹣5x+4）

＝﹣2（x2﹣5x+）+

＝﹣2（x﹣）2+，

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∴当x＝时，EF取得最大值，最大值为，

∴EF长度的最大值为．

6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q

（x0，y0）是抛物线上的点．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；

（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m

的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据二次函数的性质判断即可；

2

（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x+4x＝m的两个根，根据根与

2

系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则（x1﹣x2）≤25，所以（x1+x2）

2

﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5），

∴，解得，

∴抛物线为y＝x2+4x，

∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4）；

（2）∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，

∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，

∵点P（2，c）关于对称轴的对称点为（﹣6，c），

∵x0＞﹣6，

∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；

当x0≥2时，则c≤y0；

（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，

∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），

2

∴x1、x2是方程x+4x＝m的两个根，

∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，

∵MN≤5，

2

∴（x1﹣x2）≤25，

2

∴（x1+x2）﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，

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解得m≤，

∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），

∴函数的最小值为﹣4，

∴﹣4＜m≤．

7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．

（1）求证：y1，y2的图象必有交点；

（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）

为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；

（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取

值范围．

【分析】（1）证明y1＝y2时，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，进而转化证明一元二次

方程的根的判别式非负便可；

（2）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得b，由b的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值；

（3）把点A（x1，a）、点D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根据a＞c得x1（2x1+m）

2

+n﹣2（x1+2）﹣m（x1+2）﹣n＞0，化简得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，代入求

解即可．

【解答】（1）证明：当y1＝y2时，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，

化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，

△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，

∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，

∴y1，y2的图象必有交点；

（2）解：当y1＝y2时，2x+m+n＝x（2x+m）+n，

化简为：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，

（2x+m）（x﹣1）＝0，

∵m＞0，x1＜x2，

∴x1＝﹣，x2＝1，

∴b＝2+m+n，

当y＝2+m+n时，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，

化简为：2x2+mx﹣m﹣2＝0，

2x2﹣2+mx﹣m＝0，

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2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，

（2x+m+2）（x﹣1）＝0，

解得，x＝1（等于x2），或x＝，

∴x3＝，

∴x3﹣x1＝﹣（﹣）＝﹣1；

（3）解：∵点D（x1+2，c）在y2的图象上，

2

∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）+m（x1+2）+n．

∵点A（x1，a）在y2的图象上，

∴a＝x1（2x1+m）+n．

∵a＞c，

∴a﹣c＞0，

2

∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）﹣m（x1+2）﹣n＞0，

化简得4x1+4+m＜0，

由（2）得x1＝﹣，

∴4×（﹣）+4+m＜0，

﹣2m+4+m＜0，

﹣m+4＜0，

m＞4，

∴m的取值范围为m＞4．

8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．

（1）求此抛物线的顶点的坐标；

（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；

（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．

【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．

（2）由二次函数的对称性及AB＝4可得点A，B坐标，进而求解．

（3）由点P坐标及抛物线对称轴可得点P关于对称轴的对称点P'坐标，由抛物线开口

向下可求解．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝（x﹣2m）2﹣1，

∴抛物线顶点坐标为（2m，﹣1）．

第12页共35页.

（2）∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m，

∴抛物线经过（2m+2，n），（2m﹣2，n），

将（2m+2，n）代入y＝（x﹣2m）2﹣1得n＝22﹣1＝3．

（3）点P（2m+1，y1）关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为（2m﹣1，y1），

∵抛物线开口向上，

∴当2m﹣t＞2m+1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2，

解得t＜﹣1或t＞1．

2

9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax+bx+3与直线y2＝x+1．

2

（1）当抛物线y1＝ax+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．

①求抛物线解析式；

②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；

（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求

证：a+b＝1．

【分析】（1）①由交点横坐标及直线解析式可得交点坐标，然后通过待定系数法求解．

②由抛物线开口方向及交点横坐标求解．

2

（2）由y＝y1﹣y2，M＝N可得m，n为方程ax+（b﹣1）x+2＝0的两个根，由一元二次

方程根与系数的关系进行证明．

【解答】解：（1）①将x＝﹣1和x＝2分别代入y2＝x+1得y2＝0，y2＝3，

∴抛物线经过（﹣1，0），（2，3），

∴，

解得，

2

∴y1＝﹣x+2x+3．

2

②∵抛物线y1＝﹣x+2x+3开口向下，抛物线与直线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），

∴﹣1＜x＜2时，y1＞y2．

22

（2）∵y＝y1﹣y2＝ax+bx+3﹣（x+1）＝ax+（b﹣1）x+2，

∴x＝m时，M＝am2+（b﹣1）m+2，

x＝n时，N＝an2+（b﹣1）n+2，

∴m，n为方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，

由一元二次方程根与系数的关系可得m+n＝﹣＝1，

∴b﹣1＝﹣a，

∴a+b＝1．

第13页共35页.

10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常

数）．

（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；

（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第

四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．

【分析】（1）由Δ＝b2﹣4ac＞0证明．

（2）将点A坐标代入解析式求解．

（3）分类讨论，通过数形结合求解．

【解答】解：（1）令x2﹣（m+2）x+m＝0，

则Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，

∴方程x2﹣（m+2）x+m＝0有两个不相等实数根，

∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．

（2）将（2m+1，7）代入y＝x2﹣（m+2）x+m得7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，

解得m＝2或m＝﹣2，

当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，

当m＝﹣2时，y＝x2﹣2．

（3）①当m＝2时，y＝x2﹣4x+2，

令x2﹣4x+2＝0，

解得x1＝2+，x2＝2﹣，

∴抛物线与x轴交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），

如图，当直线y＝x+t经过（2+，0）时，2++t＝0，

解得t＝﹣2﹣，

当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣4x+2只有1个公共点时，令x2﹣4x+2＝x+t，整理得x2﹣

5x+2﹣t＝0，

则Δ＝52﹣4（2﹣t）＝17+4t＝0，

解得t＝﹣，

第14页共35页.

∴﹣＜t＜﹣2﹣满足题意．

②同理，当m＝﹣2时，y＝x2﹣2，

将x＝0代入y＝x2﹣2得y＝﹣2，

∴抛物线经过（0，﹣2），

将（0，﹣2）代入y＝x+t得t＝﹣2，

令x2﹣2＝x+t，

由Δ＝1﹣4（﹣2﹣t）＝0可得t＝﹣，

∴﹣＜t＜﹣2满足题意．

综上所述，﹣＜t＜﹣2﹣或﹣＜t＜﹣2．

11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．

（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；

（2）设P点的纵坐标为yp，当yp取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且

x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；

（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点

时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）将（﹣1，﹣2）代入解析式求解．

（2）将x＝﹣2代入解析式求出点P纵坐标，通过配方可得yp取最小值时m的值，再将

二次函数解析式化为顶点式求解．

（3）分别将点A，B坐标代入解析式求解．

【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，

解得m＝﹣1，

∴y＝x2+2x﹣1．

2222

（2）将x＝﹣2代入y＝x﹣2mx+m﹣2得yP＝m+4m+2＝（m+2）﹣2，

∴m＝﹣2时，yp取最小值，

∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，

第15页共35页.

∴x＜﹣2时，y随x增大而减小，

∵x1＜x2≤﹣2，

∴y1＞y2．

（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，

∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2），

∴抛物线随m值的变化而左右平移，

将（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，

解得m＝2或m＝﹣2，

将（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，

解得m＝0或m＝4，

∴﹣2≤m≤0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段AB有交点，

2≤m≤4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段AB有交点．

∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．

（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1

﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不

在此抛物线上；

（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取

值范围．

【分析】（1）将（2，1）代入函数解析式求解．

（2）由当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜

0，可得抛物线对称轴为y轴，从而可得a的值，然后将x＝2代入解析式判断．

（3）由b≤﹣2时，m≤n恒成立，可得抛物线开口向下，求出点E关于对称轴对称的点

坐标，列不等式求解．

【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣）得1＝a（2﹣），

解得a＝2，

∴y＝2（x﹣1）（x﹣）．

（2）∵y＝a（x﹣1）（x﹣），

∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（，0），

第16页共35页.

∴抛物线对称轴为直线x＝，

∵x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，

∴抛物线对称轴为值x＝0，即1+＝0，

解得a＝﹣3，

∴y＝﹣3（x﹣1）（x+1），

将x＝2代入y＝﹣3（x﹣1）（x+1）得y＝﹣9，

∴点（2，﹣9）在抛物线上．

（3）∵抛物线对称轴为直线x＝，

∴点E（0，n）关于对称轴对称的点E'（1+，n），

∵当b≤﹣2时，m≤n恒成立，

∴抛物线开口向下，即a＜0，且﹣2≤1+，

解得a≤﹣1．

13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．

（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；

（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA

＝90°，PD＝PA．

（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；

（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．

【分析】（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；

（Ⅱ）（i）设P（t，0），分两种情况讨论：当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴

交于点N，通过证明△PND≌△AOP（AAS），可得D（t+2，﹣t），再将D点代入二次函

数解析式求出t的值，从而求出D的坐标；当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，

t），再将D点代入二次函数解析式求出t的值，即可求解；

（ii）分两种情况讨论：当D点在x轴下方时，当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，P（2，0）；

当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，交于点F，

可证明△GAF≌△APO（AAS），从而得到GF＝2，则E点与G点重合，OP＝AF＝OA﹣

OF＝2﹣＝，求出P（﹣，0）．

【解答】解：（Ⅰ）将点A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），

第17页共35页.

得﹣12a＝﹣2，

∴a＝，

∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2，

∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，

∴顶点为（，﹣）；

（Ⅱ）（i）令a（x+3）（x﹣4）＝0，

解得x＝4或x＝﹣3，

∴B（4，0），

设P（t，0），

如图1，当D点在点P右侧时，过点D作DN⊥x轴交于点N，

∵∠APD＝90°，

∴∠OPA+∠NPD＝90°，∠OPA+∠OAP＝90°，

∴∠NPD＝∠OAP，

∴△PND≌△AOP（AAS），

∴OP＝ND，AO＝PN，

∴D（t+2，﹣t），

∴（t+5）（t﹣2）＝﹣t，

解得t＝1或t＝﹣10，

∴D（3，﹣1）或（﹣8，10）；

当点D在点P的左侧时，同理可得D（t﹣2，t），

∴t＝（t﹣2+3）（t﹣2﹣4），

解得t＝，

∴D（，）或（，）；

综上所述：D点坐标为（3，﹣1）或（﹣8，10）或（，）或（，

）；

（ii）如图2，当D点在x轴下方时，

∵PE平分∠APD，

第18页共35页.

∴∠APE＝∠EPD，

∵∠APD＝90°，

∴∠APE＝45°，

当PE∥y轴时，∠OAP＝45°，

∴P（2，0）；

如图3，当D点在x轴上方时，过A点作AG⊥PA交PE于点G，过G点作FG⊥x轴，

交于点F，

∵∠PAF+∠FAG＝90°，∠FAG+∠FGA＝90°，

∴∠PAF＝∠FGA，

∵PE平分∠APD，∠APD＝90°，

∴∠APE＝∠EPD＝45°＝∠AGP，

∵AP＝AG，

∴△GAF≌△APO（AAS），

∴AF＝OP，FG＝OA，

∵OA＝2，

∴GF＝2，

∵E（2，﹣），

∴E点与G点重合，

∴OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，

∴P（﹣，0）；

综上所述：P点坐标为（2，0）或（﹣，0）．

第19页共35页.

14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过

点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．

（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．

（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．

①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．

②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象

G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系

式．

（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，

以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值

范围．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即

可求解；

（2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式求解

即可；

②按第一种情况：当点A是最高点，可得m＞1或m＜﹣，第二种情况：当点B是最

第20页共35页.

高点，得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答；

（3）分情况讨论：①当m＜﹣1时，②当﹣1≤m≤1时时，③当1＜m＜2时，④当2

＜m＜3时，⑤当m＝3，⑥当3≤m＜4时，⑦当m＝4时，⑧当m＞4时，分别画出

图形求解即可．

【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+2x﹣1，

∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，

∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）；

（2）①当x＝﹣1﹣2m时，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，

∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．

当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，

则AC＝BC，

又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，

∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，

∴A（2m﹣1，4m2﹣2），

∵点A的横坐标为m，

∴2m﹣1＝m，

解得：m＝1，

∴A（1，2），B（﹣3，2），

∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），

∴S△ABC＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；

②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．

∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣时，

则h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；

当点B是最高点，即0≤m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，

综上，h与m之间的函数关系式为：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或h＝4m2（0≤

m＜1）；

（3）①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：

第21页共35页.

此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；

②当﹣1≤m≤1时，则1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；

③当1＜m＜2时，则0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；

④当2＜m＜3时，则﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如图：

第22页共35页.

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；

⑤当m＝3时，点E在抛物线上，此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；

⑥当3＜m＜4时，则﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；

⑦当m＝4时，则2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如图：

第23页共35页.

此时矩形ADEF与抛物线有3个交点（ED经过抛物线的顶点）；

⑧当m＞4时，则2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如图：

此时矩形ADEF与抛物线有2个交点．

综上，当m≤﹣1或m＝4时，抛物线与矩形有3个交点．

15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过

点A作直线l垂直于y轴．

（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M

（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．

①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；

②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；

（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1））直接利用对称轴公式x＝﹣即可求出；

（2）①y1＞y2利用图象法，根据函数的增减性判断即可；

②通过计算可知，点P（m﹣1，1）、Q（m+1、1）为抛物线上关于对用轴x＝m对称的

两点，分类讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：当y轴在点P左侧时（含点P），

作出图形，即可得出经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，此时y1＝y2，不符题意；

当y轴在点Q右侧时（含点Q），作出图形，即可得出点M、N分别和点P、Q重合，此

时y1＝y2，不符题意；当y轴在点P、Q之间时（不含P、Q），作出图形，即可得出经翻

折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，此时y1＞y2，符合题意，即有m﹣1＜0

＜m+1．即﹣1＜m＜m；

（3）当m＞0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，

第24页共35页.

当m＜0时，图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，可列不等式组，

分别解出即可得到结果．

【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x＝﹣＝m；

（2）①当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴，

∴图形G如图1所示：

：图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小，

∵x1＜x2，

∴y1＞y2；

②通过计算可得，P（m﹣1，1），Q（m+1，1）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两

点，

下面讨论当m变化时，y轴与点P、Q的相对位置：

如图2所示：当y轴在点P左侧时（含点P），

经翻折后，得到点M、N的纵坐标相同，y1＝y2，不符合题意；

如图3所示：当y轴在点Q右侧时（含点Q），

第25页共35页.

点M，N分别和点P、Q重合，y1＝y2，不符合题意；

如图4所示：当y轴在点P、Q之间时（不含P、Q），

经翻折后，点N在l下方，点M、P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意，

此时有m﹣1＜0＜m+1，

∴﹣1＜m＜1，

综上所述：m的取值范围为﹣1＜m＜1；

（3）当m＞0时，如图所示

∵抛物线y＝x2﹣2m+m2翻折后y＝﹣（x﹣m）2+2m2，

∴图象G与直线：y＝m+2恰好有3个公共点在点A、B之间，

∴，

第26页共35页.

∴解得＜m＜2；

当m＜0时，如图所示，

∴图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，

∴，

∴解得：﹣2＜m＜﹣1．

综上所述，m的取值范围为：＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．

2

16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax+bx+c（a＞0）．

（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；

（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；

（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求

a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．

【分析】（1）根据抛物线顶点式可得y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，即可得出答案；

（2）由题意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可得|ax2+bx+c|≥0，进而可得﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤

﹣1，即可得出答案；

2

（3）由直线与抛物线C1有且只有一个公共点，可得方程ax+（b﹣m）

x