初中数学几何模型（原卷版）

初中数学几何模型

数学模型-角平分线常见解题模型.............................................................................................................................2

模型一：角分线与圆周角和角的n等分线......................................................................................................3

模型二：角平分线与三角形（常见辅助线构造全等三角形）......................................................................8

模型三：内外角平分线的夹角........................................................................................................................16

模型四：角平分线在矩形中的应用................................................................................................................25

模型五：角平分线在圆中的应用....................................................................................................................27

模型六：内角平分线定理和外角平分线定理................................................................................................32

数学模型-倍长中线模型...........................................................................................................................................34

数学模型-三垂直模型...............................................................................................................................................42

一，三垂直与勾股定理....................................................................................................................................42

二，三垂直与全等和相似................................................................................................................................46

三，三垂直与直角坐标系................................................................................................................................51

四，三垂直与正方形........................................................................................................................................58

五，三垂直与圆................................................................................................................................................63

数学模型-----手拉手..................................................................................................................................................67

（一）有公共顶点的等边三角形....................................................................................................................67

（二）有公共顶点的等腰直角三角形............................................................................................................70

（三）顶角相等的等腰三角形........................................................................................................................72

（四）有公共顶点的正方形............................................................................................................................75

（五）有公共顶点的直角三角形....................................................................................................................77

（六）有公共顶点的任意三角形....................................................................................................................80

数学模型-----半角模型..............................................................................................................................................83

（一）等边三角形中120含60半角模型..................................................................................................83

（二）等腰直角三角形中90含45半角模型............................................................................................86

（三）正方形中90含45半角模型............................................................................................................89

（四）等边三角形中60含30半角模型....................................................................................................92

数学模型-对角互补模型...........................................................................................................................................95

类型一（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)）................................................................95

类型二（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)）................................................................97

类型三“等边三角形对120°模型”．................................................................................................................98

类型四“120°等腰三角形对60°模型”..............................................................................................................98

类型五-全等型90°..........................................................................................................................................101

类型六-全等型120°........................................................................................................................................103

类型七-全等型α...............................................................................................................................................107

数学模型-----相似三角形模型................................................................................................................................109

（一）模型1：A字型...................................................................................................................................109

（二）模型2：8字型.....................................................................................................................................111

（三）模型3：k字型....................................................................................................................................116

（四）模型4：母子型...................................................................................................................................119

数学模型-线段求最值模型.....................................................................................................................................122

一、点到直线的所有线段中，垂线段最短．..............................................................................................122

二、利用三角函数转化，求线段最值..........................................................................................................123

三、利用两点间线段最短求线段最值..........................................................................................................125

四：利用二次函数性质求线段最值..............................................................................................................130

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数学模型-角平分线常见解题模型

角平分线作为图形最基础的概念,在选择题,填空题和几何证明题中屡见不鲜,同学们除了掌握角

平分线的概念和性质定理以外,还需要对常见的角平分线的模型进行了解,在与平行线、三角形、

四边形、圆等背景知识的基础上,结合角平分线得到一些常见的结论并对此进行整理记忆．

对此将角平分线的常见模型分为如下六个模块,其中前五模块为基础模块,需要同学们掌握其中结

论的证明步骤,第六模块为补充模块,只需要了并会运用即可．

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模型一：角分线与圆周角和角的n等分线

①角分线与圆周角

模型分析：

如图，直线AB、CD相较于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，11530，则下列结论不正确的是（）

A.∠AOD与∠1互为补角B.∠1的余角等于7430

C.245D.DOF135

【解析】

解：A.∠AOD与∠1互为补角，说法正确；

B.∠1的余角：9015307430，说法正确；

C.∵OE⊥AB，

∴AOE90，

∵OF平分∠AOE，

∴245，说法正确；

D.DOF18045153011930，原题说法错误；

故选：D．

解题通法：掌握余角，补角，角平分线，垂线的性质，通过加减运算解决问题

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模型精练：

1.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分AOC，ONOM，若AOM30，则CON

的度数为（）

A.30B.40C.60D.50

2.如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE

＝_____．

3.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOC：∠EOD=4：5，OA平分∠EOC，则

∠BOE=___________．

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②角的n等分线

模型分析：

如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】

解：∵射线OD，OE三等分∠AOB，

∴BOEEODDOA

∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，

1111

∴COFCOAFOAAOBDOA(AOBDOA)BOD

2222

又∵射线OD，OE三等分∠AOB，

1

∴BOEEODDOA=BOD

2

∴BOEEODDOA=COF，共3个

故选：C．

1n

解题通法：∠A的n等分线=A，结合图形的性质进行和差计算；当角平分线累计平分时∠A=()．

n2n1

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模型精练：

4.如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，

则∠AOA4的大小为（）

A.1°B.2°C.4°D.8°

5.已知：直线AC//BD，点P是直线BD上不与点B重合的一点，连接AP，ABD120．

11

（1）如图1，当点P在射线BD上时，若BAMBAP，NACPAC，则MAN___________．

22

11

（2）如图2，当点P在射线BE上时，若BAMBAP,NAPPAC，求MAN的度数；

33

11

（3）若点P是直线BD上不与点B重合的一点，当ABD，BAMBAP，NACPAC

nn

时，请直接用含,n的代数式表示MAN的度数．

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6.如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：

（1）观察“箭头四角形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

应用：

（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，

若A60，则ABXACX；

②如图3，ABE、ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF相交于点F，若BAC60，BEC130，

求BFC的度数；

拓展：

（3）如图4，BOi，COi分别是ABO、ACO的2020等分线（i1，2，3，，2018，2019），它们的交

点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2019．已知BOCm，BACn，则BO1000C度．

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如图，，是的平分线，是的平分线，是的平分

7.AOB60OCAOBOC1AOCOC2AOC1

线……OCn是AOCn1的平分线，则AOCn的度数为________．

模型二：角平分线与三角形（常见辅助线构造全等三角形）

①垂两边

模型分析：

BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，则OE＝OF，BEO≌△BFO．

△

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解题通法：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等三角形．

模型精练：

8.如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．

9.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射

线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．

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10.如图，在OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作

DF⊥OC于点△F.

(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；

(2)若∠BOC＝，则∠BDC＝；（直接写出结果）

(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.

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②截长补短构造全等三角形

模型分析：

在ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分线．

（截△长法）在BC上取线段BE＝BA，连接OE，则BEO≌△BAO；

（补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD△，则BDO≌△BCO．

△

解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截

长或补短）构造全等三角形．

模型精练：

11.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，设AD＝x，

BC＝y且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．

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12.如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.

③角平分线+平行线=等腰三角形

模型分析：

由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．

解题通法：平行线与角分线组合在一起会得到等腰三角形．

模型精练：

（2017启正单元考）

13.（2017启正单元考）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、

F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．

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14.如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于

F点，则EF的长为_____m．

15.如图，已知AB//CD，BE平分ABC，CDE150，则C（）

A.105°B.120°C.130°D.150°

16.如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60º，∠BDC=95º，

则∠BED的度数是（）

A.35°B.70°C.110°D.130°

17.如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，

则△ADE的周长等于________________．

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18.如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、

F.

(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.

(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF

与BE、CF间的关系还存在吗?

(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB

于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.

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19.如图，在矩形ABCD中，AB8，BC6，点P为BC边上的一个动点、过点P作PQ//AC交AB

边于点Q，把线段PB绕点P旋转至PE（点B与点E对应），点E落在线段PQ上，若AE恰好平分BAC，

则BP的长为_________．

④三线合一（中垂线）

模型分析：

BO是∠ABC的平分线，EF⊥BO，则BEO≌△BFO．

△

解题通法：角平分线，高线，中线其中两者重合时也能得到另外的一条件，即此时三线合一，角平分线的所有性

质均可使用．

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模型精练：

20.如图，在ABO中，OAOB，AOB90，AD平分OAB，OEAD于E，交AB于F.求

证：（1）ODBF；（2）ADOF2DE.

21.如图，如图，AOB40，OC平分AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于_________．

模型三：内外角平分线的夹角

①两内角平分线的夹角

在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G，则∠BGA和∠A之间的关系是：

1

BGC90A．

2

解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90与第三个内角的一半的和．（当两直线平行时，同旁内角的角

分线夹角=90）

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模型精练：

22.如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=()

A.105°B.115°C.125°D.135°

23.如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，PF=5．点P到EF的距离为_____．

24.如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC

于F，过点G作GDAC于D，下列四个结论：

①EFBECF；

1

②BGC90A；

2

③点G到ABC各边的距离相等；

④设GDm，AEAFn，则S△AEFmn.

其中正确的结论有（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

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②两外角平分线的夹角

模型分析：

1

如图，在ABC中，BO，CO是ABC的外角平分线，则∠O与∠A之间的关系为：O90A．

2

△△

解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90与第三个内角的一半的差．

模型精练：

25.如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝

_____．

第18页共130页.

26.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.

探究1：如图l，在ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现

1

∠BOC=90+∠A△,理由如下：

2

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

11

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB

22

111

∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A

222

11

∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A

22

11

(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与

22

∠A有怎样的关系？请说明理由．

(2)探究3：如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有

怎样的关系？（直接写出结论）

(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC

与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）

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27.（1）如图（a），BD平分ABC，CD平分ACB.

①当A60时，求D的度数.

②猜想A与D有什么数量关系？并证明你的结论.

（2）如图（b），BD平分外角CBP，CD平分外角BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，

请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

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28.(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则

∠BPC=_______度；

(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A

的数量关系?并说明理由．

(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,

直接写出∠BPC与α的数量关系；

第21页共130页.

③一个内角一个外角平分线的夹角

模型分析：

如图，在ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P，则∠P与∠A之间的关

△1

系是:PA．

2

解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．当该条件累计平分时得到夹角

n

1

=A（n为累计平分的次数）

2

模型精练：

如图，在中，，和的平分线交于点，得；和

29.ABCAmABCACDA1A1A1BCA1CD

∠∠

的平分线交于点A2，得A2A2015BC和A2015CD的平分线交于点A2016，则A2016__________度．

如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，

30.AABC,ACDP1P1BC,P1CDP2

P2BC，P2CD的平分线相交于点P3……以此类推，则Pn的度数是___________（用含n与的代

数式表示）．

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31.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、

BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．

32.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

1

（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+∠A

2

（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的

关系？请说明理由．

（3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的

关系？（只写结论，不需证明）

第23页共130页.

④内角平分线与高线的夹角

模型分析：

1

如图，在ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC，则∠EAD=|BC|（绝对值是因为不确定AE与AD的位

2

置）△

解题通法：三角形同一顶点的角分线与高线的夹角=两底角差的绝对值的一半．

模型精练：

33.如图所示，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，BAC50，C70，

求DAC、BOA的度数.

34.如图，在ABC中，AD、AE分别是ABC的高和角平分线，B50，C60°，则

∠DAE__________度．

35.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE

=______度．

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模型四：角平分线在矩形中的应用

①矩形的翻折

模型分析：

1.如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若AED＝40，则∠DEF的度数为（）

A.40B.50C.60D.70

【解析】

解：由翻折不变性可知：∠DEF=∠FED′，

∵AED40，

∴DED140，

1

∴DEFDED70，

2

故选D．

解题通法：矩形的翻折遵照着图形对称的原则，折痕就是对称轴，即角平分线所在的直线；矩形的翻折中默认存

在直角，这一结论在求角度时常结合两锐角互余，当在求边的长度是常结合勾股定理求解．

模型精练：

¢¢

36.长方形如图折叠，D点折叠到D的位置，已知∠DFC＝40°，则∠EFC＝（）

A.120°B.110°C.105°D.115°

37.如图,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C重合),使点C落在长方形内

部的点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数是____.

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38.把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分∠B′AC，则

∠B′CD=______．

39.如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是__．

40.如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的

∠CFE的度数是____________°．

41.如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG

为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且ED'在AEF

内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FED′的度数为___________(用含n的代数式表示)．

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模型五：角平分线在圆中的应用

①圆外一点的切线（切线长定理）

模型分析：

如图，P为圆外一点,过点P作圆O的两条切线，则PA=PB．

解题通法：用HL证明直角三角形的全等，由全等的性质得到角平分线，这一过程也说明角平分线上的点到角两

边的距离相等．

模型精练:

42.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．

43.已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：

（1）PCD的周长；

（2）若△∠P＝50°，求∠COD的度数．

44.如图，AB是O直径，BD,CD分别过O上点B,C的切线，且BDC110，连接AC．求A

的度数.

第27页共130页.

45.如图，在ABC中，C90，点O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的O与AB相

切于点D，AEBO交BO的延长线于点E．证明：∠AOE＝∠BAE．

②内心（内角平分线）与面积

模型分析：

(ABBCAC)

圆O是三角形ABC的内接三角形，此时称点O是三角形ABC的内心，则SABC

2

解题通法：三角形的内心通常结合三角形的面积与周长一起考查，常常通过角平分先性质定理得到半径相等作为

突破口，结合面积公式求解．

模型精练：

47.已知：如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切

线，交PA、PB于E、F点，已知PA12cm，求PEF的周长．

第28页共130页.

48.我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如

图1，O与ABC的三边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,则ABC叫做O的外切三角形.以此类

推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，O与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分

别相切于点E,F,G,H,则四边形ABCD叫做O的外切四边形．

（1）如图2，试探究圆外切四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系，猜想：

ABCDADBC(横线上填“>”，“<”或“=”)；

（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；

（3）用文字叙述上面证明的结论：；

（4）若圆外切四边形的周长为32,相邻的三条边的比为2:5:6，求此四边形各边的长．

第29页共130页.

49.已知：如图，PA,PB,DC分别切圆C于点A,B点．

（1）若P=40，求COD；

（2）若PA=10cm，求△PCD的周长．

50.已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D.

(1)若PA＝6，求PCD的周长；

(2)若∠P＝50°，△求∠DOC.

第30页共130页.

51.如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，

ABC的面积是_△____．

△

52.如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．

（1）求BF的长；

（2）求⊙O的半径r．

第31页共130页.

53.如图，ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为APC的

内心，若∠A△IC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝_____．△

模型六：内角平分线定理和外角平分线定理

①内角平分线定理

模型分析：

在ABC中，若AD是∠BAC的平分线，

求证△：AB:ACBD:CD

证明：分别以AB、AC为底计算ABD的面积与ACD的面积

由于高相等（角平分线上任意一点△到角的两边距离△相等）

因此＝

SABD:SACDAB:AC

又因为＝（分别以、为底，高相同）．

SABD:SACDBD:CDBDCD

所以AB:AC=BD:CD

第32页共130页.

解题通法：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例．

模型精练：

54.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA

和CE的延长线交于点F．

（1）在图中找出与△ABD全等的三角形，并说出全等的理由；

（2）说明BD=2EC；

（3）如果AB=5，直接写出AD的长为．

②外角平分线定理

模型分析：

△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，

求证：BD:CDAB:AC．

证明：过C作AD的平行线交AB于点E．

∵EC//AD

∴BD:CDAB:AE，∠1=∠3，∠2=∠4

∵AD为∠BAC的外角平分线

∴∠1=∠2

∴∠3=∠1=∠2=∠4

∴AE=AC

∴BD:CDAB:AC

解题通法：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比．

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数学模型-倍长中线模型

模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，给出中线，

通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到解题的目的．

其主要的图形特征和证明方法如下图：

已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，

辅助线：延长AO到点D使AO=DO，

结论：△AOB≌△DOC

证明：延长AO到点D使AO=DO，

由中点可知，OB=OC，

在△AOB和△DOC中

OAOD

AOBDOC

OBOC

∴△AOB≌△DOC

同理在下图中仍能得到△AOB≌△DOC

规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后

出现的对顶角决定的．

补充：关于倍长中线的其他模型

①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO

第34页共130页.

步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D，

易证△BEO≌△CDO(AAS)

②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO

步骤：在AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO=DO，连接BD，

易证△BDO≌△CEO(SAS)

实例精练：

1.如图，在平行四边形ABCD中，CD2AD8，E为AD上一点，F为DC的中点，则下列结论中

正确的是（）

A.BF4B.ABC2ABF

C.EDBCEBD.S四边形DEBC2SVEFB

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2.如图，ABCD，BCD90，AB1,BCCD2,E为AD上的中点，则BE＝______．

3.如图，ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BEAC，且BF9，

CF6，那么AF的长度为__．

1

4.如图，平行四边形ABCD中，CEAD于E，点F为边AB中点，ADCD，CEF40，则

2

AFE_________

5.已知：如图所示，AD平分BAC，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．

求证：BE=CF．

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6.如图所示，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，

交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的平分线.

7.已知：如图所示，在ABC中，AD为中线，BF交AD,AC分别于E,F，如果BEAC，求证：

AFEF．

8.如图所示，AD为ABC的角平分线，E,F分别在BD,AD上，DCDE，若EF∥AB．

求证：EFAC．

9.如图所示，在ABC中，AD为中线，BAD90,AB2AD，求DAC的度数．

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10.已知：如图，在ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD

于D.求证：AE2BF2EF2.

11.阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC

中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可

以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝

∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．

完成下面问题：

（1）①思路一的辅助线的作法是：；

②思路二的辅助线的作法是：．

（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，

不需要写出证明过程）．

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12.阅读

（1）阅读理解：

如图①，在ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可△以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将ACD绕着点D逆时针旋

转180°得到EBD），把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的△关系即可判断．

中线AD的取△值范围是________；△

（2）问题解决：

如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，

连接EF，求△证：BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角

的两边分别交AB，AD于E，F