利用导数研究函数的零点专题课件高三数学二轮复习

2025新高考数学

二轮复习利用导数研究函数的零点【知识梳理】

一、利用函数性质研究函数的零点利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．二、数形结合法研究函数的零点含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．三、构造函数法研究函数的零点涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围【常用结论】

对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解【考点分类练】

命题点1

根据函数零点个数求参数已知函数零点个数求参数的方法(1)数形结合法：先根据函数的性质画出图象，再根据函数零点个数的要求数形结合

求解；(2)分离参数法：由f(x)＝0分离出参数a，得a＝φ(x)，利用导数求函数y＝φ(x)的

单调性、极值和最值，根据直线y＝a与y＝φ(x)的图象的交点个数得参数a的取值

范围；(3)分类讨论法：先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合

题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的范围练基础1.(人B选必三6.2节习题)已知函数f(x)=x3-x2-x-1的图象与直线y=c有3个不同的交点,求实数c的取值范围.2.(人A选必二第五章例题)给定函数f(x)=(x+1)ex.(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;(2)画出函数f(x)的大致图象;(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.解

(1)函数的定义域为R.f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=(x+2)ex.令f'(x)=0,解得x=-2.f'(x),f(x)的变化情况如表所示.x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减单调递增所以f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,+∞)上单调递增.当x=-2时,f(x)有极小值f(-2)=.(2)令f(x)=0,解得x=-1.当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0.1.(2023·全国乙,文8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2)

B.(-∞,-3)C.(-4,-1) D.(-3,0)B(方法二)令f(x)=0,得-ax=x3+2,易知x≠0,所以-a=设g(x)=,则函数f(x)存在3个零点等价于函数g(x)=的图象与直线y=-a有三个不同的交点.g'(x)=.当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)在(1,+∞)内单调递增,当x<1且x≠0时,g'(x)<0,函数g(x)在(-∞,0),(0,1)内单调递减,且g(1)=3,当x从左侧趋近于0时,g(x)→-∞,当x从右侧趋近于0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,由此可作出函数g(x)的大致图象,如图所示.根据以上信息,我们画出f(x)的大致图象如图所示.3.(人A选必二第五章习题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.由图知,当-a>3时,函数g(x)=的图象与直线y=-a有三个交点,即函数f(x)有3个零点,所以a<-3.故选B.2.(2024·全国甲,文16)当x>0时,曲线y=x3-3x与曲线y=-(x-1)2+a有两个交点,则a的取值范围是

.

(-2,1)解析

令x3-3x=-(x-1)2+a,得x3+(x-1)2-3x=a.令f(x)=x3+(x-1)2-3x,x>0,则f'(x)=3x2+2(x-1)-3=3x2+2x-5=(x-1)(3x+5).由f'(x)=0(x>0),得x=1.∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴f(x)min=f(1)=-2.又f(0)=1,f(2)=3>1,曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点等价于y=f(x)与y=a有两个不同的交点,∴-2<a<1.3.(2021·全国甲,理21(2))已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.练考点

探究函数零点个数探究函数零点个数的方法(1)图象法：通过导数研究函数的单调性、极值、最值，

确定函数f(x)的图象草图，

判断图象与横轴的交点个数，一般要结合函数零点存在定理处理.(2)分离法：设f(x)＝g(x)－h(x)，则f(x)的零点个数⇔g(x)与h(x)图

象的交点个数.考点一探究零点个数例1(2024·河南郑州三模)已知函数f(x)=eax-x.(1)若a=2,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的零点个数.解

(1)若a=2,则f(x)=e2x-x,f'(x)=2e2x-1.又f(1)=e2-1,切点为(1,e2-1),曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=2e2×1-1=2e2-1,故所求切线方程为y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1),即y=(2e2-1)x-e2.(方法二

分离参数)[对点训练1](2024·陕西安康模拟预测)已知函数f(x)=aexsinx+x-cosx,f'(x)为f(x)的导函数,f'(0)=2.(1)求a的值;(2)求f'(x)在(0,π)上的零点个数.解

(1)由f(x)=aexsin

x+x-cos

x,则f'(x)=aexsin

x+aexcos

x+1+sin

x=aex(sin

x+cos

x)+1+sin

x,又f'(0)=2,所以a+1=2,即a=1.(2)由(1)可知f'(x)=ex(sin

x+cos

x)+1+sin

x,设g(x)=f'(x)=ex(sin

x+cos

x)+1+sin

x,则g'(x)=ex(sin

x+cos

x)+ex(cos

x-sin

x)+cos

x=cos

x(2ex+1),考点二根据零点个数求参数取值范围例2(2024·河南一模)已知函数f(x)=alnx-x2+a(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.[对点训练2]已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切,求实数a的值;(2)若函数g(x)=f(x)-x+1有且只有一个零点,求实数a的取值范围.当x∈(-∞,0)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;当x∈(0,2)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增.设t(x)=ex-x+1,则t'(x)=ex-1,当x∈(-∞,0)时,t'(x)<0,函数t(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,t'(x)>0,函数t(x)单调递增.画出函数h(x)的图象如图所示.考点三隐零点问题*例3(2024·江西赣州一模)已知函数f(x)=ex-1-lnx.(1)求f(x)的单调区间;(2)已知m>0,若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的零点x0.求证:1<x0<2.∴当x>0时,l(x)即f'(x)单调递增,又f'(1)=0,∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴f(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+∞).