2022年新教材高中数学第八章立体几何初步31棱柱棱锥棱台的表面积和体积练习（含解析）

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B­AB1A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)【解析】选D.＝＝eq\f(1,3)S△ABCh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).【加固训练】把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体则所有小正方体的表面积为________．【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.答案：18a22．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】选C.因为VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)V柱＝eq\f(1,3)，所以VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A，C，B1，D1为顶点的正三棱锥的表面积为4eq\r(3)，则该正方体的棱长为()A．eq\r(2)B．2C．4D．2eq\r(2)【解析】选A.设正方体棱长为a，侧面的对角线长为eq\r(2)a，所以正三棱锥A­CB1D1的棱长为eq\r(2)a，其表面积为4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝4eq\r(3)，可得a2＝2，即a＝eq\r(2).4．三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4【解析】选C.如图，设棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S.所以＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，＝eq\f(1,3)·h＝eq\f(4,3)Sh.又＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，所以＝－－＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.所以体积比为1∶2∶4.二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·新乡高一检测)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为________．【解析】设正四棱柱的底面边长为m，则4(42－m2)＝60，解得m＝1，所以该几何体的表面积为：42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.答案：1106．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．【解析】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).答案：eq\r(6)三、解答题(每小题10分，共20分)7．正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积．【解析】正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．因为S侧＝4×eq\f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，所以EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5cm，OE＝eq\f(1,2)AB＝10cm，所以O1O＝eq\r(132－（10－5）2)＝12(cm).所以该正四棱台的体积为V＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).8．如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1【解析】下面是一个直三棱柱，由题意可知S底＝eq\f(1,2)·2·2＝2，S侧面＝3×2＋3×2＋3×eq\r(22＋22)＝12＋6eq\r(2)，上面是一个三棱锥，除底面BCE外的表面积S1＝eq\f(1,2)×3×2＋eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×2×eq\r(13)＝3＋3eq\r(2)＋eq\r(13)，所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9eq\r(2)＋eq\r(13).V＝V三棱锥＋V三棱柱＝eq\f(1,3)×2×3＋2×3＝2＋6＝8.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A．eq\f(3,2)B．eq\f(7,4)C．2D．eq\f(9,4)【解析】选D.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB­E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝eq\f(3,4)S△ABC×3＝eq\f(9,4)S△ABC.设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h＝eq\f(9,4)S△ABC，解得h＝eq\f(9,4).2．(多选题)长方体ABCD­A1B1C1D1A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3eq\r(2)D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2eq\r(5)【解析】选BC.长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误．长方体的体积为3×2×1＝6，B正确．如图①所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形，如图②所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B则有AC1＝eq\r(26)，即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是eq\r(26)；如图③所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3eq\r(2)；如图④所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2eq\r(5).因为3eq\r(2)<2eq\r(5)，所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3eq\r(2)，C正确，D不正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3【解析】S四边形EFGH＝4×6－4×eq\f(1,2)×2×3＝12(cm2)，V＝6×6×4－eq\f(1,3)×12×3＝132(cm3).m＝ρV＝0.9×132＝118.8(g).答案：118.84．如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________．【解析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是两个底面边长为2eq\r(2)，高为2的四棱锥组成；则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和．又四棱锥的侧棱长为l＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为：S＝8×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×sin60°＝16eq\r(3).答案：16eq\r(3)三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以3·eq\f(1,2)a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.所以a＝eq\r(3)h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.所以h′＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)h′＝6.所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3).所以S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).6．已知正三棱锥S­ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15cm，底面边长为12cm，内接正三棱柱的侧面积为120cm2.(1)求正三棱柱的高．(2)求棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比．【解析】(1)如图，设正三棱柱高为h，底面边长为x，则eq\f(15－h,15)＝eq\f(x,12)，所以x＝eq\f(4,5)(15－h).①又S三棱柱侧＝3x·h＝120.所以xh＝40.②解①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,h＝10，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,h＝5