安徽省合肥市庐阳中学2024-2025学年九年级上学期12月份月考数学试卷

~2025学年九年级12月质量检测数学试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.的值等于（）A B. C. D.2.抛物线的对称轴是（）A.y轴 B.x轴 C.直线 D.直线3.若反比例函数的图象经过点，则k的值是（）A.3 B.2 C.1 D.4.如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米，则该斜坡的坡度（）A. B. C. D.5.如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（）A. B.C. D.6.如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（）A. B.C. D.7.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（）A. B. C. D.8.抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.9.如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确是（）A. B.C. D.10.如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若锐角α满足，则___________．12.如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________．13.如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为__________米．14.已知抛物线（m，n是实数且）经过．（1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________；（2）若该二次函数满足当时，总有y随x增大而减小，则代数式的最小值为__________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.在中，分别是的对边，，解这个直角三角形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．（1）和关于y轴对称，画出；（2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限．①画出；②__________．18.如图，已知一次函数（k，b是常数且）图象与双曲线（n是常数且）交于两点，与x轴交于点C．（1）求m，n，k，b的值；（2）求的面积；（3）直接写出不等式组的解集：__________．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，是的高线，是上一点，，若，．（1）求的长；（2）若，求的值．20.某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题．活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测量过程①如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪；②利用测角仪测出楼顶A的仰角，楼顶B的仰角；③利用皮尺测出米，米．测量图示解决问题根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离备注说明其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内参考数据六、（本题满分12分）21.如图，某一海域有4个小岛，其中小岛位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为海里．（1）求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号）（2）若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间距离的长．（参考数据：；结果精确到海里）七、（本题满分12分）22.在正方形中，P是边上的一个动点，已知，且，连接．（1）如图1，证明：；（2）连接交于点和分别交于点F，G．①如图2，若P是的中点，证明：；②如图3，连接，判断与之间的位置关系并加以证明．八、（本题满分14分）23.如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，已知．（1）如图1，求该抛物线的表达式；（2）如图2，P是直线上方抛物线上一点，与y轴、分别交于D，E．①若，求点P的坐标；②求的最大值．

2024~2025学年九年级12月质量检测数学试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．利用特殊角三角函数值代入计算即可．【详解】解：，故选：C．2.抛物线的对称轴是（）A.y轴 B.x轴 C.直线 D.直线【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解．【详解】解：∵抛物线，∴，，，∴对称轴为直线．∴对称轴为y轴．故选：A．3.若反比例函数的图象经过点，则k的值是（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，解得，．故选：B．4.如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米，则该斜坡的坡度（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查学生对坡度的理解．根据题意，利用勾股定理可先求出水平距离，再求出这个斜坡的坡度即可．【详解】解：根据题意，水平距离为：，∴坡度；故选：B．5.如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的关系，掌握抛物线与轴的交点是对应一元二次方程的解是关键．根据抛物线与轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标，据此即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为，抛物线与轴的另一个交点为，方程的解为，故选：C．6.如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，．【详解】解：A、四边形是平行四边形，，，不符合题意；B、四边形是平行四边形，，，不符合题意；C、四边形是平行四边形，，，不符合题意；D、无法证明，符合题意；故选：D．7.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．连接，先证明为直角三角形，即可求解．【详解】解：连接，∵，，，∴，∴，即为直角三角形，∴，故选：D．8.抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的综合，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别判断反比例函数图象与抛物线的位置，即可求解，熟练掌握反比例函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：分两种情况讨论：当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在轴上，且与轴交点为，故四个选项都不符合题意；当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在轴上，且与轴交点为，故A选项符合题意，故选：A．9.如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，则，于是可求得直线、与轴的交点，进而可求得的长，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点B4,0，进而可求得的长，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点，进而可求得与的长，然后利用勾股定理可求得与的长，进而可求得，过点作于点，由三角形的面积公式可得，即，据此可求得的长，然后利用勾股定理可求得的长，进而可求得，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；综上，于是可得答案．【详解】解：令，则，，，令，则，解得：，，，令，则，解得：，，，，，，，如图，过点作于点，，，，，，故选项不符合题意；，，，故选项不符合题意；，，，故选项不符合题意；，，，故选项符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，勾股定理，求角的正弦值，三角形的面积公式，等式的性质，求角的余弦值，求角的正切值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．10.如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，过点C作，使，连接，证明得，进而得，再由勾股定理得，再根据三角形三边关系得（当点E位于上时，等号成立），即可得出结论．【详解】解：如图，过点C作，使，连接，∴，∴，即，又∵，，，∴，在中，，在中，由三边关系，得（当点E位于上时，等号成立），故的最大值．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若锐角α满足，则___________．【答案】【解析】【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角的三角函数值可得，从而得到，进而即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：12.如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________．【答案】10【解析】【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值．【详解】解：设点坐标为，线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键．13.如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为__________米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先过点作，设米，把AD、BD用含的代数式表示出来，可得方程，解方程求出点到的距离.【详解】解：如下图所示，过点作，设米，，米，在中，，，，，，解得：，点到的距离为米．故答案为：

．14.已知抛物线（m，n是实数且）经过．（1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________；（2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为__________．【答案】①.②.5【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质．（1）将代入得，再将2,1代入得，再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标；（2）当时，总有y随x的增大而减小，则，，由抛物线过点得，代入得，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过点2,1，，∴抛物线，，解得，，∴顶点坐标为，故答案为：；（2）∵抛物线过点，，，当时，总有y随x的增大而减小，，，∴，，∴，，∴函数的对称轴为直线，∴当时，随增大而减小，∴当时，函数取得最小值为5，即的最小值是5．故答案为：5．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】0【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：原式．16.在中，分别是的对边，，解这个直角三角形．【答案】，，【解析】【分析】先利用直角三角形锐角互余求，再用含30度角的直角三角形的性质求出，再用的正切求出．【详解】解：在中，，，．【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．详解片段四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．（1）和关于y轴对称，画出；（2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限．①画出；②__________．【答案】（1）见解析（2）①图见解析；②【解析】【分析】本题考查了作图-位似变换、作图-轴对称变换．（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；（2）①由（1）及位似性质进行作图即可；②由（1）得，进而得．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：①如图，即为所求；②∵和关于y轴对称，∴，∵与的位似比为，∴，即，故答案为：．18.如图，已知一次函数（k，b是常数且）的图象与双曲线（n是常数且）交于两点，与x轴交于点C．（1）求m，n，k，b的值；（2）求的面积；（3）直接写出不等式组解集：__________．【答案】（1），，，（2）2（3）【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，（1）先由点、在双曲线上求出m，n的值，即可得，再由、在一次函数上，求出k，b的值即可；（2）过点A作于点D，分别求出、的长，再由即可得的面积；（3）观察函数图象可得不等式组的解集是x轴上方，双曲线下方的图象对应的x的取值范围．【小问1详解】解：∵点、在双曲线上，∴，解得：，∴，∵点、在一次函数上，∴，解得：；【小问2详解】解：如图，过点A作于点D，∵点∴，由（1）得在一次函数，令，则，∴，，∴；【小问3详解】解：∵点，，结合函数图象可得不等式组的解集为．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，是的高线，是上一点，，若，．（1）求的长；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】首先过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度；根据可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出BD的长度，从而可求AD的长度，根据正切的定义可求的值．小问1详解】解：如下图所示，过点作于点，是高线，，，，又，，可得：，解得：，在中，，，解得：；【小问2详解】解：由可得：，，，，是的垂直平分线，，，，，，，．【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系．20.某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题．活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测量过程①如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪；②利用测角仪测出楼顶A的仰角，楼顶B的仰角；③利用皮尺测出米，米．测量图示解决问题根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离备注说明其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内参考数据【答案】两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米【解析】【分析】过点B作于M，由正切三角函数可求出相应边的长度，最后由勾股定理即可求解．【详解】解：过点B作，垂足为M，如图：由题意可知四边形和都是矩形，米，米，米，在中，米，在中，米，米米米，在中，（米），∴两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米．【点睛】本题考查了解直角三角的应用，勾股定理，能根据题意作出辅助线构造直角三角形求解是解题的关键．六、（本题满分12分）21.如图，某一海域有4个小岛，其中小岛位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为海里．（1）求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号）（2）若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间的距离的长．（参考数据：；结果精确到海里）【答案】（1）小岛A和小岛C之间的距离的长为海里（2）小岛A与小岛D之间的距离的长约为海里【解析】【分析】本题主要考查了方向角的定义，解直角三角形，等腰三角形，三角形所对的直角边为斜边的一半，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键就是作高线．（1）过点C作于点E，由题意可知是等腰直角三角形，通过三角函数可得的值，通过角的和差可得的值，进而得出的值，再根据所对的直角边为斜边的一半可得的值，从而得解．（2）过点C作于点F．由题意可知，，的值，再根据三角函数可得，，从而根据求解即可．【小问1详解】解：如图，过点C作于点E．由题意可知，是等腰直角三角形，（海里）．由题意可知，．在中，，则（海里）．答：小岛A和小岛C之间的距离的长为海里．【小问2详解】如图，过点C作于点F．由题意可知，则，，（海里），在中，，（海里）．答：小岛A与小岛D之间的距离的长约为海里．七、（本题满分