2024-2025学年新教材高中数学 第七章 复数 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2（教学用书）教学实录 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.3.1复数的三角表示式7.3.2（教学用书）教学实录新人教A版必修第二册一、课程背景与目标定位

2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.3.1复数的三角表示式7.3.2（教学用书）教学实录新人教A版必修第二册

本节课是在学生已经了解了复数的基本概念和代数表示法的基础上，进一步学习复数的三角表示法。通过引入三角函数的概念，帮助学生更好地理解和掌握复数的几何意义及其运算。课程目标定位为：使学生掌握复数的三角表示法，理解复数在复平面上的表示，并能够运用三角表示法进行复数的运算。二、核心素养目标

本节课的教学目标是培养学生以下数学核心素养：

1.探究能力：通过探索复数的三角表示法，发展学生的逻辑思维和数学探究能力。

2.几何直观：利用复数的三角表示法，培养学生对复数的几何直观感知，理解复数与复平面上的点的关系。

3.应用意识：通过复数三角表示法在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。

4.数学表达：训练学生使用数学语言准确表达复数的三角表示及其运算过程。三、教学难点与重点

1.教学重点

本节课的教学重点包括以下核心内容：

-复数的三角表示法：如何将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。

举例：将复数z=1+√3i表示为三角形式。首先求出模r=√(1^2+(√3)^2)=2，然后求出辐角θ=arctan(√3/1)=π/3，因此z的三角表示为2(cos(π/3)+isin(π/3))。

-复数的三角运算：利用复数的三角表示法进行乘法和除法运算。

举例：计算复数z1=2(cosπ/6+isinπ/6)与z2=3(cosπ/4+isinπ/4)的乘积。根据三角运算规则，乘积为6(cos(π/6+π/4)+isin(π/6+π/4))。

2.教学难点

本节课的教学难点主要涉及以下内容：

-理解复数的模和辐角的概念：学生可能难以理解复数的模和辐角在复平面上的几何意义。

难点解释：复数的模r是复平面上的点到原点的距离，辐角θ是从正实轴到该点的向量与正实轴的夹角。通过绘制复平面上的点，并用直角三角形的边长关系来帮助学生理解。

-三角表示法的应用：将复数的三角表示法应用于复数的乘除运算时，学生可能不熟悉角度的加法公式。

难点解释：在复数的乘法运算中，模相乘，辐角相加。例如，计算z1*z2时，模为2*3=6，辐角为π/6+π/4=(5π/12)。学生需要熟悉并运用三角函数的加法公式来求解新的辐角。四、教学方法与策略

1.采用讲授与讨论相结合的方法，首先通过讲授介绍复数的三角表示法及其运算规则，随后引导学生进行讨论，比较三角表示法与代数表示法的异同。

2.设计具体的教学活动，如小组合作探索复数三角表示法在实际问题中的应用，例如在解决电路问题或波动问题时如何运用复数三角表示法。

3.确定教学媒体使用，包括多媒体课件展示复数在复平面上的几何表示，以及使用互动软件模拟复数运算过程，增强学生的直观理解和参与度。五、教学实施过程

1.导入新课

方式：以“复数的奥秘”为主题，展示一个复数在工程应用中的实际案例，如复数在信号处理中的应用，引发学生对复数三角表示法的兴趣。

目的：让学生认识到复数三角表示法的实际意义，激发学习动力。

2.讲授新知

-概念讲解：通过复数的代数表示引入三角表示法，解释复数的模和辐角的概念，并展示如何在复平面上表示。

举例：讲解复数z=1+i的三角表示，展示其模r=√2和辐角θ=π/4。

-演绎推理：介绍复数三角表示法的运算规则，如复数的乘法运算规则，即模相乘、辐角相加。

举例：计算复数z1=2(cosπ/6+isinπ/6)和z2=3(cosπ/4+isinπ/4)的乘积，得到6(cos(5π/12)+isin(5π/12))。

-归纳推理：通过多个例子引导学生归纳复数三角表示法的规律。

举例：通过计算不同复数的三角表示，让学生归纳出复数三角表示法的一般规律。

3.巩固练习

-课堂练习：给出几个复数的代数形式，要求学生转换为三角形式，并进行简单的运算。

举例：将复数5-2i转换为三角形式，并计算与复数2(cosπ/3+isinπ/3)的乘积。

-小组讨论：分组讨论复数三角表示法在解决复数运算问题时的优势。

4.深化理解

-案例分析：分析复数三角表示法在物理、工程等领域的应用案例。

举例：分析在交流电路中复数三角表示法如何简化计算。

-辩论活动：组织学生辩论复数三角表示法与代数表示法的优劣。

5.课堂总结

-知识梳理：总结复数三角表示法的核心内容，强调模和辐角的计算方法。

-学生反馈：邀请学生分享在转换复数表示法和运算过程中的体会和遇到的问题，进行针对性解答。六、教学反思

这节课通过讲授和实例演示，学生基本掌握了复数的三角表示法。但在实际操作中，部分学生对模和辐角的计算还是感到困惑。我觉得可以在教学中增加更多实际操作的环节，让学生在动手实践中加深理解。另外，我也注意到学生在进行复数运算时，对三角函数的应用还不够熟练，未来我会加强这方面的练习，确保学生能够灵活运用三角函数解决复数问题。七、评价与反馈

在今天的课堂表现评价中，我观察到学生们在参与度上表现得相当积极，尤其是在小组讨论环节，大家能够主动发言，提出自己的见解，显示出良好的合作能力。在准确性方面，学生们对复数的三角表示法的理解普遍到位，但在具体计算辐角时，仍有部分学生感到困难，需要进一步加强个别指导。

作业与测试评价显示，学生们在作业质量上整体较好，能够运用所学知识进行案例分析，但在表达逻辑推理过程时，有些同学的语言还不够精准。测试成绩反映出学生们对复数三角表示法的掌握程度较高，但在复数运算的应用题上，部分学生还需要更多的练习来提升解题速度和准确性。

在反馈与改进环节，学生们提出了宝贵意见，比如希望增加更多实际应用的案例来帮助理解。我会考虑这些建议，并在未来的教学中增加相关内容。同时，我也将反思自己的教学方法，针对学生反映的问题，调整教学计划，确保每个学生都能跟上课程的进度，并深入理解复数的三角表示法。八、教学资源与支持

多媒体资源：

-图片素材：收集复数在复平面上的表示、复数的模和辐角的示意图，以及复数三角表示法在工程、物理等领域的应用实例图片，用于导入新课和辅助讲解复数的三角表示法。

-视频素材：制作或选取有关复数三角表示法的应用视频，如信号处理、交流电路分析等，让学生直观感受复数三角表示法的实际应用。

-音频素材：录制复数三角表示法的讲解音频，包括概念、运算规则等内容，供学生在课后复习使用。

阅读材料：

-文章素材：选择一些介绍复数三角表示法在科学研究、工程应用中的英文文章，让学生在课后阅读，提高他们的专业英语水平，同时加深对复数三角表示法的理解。

-书籍推荐：推荐学生阅读《复数及其应用》、《高等数学》等相关书籍，特别是涉及复数三角表示法的章节，以拓宽学生的知识面。

实践工具：

-个人学习计划表：设计一个复数三角表示法学习计划表，指导学生制定学习计划，记录学习进度，包括预习、复习、练习等环节。

-练习题库：整理一份复数三角表示法的练习题库，包含不同难度的题目，供学生在课后自我检测使用。

-讨论指南：提供一份讨论指南，指导学生在小组讨论中如何提出问题、如何进行有效的讨论，以及如何评价讨论成果。

网络资源：

-在线课程：推荐学生参加在线平台上的复数相关课程，如MOOC（慕课），以便学生能够接触到更多元化的教学方式和资源。

-学术论坛：引导学生参与数学、物理等学术论坛，关注复数三角表示法的前沿研究和发展动态。

教学支持：

-同行交流：定期组织教师间的交流会议，讨论复数三角表示法的教学方法，分享教学经验和资源。

-学生辅导：为需要额外帮助的学生提供辅导服务，包括一对一辅导和小组辅