河北省保定市高碑店市崇德实验中学2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(解析)

高中数学精编资源-2023学年第二学期期末考试高二数学试题说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答第卷（选择题共60分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定的书写规则来确定答案.【详解】命题，则是：故选：C.3.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D4.已知函数的定义域为，函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域为，得到，则，由求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，所以，解得，所以函数的定义域为，故选：A【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域的求法，属于基础题.5.定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则A.4034 B.2020C2018 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出函数的周期，再结合已知条件求解.【详解】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以，所以所以，所以函数的周期是8,所以.故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性及函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．7.若定义在R上的函数满足：对任意，，有，则下列说法一定正确的是（）A.为奇函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为偶函数【答案】C【解析】【分析】令得，令，得到，根据奇偶性定义即可得答案.【详解】对任意，有，令，得.令，，得.整理得，故为奇函数.故选：C8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型和条件概率公式可得.【详解】记第一次取出的数为m，第二次取出的数记为n，则，，，所以，所以，，所以.故选：C二､多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列各组函数中不是相等函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BD【解析】【分析】计算函数定义域，化简解析式，对比每个选项中的两个函数得到答案.【详解】，函数定义域为R，，定义域为R，是相等函数.定义域为，定义域满足，即，故不是相等函数.，，定义域都是R，解析式相同，是相等函数.，定义域为R，定义域为，不是相等函数.故选：BD.10.若，则，．已知，且，则（）．A B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由正态分布的对称性求出，再由原则求解即可.【详解】因为，且，所以，解得．．故选：AC．11.已知，，且，则（）A.的最小值是B.最小值是C.若恒成立，则实数的取值范围是D.若恒成立，则正实数的取值范围是【答案】ABCD【解析】【分析】对于A和B，分别利用基本不等式求出最值即可；对于C，利用基本不等式转化为进而求出结果；对于D，利用分离常数结合二次函数性质判断即可【详解】对于A因为，，且，则，可得，解得或（舍去）则，当且仅当，取等号故最小值为，故A正确；对于B因为，，且，则，则，当且仅当，取等号故最小值为，故B正确；对于C，当且仅当取等号，所以不等式恒成立，转化为，解得，故C正确；对于D因为，，，则，，将不等式变形得到恒成立，当时，取等号，故，D正确．故选：ABCD．12.有一座高度是10级（第1级~第10级）台阶的楼梯，小明在楼梯底部（第0级）从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量，则（）A. B.C. D.中最大【答案】ABD【解析】【分析】每步向上1级与向上2级的概率都是，求出第n步后小明所在台阶级数随机变量的概率，即可判断A、C、D的正误，再计算，可得B正确.【详解】小明每步向上1级与向上2级的概率都是，表示跨2步到达第2级台阶，所以每步向上1个台阶，，故A正确；的所有可能取值为2，3，4，，，，所以，故B正确；表示跨4步到达第6级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，有2步每步向上2个台阶，；表示跨4步到达第7级台阶，所以有1步向上1个台阶，有3步每步向上2个台阶，，故C错误；由题意，表示跨5步到达第10级台阶，所以每步向上2个台阶，，表示跨6步到达第10级台阶，所以有2步每步向上1个台阶，有4步每步向上2个台阶，，以此类推可得，，，，其中最大，故D正确．故选：ABD．第II卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为____________.【答案】【解析】【分析】依题意可得，，从而可求得，利用其通项公式即可求得展开式中的常数项．【详解】解：由题意可得，，解得，所以展开式的通项为，由得，，所以常数项为第七项．故答案为：14.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时,,则_________.【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性即可得解.【详解】，，函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时,,则.故答案为：【点睛】此题考查根据函数奇偶性求值，关键在于准确分析出的范围不在题目给定区间上，通过奇偶性求值.15.函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据条件是R上的单调递减函数，从而在上单调递减，根据二次函数的单调性可得，这样可解得，根据一次函数的单调性有，根据减函数的定义可得，这又可得到一个的范围，然后这几个的范围求交集即可得到的取值范围.【详解】当时，，在上单调递减，，；当时，单调递减，，又是R上的单调递减函数，，，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围、二次函数的单调性，属于基础题.16.若，则a的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】将不等式转化为，令得到，原不等式即可转化为恒成立，然后分和两种情况讨论即可.【详解】不等式化为，所以.设，则，令，则，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.令，则.当时，，单调递增；所以，解得，故满足条件；当时，当时，，当时，，在上单调递减；在上单调递增；所以，设，则，所以在上单调递减，又，所以，所以，综上所述，的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题：（1）恒成立；（2）恒成立.三､解答题（本题共有六道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设公差为，依题意得到关于、的方程组，解得即可、，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设公差为，由，，得，解得，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以，故数列的前项和为.18.已知向量（，），（，），.（1）求函数的最大值及相应x的值；（2）在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积.【答案】（1），时，取最大值；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换可得的解析式，利用正弦函数的性质可求的最大值及相应的值；（2）由（1）及角A的范围可求角A，进而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的边长值，代入三角形面积公式即可求解.【小问1详解】依题意，，即，所以，当，即，时，取最大值；【小问2详解】由（1）及得：，即，由，则，因此，，则，而，有，所以，在中，由正弦定理得，，，所以的面积为.19.为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下．喜欢有机水果不喜欢有机水果南方会员8040北方会员4040（1）视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率；（2）试根据小概率值的独立性检验，分析喜欢有机水果是否与会员的区域有关．附：，．0.050.0250.0053.8415.0247.879【答案】（1）喜欢有机水果的概率分别为，（2）喜欢有机水果与会员的区域有关【解析】【分析】（1）利用古典概率可求答案；（2）计算卡方，和临界值比较，根据小概率可得答案.【小问1详解】由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；北方会员中喜欢有机水果的概率为，所以南方、北方会员中喜欢有机水果的概率分别为，．【小问2详解】零假设：假设喜欢有机水果与会员的区域无关；，根据小概率值的独立性检验，不成立，即认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.20.为何值时，关于的方程的两根：（1）都为正数根；（2）异号且负根绝对值大于正根；（3）一根大于2，一根小于2；（4）两根都在区间上.【答案】（1）或（2）（3）（4）或【解析】【分析】根据判别式的符号确定方程根的个数，再根据根的分布情况对每一小问进行分析即可：（1）满足判别式大于等于零，且两根之和、两根之积都大于零；（2）满足判别式大于零，且两根之和、两根之积都小于零；（3）满足判别式大于零，处的函数值小于零；（4）满足判别式大于等于零，0和2处的函数值都大于零，且对称轴在之间；【小问1详解】设函数，方程有两根设为，对称轴.，由.解得或；由题意可得，解得或.【小问2详解】由题意可得，解得.【小问3详解】由题意可得，即，解得.【小问4详解】由题意可得，即，解得或.21.南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年-2021年河北平原地区地下水埋深进行统计，所得数据如下表：年份2015201620172018201920202021埋深（单位：米）25.7425.2224.9523.0222.6922.0320.36根据散点图知，该地区地下水位埋深与年份（2015年作为第1年）可以用直线拟合．（1）根据所给数据求线性回归方程，并利用该回归方程预测2023年河北平原地区地下水位埋深；（2）从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为，求的分布列与数学期望．附相关表数据：．参考公式：，其中．【答案】（1），米（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据最小二乘法求出和可得线性回归方程，再代入可得结果；（2）根据超几何分布的概率公式和期望公式可求出结果.小问1详解】，，，，所以，，所以所求线性回归方程为.当时，米所以预测2023年河北平原地区地下水位埋深为米.【小问2详解】因为，，，，，，所以从2016年至2021年这6年中，每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份有，共个年份，的所有可能取值为，，，，所以的分布列为：123.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当