第12讲 破解离心率问题之内切圆问题（解析版）

一．选择题（共20小题）1．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PFF2的内切圆的圆心为则双曲线的离心率为()【解答】解：过点C作F1F2的垂线，垂足为设圆C与x轴切于点D(x0，0)，D与双曲线的右顶点重合，2F2:c2=22故选：B.2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，PF1丄PF2，直线F2P与y轴交于点A，ΔAPF1的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是()【解答】解：:PF1丄PF2，ΔAPF1的内切圆可得:由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，:a=1.:c=2，故选：D.重心为G．若△PF1F2的内切圆H的直径等于|，且GH//则椭圆E的离心率【解答】解：因为△PF1F2的重心为G，所以G在PO上且PG:GO=2:1，PM是△PF1F2边F1F2上的高，HN是△PF1F2的内切圆H的半径，GH//F1F2，所以PM=3HN，所以2a=4c，所以离心率为，故选：D.4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线右支上两点，且，设△A的内切圆圆心为I1，△AF1F2的内切圆圆心为I2，直线I1I2与线段F1F2交于点则双曲线C的离心率为()【解答】解：如右图所示：由题意知I2为上F1AF2的角平分线，由角平分线的性质得由勾股定理逆定理可得F1A丄F2A22故选：B.的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=3r时，椭圆的离心率为()根据正弦定理可得=2c，:R=c，r=:mn=2a2一2c2，故选：B.6．已知点P是椭圆上一点，点是椭圆C的左、右焦 点，若△PF1F2的内切圆半径的最大值为a—c，则椭圆C的离心率为()【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径为r，则S△P|.|yP|≤.2c.b=bc，所以(a+c)r≤bc，所以r≤,2，即a故选：B.C的右支交于A、B两点(A在第一象限），若△AF1F2与△BF1F2内切圆半径之比为3:2，则双曲线离心率的取值范围为()【解答】解：如图，由题意设△AF1F2与△BF1F2内切圆圆心分别为M，N，对应的切点分，NH=H.tan结合得所以tanθ=2，则要使直线AB与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足<tanθ=2，所以故选：A.8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为，则双曲线的离心率为(【解答】解：设双曲线的左、右焦点，F1(—c,0)，F2(c,0)，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线AF2的方程联立双曲线可得由三角形的面积的等积法可得，在三角形中，nsinθ=(θ为直线AF2的倾斜角可得sinθ=可得所以离心率故选：B.9．已知双曲线是该双曲线右支上的一点．点F1，F2分别为 则C的离心率为()【解答】解：由双曲线的方程知，c2=4，:c=2， :a=·3，:离心率故选：D.F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=4r时，椭圆的离心率为()根据正弦定理可得故选：B.11．过双曲线的右焦点F2的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P，Q两点，且上OPQ=90O，O为坐标原点，若ΔOPQ内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为()【解答】解：如图，设ΔOPQ的内切圆圆心为M，则M在x轴上，过点M分别作MN丄OP于N，MT丄PQ于T，丄OP得，四边形MTPN为正方形，bcbc:焦点F2(c,0)到渐近线x的距离|P|2:离心率故选：B.12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的内切圆的圆心为则双曲线的离心率为()【解答】解：如图，=a，则D(a,0)，且， :双曲线的离心率为.故选：B.在三角形中，cos解得b2，则S△P|PF1||P又由三角形PF1F2的内切圆半径为r，由等面积法可得则，所以椭圆的离心率故选：D.14．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M是C右支上 的一点．直线MF1与y轴交于点P，ΔMPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|=23，则C的离心率为()+16a2设ΔMPF2的内切圆在边MP上的切点为A，在边MF2上的切点为B， 所以故选：D.15．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与△PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且PI=2IQ，则该椭圆的离心率为【解答】：△PF1F2内切圆的圆心I，则I是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得所以离心率故选：A.16．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记ΔIPF1，ΔIPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1S2≤S3恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为() F2故选：B.17．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记ΔIPF1，ΔIPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1S2恒成立，则双曲线的离心率为()【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，2F2故选：C.18．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线①上PF2外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线①的离心率为()【解答】解：设△F1PF2外接圆半径为R，内切圆的半径为r，设F2又4c2=m22mn2(c2a2)，△F:R=8r，平方得即16c44a2c2=108c4288a2c2+192a4，92c4284a2c2+192a4=0，故选：B.19．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使PF2PF2内切圆的半径大于a，则C的离心率的取值范围是()|=2a，所以在三角形PF1F2中，|PF2|PF2， 故选：C.20．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上一点，PF2(|PF|PF则4c22|PF2. 故选：D.二．多选题（共2小题）21．过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l，直线线垂直，垂A足为A，直线l与另一条渐近线交于点B(A，B在y轴同侧设O为坐标原点，则下列结论正确的有()B．若双曲线C的一条渐近线的斜率为，则双曲线C的离心率等于2 C．若|FB|=2|FA|，则双曲线C的D．若ΔOAB的内切圆的半径为32一1a，则双曲线C2c|OA|2a2222222，而直线AB的方程为与渐近线x联立可得222，整理可得：D中，若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，设ΔOAB内切圆的圆心为M，则M在上AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN丄OA于N，MT丄AB于T，由FA丄OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c，故选：AD.22．已知双曲线的左．右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若ΔABF1为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A．双曲线C的离心率为3B.△AF1F2的面积为23a2 【解答】解：对于D，设△BF1F2的内心为I，过I作BF1，BF2，F1F2的垂线，垂足分别为正确；因为ΔABF1为等边三角形，当A，B都在同一支上时，则AB垂直于x轴，可得A(c，22a2设△AF1F2内切圆的半径为r，则由等面积法可得3a2，:r=当A，B都在双曲线的左，右两支上时，设AB=BFAF2而不论什么情况下△AF1F2的面积为2·a2，故B正确.故选：BD.三．填空题（共16小题）23．椭圆E:的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A、圆的面积为兀，则椭圆E的离心率为【解答】解1）由性质可知△AF1B的周长为4a，内切圆半径为1， 故答案为：.24．双曲线=1的离心率是，点F1，F2是该双曲线的两焦点，P在双曲线上，且PF1丄x轴，则△PF1F2的内切圆和外接圆半径之比 2a2·i21)a，△PF1F2的外接圆半径为所以△PF1F2的内切圆和外接圆半径之比故答案为25．过双曲线C:=1(a>0,b>0)右焦点F作直线l，且直线线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B．已知O为坐标原点，若ΔOAB的内切圆的半径为321a，则双曲线C的离心率为或2.【解答】解1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，设ΔOAB内切圆的圆心为M，则M在上AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN丄OA于N，MT丄AB于T，由FA丄OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c， 2a 2323（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a， 综上，双曲线C的离心率为或2. 故答案为：2或.26．已知点P是椭圆上一点，点是椭圆C的左、右焦点，若△PF1F2的内切圆半径的最大值为a【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则，所以的最大值为 bc,由题意可得a-c=2所以椭圆的离心率故答案为：.27．已知点F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限则该椭圆的离心率取值范围为【解答】解：△PF1F2内切圆的圆心I，则I是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得即，故答案为.28．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，PF2与椭圆交于Q．若△PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，则椭圆 的离心率为.【解答】解：:M为PF1的中点，:△PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，:由内切圆的性质可得，|PM|=|PF2|，:P为椭圆上的一点，:|PM|=a，|Pa，|P设△PF1Q的内切圆与F1Q切于C，结合内切圆的性质可得，FC=:PF2与椭圆交于Q，:C，F2为切点，:由内切圆的性质可得，|QC|=|QF2|，:△PF1Q为等边三角形， 故答案为：.29．如图，焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，ΔAPF1的内切圆在边PF1上【解答】解：设ΔAPF1的内切圆的圆心为M，AF1、AF2与圆M的切点分别为E、F，连结ME、MF、MQ，:a=4，所以30．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2.x轴垂直的直线l经过F2，交2 则C的离心率为.【解答】解：不妨设A在第一象限，则直线OA方程为，把x=c代入y=x可得故22c2，可得4e2=1:椭圆的离心率.故答案为：.31．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1与y轴交于点M，与双曲线C的右支交于点P，ΔPMF2的内切圆与边MF2切于点N，若 |F【解答】解：根据题意画图：设G，K分别为ΔPMF2内切圆与PM，PF2的切点，|)=MN+MFNF=MN+MFNF 所以， 故答案为：3.32．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为【解答】解：由椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面所以33．已知点F为双曲线一的左焦点，A为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点O作OA的垂线交FA于点B，若B恰为线段AF的中点，且ΔABO的内切圆半径为则该双曲线的离心率为.由题意知，点A在渐近线x上，点B在渐近线:A(n，n)，B(一m，m)，:B为线段AF的中点，且F(一c,0)，2a2a224,:ΔABO的内切圆半径为ba，化简得，b2=5a2，:离心率.两点，O是坐标原点．若ΔAOB的内切圆的周长为兀，则内切圆的圆心坐标为双曲线C的离心率为.【解答】解：由