专题二-递推公式求数列的通项

万二中第三章数列专题之——通项的求法PAGEPAGE1专题二数列的通项递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决（即构造等差、等比的辅助数列），因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。常见的求法有：公式法：由等差，等比定义，写出通项公式（一般求，再用通项或变形公式）累加法：型；累乘法：型；迭代法3、待定系数法：型；型（为常数，且）特别提醒：一阶递推,我们通常将其化为{bn}的等比数列（常考查）4、不动点法：与的递推公式中，不含。5、特征根的方法：（其中p，q均为常数）。6、对数变换法：7、换元法：对含an与Sn的题，利用消去，转换为的推公式，再用前面的方法特别提醒：对含an与Sn的题，在求和的问题时，也可以用这样的方法消去，得到关于的递推公式，同样采用上述求通项地方法求出8、周期数列：9、数学归纳法：（以后学）说明：①仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。②其中方法3、4、5、6、7都属于构造辅助数列：构造为等差（等比）数列，求出，然后就可以求出了。③重点掌握：公式法、累加（乘）法、型、型、型、周期数列求法。一、公式法：（略）要求：【熟练运用】二、类型1、累加法：【熟练运用】解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习1：已知数列满足，求数列的通项公式。练习2：已知数列满足，求数列的通项公式。类型2、累乘法：【熟练运用】解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，练习:已知，，求。解：。三、待定系数法：类型1（其中p，q均为常数，）。【熟练运用】解法：（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例3:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项类型2，【不重点掌握】解法：方法和类型1相似，把原递推公式转化为：，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习:已知数列满足，求数列的通项公式。类型3、（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）【不重点掌握】解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以练习:已知数列满足，求数列的通项公式。五、常考题型：型【熟练运用】解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：是等差数列，变式1:（2006，江西,理,22）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）练习：已知数列中=，。不动点法：由型变形【不需要掌握】仅作了解例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则x=1是函数的不动点。因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。五、特征根法：【不需要掌握】递推公式为（其中p，q均为常数）。解(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例9:数列：，,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是故练习1:已知数列中，,,，求。练习2:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；解：六、对数变换法：【不重点掌握】解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例10：已知数列｛｝中，，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。七、换元法：递推公式为与的关系式。(或)【熟练运用】解法：利用与消去或与消去进行求解。例11：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用待定系数法（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以特别提醒：若求，除了因，采用错位相减法求以外，还可以对消去，得到，变为再用前面的待定系数法（类型3）例12：（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，由n个式子相乘，得注