第五章 弯曲内力

基本要求1.明确平面弯曲的概念，理解将实际受弯构件简化为力学模型的过程。2.熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力图、弯矩图的方法。3.理解弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系、积分关系与突变关系，并掌握用这些关系检验或绘制梁的剪力图、弯矩图的方法。第五章弯曲内力§5.1平面弯曲的概念§5.2梁的内力——剪力和弯矩§5.4剪力、弯矩与载荷之间的关系§5.3剪力和弯矩方程剪力和弯矩图§5.5平面刚架和曲杆的内力目录§5.1平面弯曲的概念当杆受到垂直于杆轴线的外力(通常称为横向外力)或外力偶(外力偶的向量垂直于杆轴)作用时，杆件将主要发生弯曲变形。凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常均称为梁作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线，这种弯曲称为平面弯曲。也有的教材称为对称弯曲。梁变形后的曲线与外力在同一平面内(纵向对称面内)。纵向对称面对称轴§5.2梁的内力——剪力和弯矩梁的计算简图中，用梁的轴线代表实际的梁FF梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式1、固定端限制被支承的横截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。梁的支座分类2、固定铰支座限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。3、可动铰支座使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。1、集中载荷载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。2、分布载荷沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q表示单位长度上的载荷,称为载荷集度.如风力,水力,重力.3、集中力偶特例：均布载荷，线性分布载荷如水对坝的压力集中载荷分布载荷集中力偶梁的载荷分类几种基本形式的静定梁静定平衡梁的支反力数目与平衡方程式的数目相同则为静定梁.1、简支梁一端为固定铰支座一端为活动铰支座。2、外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁。3、悬臂梁一端固定支座一端自由。如果静定平衡梁的支反力数多于平衡方程数，则为静不定梁.取左半部分分析得：FS称为剪力抵抗剪切作用的内力,是与横截面相切的分布内力系的合力.得：M称为弯矩抵抗弯曲作用的矩,是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩符号规则1、剪力FS反之为负FS

FS-外力使梁向上压、下拉为正反之，若外力使梁向上拉、下压为负2、弯矩MMM+MM-材力中内力成对出现,符号相同.FS

FS+左上右下的错动依单元体有顺时针错动记：依单元体有顺时针错动为正记：外力使梁下拉为正直接通过外力来判断剪力弯矩的正负号－＋＋－外力F对指定截面形心顺时针错动为正，反之为负设想把欲求M的截面固定＋－＋－－＋外力使分离体下拉为正，反之为负例1

已知:F

、Me=Fl、l求：横截面E的剪力和弯矩。解：（1）计算支反力解得：可以之计算一处反力即可（2）计算截面E的剪力和弯矩解得：直接计算E截面的剪力弯矩看右侧看左侧aaa33224411BACD例2

求图示指定截面的剪力和弯矩。解：(1)求约束反力以AB为研究对象，由平衡方程易得(2)用直接法求约剪力和弯矩1－1截面2－2截面3－3截面4－4截面比较1、2截面的剪力可知，在集中力F作用处，其相邻两个截面的FS值发生突变，且突变值就等于该集中力的大小。比较3、4截面的弯矩可知，在集中力偶Me作用处，其相邻两个截面的M值发生突变，且突变值就等于该集中力偶矩的大小。aaaAaB22qAaaa11Baq(a)(b)例3

求图示指定截面的剪力和弯矩。解：两个图形的载荷形式完全一样，比较剪力弯矩的不同注意：有分布荷载的不能在取截面之前就把它转化为集中力。ABaa332211BACDq例4

求图示指定截面的剪力和弯矩。解：(1)求约束反力先以CD为研究对象，然后在以AC为研究对象，由平衡方程易得(2)用直接法求剪力和弯矩1－1截面2－2截面3－3截面§5.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图由前面的例题可以看出，在一般情况下，梁横截面的剪力弯矩是随着横截面的位置而变化的。若沿梁轴方向选取x坐标表示截面位置，则梁的各个截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即这两个函数的表达式，分别为梁的剪力和弯矩方程。为了能一目了然的看出梁的各个截面上剪力和弯矩随着截面位置而变化的情况，可以仿照轴力、扭矩图的作法，会出剪力和弯矩图。绘图时x为横坐标，表示各个截面的位置，FS或M为纵坐标，表示相应截面的剪力和弯矩值。其中M图向下为正。例5

已知:F

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：剪力方程和弯矩方程为：FS(x)为一常量由此可以绘出剪力图和弯矩图解：很容易求出支反力：例6

已知:q

、l求：梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图练习

已知:q

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图解：例7

已知:F

、l、a、b求：梁的剪力图和弯矩图。很容易求出支反力：AC段剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图CB段剪力方程和弯矩方程为：例7

已知:Me

、l求：梁的剪力图和弯矩图。解：很容易求出支反力：AC段剪力方程和弯矩方程为：由此可以绘出剪力图和弯矩图CB段剪力方程和弯矩方程为：集中力集中力偶C小结(1)F作用处FS图有突变，突变值为F(2)Me作用处FS图无变化(3)FS等于零处，M图有极值M图有尖角M图有突变，突变值等于Me|Mmax|所在截面可能是FS＝0；Me作用；处F作用处(4)结构对称载荷对称FS图反对称FS图对称载荷反对称M图对称M图反对称§5.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系略去高阶微量，得:利用（a）和（b），得:BABA例8

作图示梁的剪力弯矩图。FFlMeq＝0的情形：BABA例9

作图示梁的剪力弯矩图。q＝const的情形：qqqlqlCAqB例10

作图示梁的内力图。A点：C点：B点：BACaa2FFFa2Fa例11

作图示梁的剪力弯矩图。解：由整体法求出支反力FAFB例12

作图示梁的剪力弯矩图。解：由整体法求出支反力BACaaqFAFBlBACDE2m3m1mFAFB例13

作图示梁的剪力弯矩图。l102055解：由整体法求出支反力a201.2520解：容易求出支反力：求：梁的剪力图和弯矩图。例143.6m练习试利用荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系做下列各梁的剪力图和弯矩图。（a）15kN1m2m10kN.mABC(b)a3a2MeMeACB15kN1025kN.mMe/3aMe/34Me/32Me（c）（d）5F/165F/1611F/1611F/165Fa/165Fa/163Fa/8540545540kN.mkN2802602602803mAaaaFF11F/8BCDEaABCD2m2m10kN/m250kN250kN2m（e）qa2qa11qa/67qa/6a3aqaqBAC练习已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。20kN2kN/m18kN14kN18214kN23m3m6mkN.m4854练习试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图和荷载图。其中两条斜直线是相互平行的。20kN.m10kN.m10kN10kNkN10101010kN.m1m1m1mBDCA60kN80kN0.5m1m2.5mkN113.12533.12516.87576.875kNkN.m56.5683.9976.875练习试利用荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系做下列各梁的剪力图和弯矩图。§5.5平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架1.平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：FS、M、FN。2.内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。例14试作图示刚架的内力图。F1F2alABC–FN

图F2+FS图F1+F1F1aM图F1aF1a+F2l二、曲