第八章 应力应变状态分析

基本要求1.明确一点应力状态、主应力和主平面、单元体等基本概念，熟练掌握单元体的截取方法及其各微面上应力分量的计算方法。2.掌握用解析法和图解法计算平面应力状态下任意斜截面的应力、主应力和主平面的方位。3.掌握广义胡克定律及其应用。第八章应力状态分析§8.2平面应力状态分析§8.4应力和应变之间的关系§8.3三向应力状态的应力圆§8.5平面应力状态下由测点处的线应变求应力目录§8.6三向应力状态下的应变能密度§8-1一点处的应力状态及其分类§8-1一点处的应力状态及其分类为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点用如下方法截取单元体。引例：试分析图a所示受杻圆轴表面上a点处各个方向上的应力。da(a)a横截面上a点的切应力dxdyO2O1aadxdydzO2O1dxdydz周向面横截面径向截面单元体(b)

单元体每个截面的应力均匀分布，相互平行面上的应力，其大小和性质分别相同。图b所示单元体的右侧截面上的应力，为横截面上a点的切应力，由切应力互等定理画出其它三个截面上的切应力。图b所示单元体的平面图如图c，取其左下角为分离体(图d)，(c)(d)由得

由（3-5）式和（3-6）式，可以求出各个截面上的应力。构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的应力状态。由(3-5)式和(3-6)式，可得(e)x

单元体的最大正应力及最大切应力，如图e所示。由此可分析圆轴扭转破坏的原因。(f)低碳钢(f)铸铁

由于低碳钢的抗剪切能力较差，横截面上切应力最大，所以沿横截面断开。铸铁的抗拉能力低于抗剪能力，所以沿截面拉断。

通过应力状态分析确定最大正应力和最大切应力及其所在截面方位，由此可以分析发生强度破坏的原因。由（3-5）式和（3-6）式得：切应力等于零的平面——主平面；主平面上的正应力——主应力。纯切应力状，的斜截面均为主平面，均为主应力。

当单元体各个面上均有正应力和切应力时(图h)，弹性力学可以证明，单元体上有三个主应力，按其代数值排列为，三个主应力的方向互相垂直，即(图i)。(h)(i)(j)(e)x

圆轴受扭时a点的主应力为，主平面的方位如图j所示。

通过以上对纯剪切应力状态的分析，我们初步了解了一点处应力状态的概念及其分析方法，当单元体上应力比较复杂时，应力状态状态的分析方法和以上基本相同，希望认真掌握以上概念及分析方法。应力状态的分类（按主应力情况分类）1．有两个主应力等于零的应力状态称为单向应力状态。例如或2．有一个主应力等于零的应力状态称为二向（平面）应力状态。例如3．三个主应力均不等于零的应力状态称为三向（空间）应力状态。例如火车车轮与钢轨的接触点处。例如火车车轮与钢轨的接触点处。二向和三向应力状态也称为复杂应力状态。单向应力状态也称简单应力状态§8-2

平面应力状态分析一、解析法(a)x面y面(b)bacdef(c)fe

图a为从受力物体某点处取出的单元体，x面(外法线与x轴平行的截面)上作用有sx、tx；y面(外法线与y轴平行的截面)上作用有sy、ty

；前后两个面上的应力等于零。这种应力状态一般为平面应力状态。其平面图如图b所示。

求与z轴垂直的ef斜截面上的应力。ef截面的外法线为n，x与n的夹角为a，ef截面亦称a面。s以拉为＋，压力－；t以对单元体内任一点顺时针错动为＋，逆时针错动为－。图a中，。(d)

由x轴逆时针转到n时的为，反之为负。如图d。取部分单元体efb(图c)为分离体(c)feb(b)(a)注意到和的大小相等，其指向已画在图中，以代替，并利用三角公式，将(a)和(b)式简化为(8—1)(8—2)

当，已知时，可由（8-1）和（8-2）式求出，这种方法称为解析法。dc(a)c(b)c例8-1

图a中，d=100mm,F=500kN,Me=7kN.m,求C点处单元体上x面上的应力，并求和。解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示，其值为(c)围绕C点，用横截面、径向截面和周向截面，截取单元体如图c所示。图中，。

、的指向如图c所示。dc(a)二、应力圆(d)(c)(e)和对比，可知(e)式表示，以为横坐标，为纵坐标的圆的方程圆心为，半径为，如图所示。该圆称为应力圆或莫尔圆。单元体上各截面上的应力和应力圆上点的坐标一一对应。O应力圆的画法已知单元体上，，设，画应力圆。1．用比例尺(该处为文字题未画比例尺)量取，确定点；量取，确定点；2．连接和两点其连线交轴于C点；3．以C为圆心，（或）为半径画圆。(a)efOB1B2C只需证明，，即圆心坐标为，。即圆半径为。用上述方法画的圆即为应力圆。EOB1B2C利用应力圆求sa、ta。∵(8-1)和(8-2)式是为圆的参数方程，∴单元体和应力圆有如下对应关系。单元体截面上的应力和应力圆的点的坐标有一一对应关系。单元体两截面的夹角为a，应力圆上相应两点的圆心角为2a，且二者转向一致。简称为面、点对应，两倍角转向一致。EOB1B2C∵单元体上由x轴逆时转角到ef截面的法线n，∴在应力圆上由逆时针转角到，则点的横坐标为，纵坐标为。只需在应力圆上证明：即可证明以上作图方法正确。dc(a)例8-1

图a中，d=100mm,F=500kN,Me=7kN.m,求C点处单元体上x面上的应力，并求和。利用应力圆求解。(c)OCE

确定Dy点。连接Dx和Dy，其连线交σ轴与C点，以C为圆心，为半径画出应力圆(图b)。解：1.选取比例尺如图,由

确定Dx点；由2．在应力圆上由顺时针转到60°确定点，量取OCE

用比例尺量得的结果不够精确，可以大致按比例画出应力圆，再借助应力圆所示的几何关系，进行有关计算，这种方法称为图解解析法。由图b可得，三、主平面和主应力(a)OB1B2CA2A1(b)图a所示单元体的应力圆如图b所示，在应力圆中，A1

和A2

点位于轴上，其切应力等于零，正应力为主应力，即。

A1

和A2位于应力圆同一直径的两端，因而在单元体上这两个主应力是互相垂直的。由顺时针转到。在单元体上由x轴顺时针量取,确定所在主平面，所在主平面与所在主平面垂直（图a）。也可以由应力圆所示的几何关系，得出计算主应力和主平面的公式(8-3)(8-4)得(8-5)

（8-5）右端的负号放在分子上，是和为负值一致的，因为，，所以（8-5）右端的分子为负，分母为正。为第四象限角即为负锐角。在应用（8-5）式时，必须根据该式右端分子和分母的正、负号，来确定为第几象限角。例8-3

求C偏左横截面上a、b两点的主应力大小及主平面方位。Iz＝

88×106mm4。1.6m0.4mBAC27015159120解：1.C偏左横截面正应力和切应力分布规律如图b所示。a点处的应力为27015159120b点的应力为其中2．a点的单元体如图(e)所示，应力圆如图f所示，由应力圆，得(e)OC(f)主平面方位示于图e中。(从应圆上可看出为负角)。(g)O(h)3．b点的单元体如图g，应力圆如图h主平面方位示于图g。例8-4图a所示单元体已知，，求主应力的值及主平面方位。解：按选定的比例尺，确定两点，画主应力图如图b所示。C(b)由x轴逆时针转18.5°确定的方向。主平面如图a所示。(a)试用应力圆求该点的主应力及主平面方位。OC应力圆中D1到D2应该转240°§8-3

三向应力状态的应力圆abcd(a)abcd(b)A1A2A3CO(c)

图a中s1、s2

、s3均为已知。确定该主单体的最大正应力及最大切应力。

首先考察与s2垂直的任一斜截面abcd上的应力，其分离体如图b所示。∵s2所在的两个平面上的力是自相平衡力系，∴abcd斜截面的应力s和t与无关，仅由s1和s3确定。可用由和所确定的应力圆上点的坐标表示（图c）。(d)

同理，与垂直的任一斜截面的应力,可用和所确定的应力圆上点的坐标表示。与垂直的任一斜截面的应力，可用和所确定的应力圆上点的坐标表示(图c)。A1A2A3CO(c)

与三个主平面都相交的任一斜截面efg上的应力所确定的D点位于三个应力圆所包围的阴影线部分内。

综上所述：图a所示主单体上任一斜截面的应力，可由上述三个应力圆上和三个应力圆所包围的阴影线内的点的坐标表示。于是(8-7)(8-6)

的作用面与垂直，与成，与成。(图d)（8-6）和（8-7）式同样适用于平面和单向应力状态。例8-4求下列各单元体的最大切应力及其作用面方位。A2COC1

作用面位置如图。当用应力圆求时，不可由和所决定的应力圆求。因由该应力圆求出的是，该切应力是垂直于的斜截面上的最大切应力，不是单元体的最大切应力。求时必须由再画一个应力圆，由该圆得。例8-5求下列各单元体的最大切应力及其作用面方位。CO解：

作用面位置如图。

它们的作用面上均有正应力。单元体abcd形式上为平面应力状态实为单向应力状态。例8-5求主应力、主平面；最大切应力及其作用面。COA1A3解：这是特殊情况的三向应力状态,z面上切应力等于零，是已知的一个主应力。另外两个主应力由x面和y面上的应力决定的应力圆确定，并按主应力的代数值排定其顺序。

由x轴顺时针转确定所在的主平面，主平面与主平面垂直。作用面位置如图所示。§8-4

应力和应变之间的关系一、广义胡克定律首先复习单向应力状态和纯剪切应力状态时的胡克定律

在作用下，单元体沿x方向伸长，沿y和z方向均缩短，当时

在小变形时，不产生x和y方向的线应变，只产生。＋＝＋三向应力状态,小变形时，各向同性材料，可用叠加法求主应变。主应变(8—8a)用主应变表示主应力的形式为(8—8b)公式(8—8)称为广义胡克定律。二向应力状态a)主应力形式，设。(8—9a)(8—9b)b)非主应力形式＝＋(8—11a)(8—11b)不会产生

不会产生x、y方向的线应变(要产生其它方向的线应变)三向和两向应力状态的胡克定律，统称为广义胡克定律。

二向应力状态是工程中常见的应力状态。对用应力表示应变或用应变表示应力两种形式的胡克定律均应熟记。两向应力状态时，某一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，且还与垂直于该方向的正应力有关。即例如，当二、体应变单位体积的体积比改称为体应变原体积变形后的体积略把（8-8a）式代入上式表明：，与主应力比值有关。(8—10)(b)(a)(c)例：各单元体应力单位均为MPa，材料相同，比较其体积应变§8-5

平面应力状态下由测点处的线应变求应力一、主应力方向已知

当测点处的两个主应力方向已知时，用电测法测出两个主应变，然后用广义胡克定律求主应力。例8－6d=40mm,测得C点，求外扭矩Me。CC解：C点的扭转切应力为主应力方向与x轴成，其值为带入具体数据，得C点的单元体如图所示。例8-7

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

1

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，v=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1s2lpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程psmsmxD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）

1

2外表面yps1s1Dqdqz图cO二、主应力方向未知的平面应力状态图a为主应力方向未知的平面应力状态(c)(a)(b)OC(d)

但测定很困难。通常采用图b所示的两种应变花，第一种是测定，称为应变花；第二种是测定。现以应变花为例说明如何由线应变求切应力。由广义胡克定律，可知(a)由图d所示的应力圆，可知(b)(b)式代入（a）式，得解得同理(8-12b)(8-12a)求出后，可求出主应力。课堂练习1．已知σ、E、v，求。COCO(C)O2．已知σ、τ、E、v，求。CO(C)OCO(C)O§8-6