2024-2025学年北京市丰台区高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市丰台区高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．抛物线的焦点坐标是（）A． B． C． D．2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（

）A．4 B．2 C． D．4．高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．100名学生是个体B．样本容量是100C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．1000名学生是样本5．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，96．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（

）A． B． C． D．7．已知直线与直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知圆与圆的公切线条数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如图所示，正方体的棱长为1,分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积,则有最小值；③若四棱锥的体积，，则常函数；④若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题为（

）A．① B．② C．③ D．④10．已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是（

）A．曲线的图象不关于原点对称B．曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为二、填空题（本大题共6小题）11．若点，，则以为直径的圆C的方程是．12．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为．13．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为14．已知长方体中，，，则平面与平面所成的角的余弦值为.15．若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为．16．已知曲线的方程，给出下列个结论：①曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；②曲线关于轴、轴、坐标原点对称；③若点在曲线上，则，；④曲线围成的图形的面积是．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题）17．已知，，分别为的三个内角，，的对边，且.(1)求角；(2)若，的面积.18．为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：(1)求的值；(2)求这100户居民问卷评分的中位数；(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在内的概率．19．已知圆，直线过点.(1)求圆的圆心坐标及半径长；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.20．如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．(1)求证:⊥平面;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．21．在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的离心率为，直线：与椭圆C相交于A、B两点，且．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设平行于直线的直线l交椭圆C于E，F两点，且，求直线l的方程．(3)直线：与椭圆C相交于M、N两点，点P为椭圆C上不同于M、N的一动点，直线MP的斜率记作，直线NP的斜率记作，当与存在时，求证：与的乘积为定值．22．已知集合（）对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．(1)当时，设，，求，；(2)证明：，有，且；(3)证明：，，，三个数中至少有一个是偶数．

答案1．【正确答案】D【详解】得到，则焦点坐标为．故选：D.2．【正确答案】A【详解】根据题意，.故选：A.3．【正确答案】A【详解】椭圆方程可化为，故，长轴长为4.故选：A.4．【正确答案】B【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误．C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．B：样本的容量是100正确．故选:B．5．【正确答案】A【详解】党员人数一共有，学习党史时间为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，因为，所以第40百分位数是第16和17个数的平均数，把学习党史时间从小到大进行排序，根据所给数据可知第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是故选：A.6．【正确答案】D【详解】因为个数据的平均数为，方差为，所以（其中四个数分别为，）故，加入一个数据后，个数的平均数还是,则方差为，即这个数据的方差为.故选：D7．【正确答案】A【详解】若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.8．【正确答案】C【详解】圆的标准方程为，圆心，半径，圆的圆心为，半径，因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条.故选：C9．【正确答案】D【详解】解：对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，正确；对②，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以四边形的面积，因为为定值，所以当，分别为，的中点时有最小值，正确；对③，，因为为定值，，到平面的距离为定值，所以的体积为定值，即为常函数，正确对④，如图过作平面平面，分别交，，于，，，则多面体的体积为，而，，，所以，常数，错.所以错误命题的序号为④.故选:D．10．【正确答案】C【详解】对于A，将关于原点对称的点代入曲线的方程可得：，即，满足曲线方程，在曲线上，即曲线的图象关于原点对称，A错误；对于B，将代入曲线方程知：曲线经过坐标原点，，由A知：曲线的图象关于原点对称，曲线经过的整点关于原点对称，又曲线经过整点，曲线经过的整点个数必为奇数个，B错误；对于C，当时，由得：，曲线上的点到原点的距离（时也成立），曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过，C正确；对于D，由得：，必为与曲线的一个交点，有且仅有一个实根或无实根，，解得：或，即实数的取值范围为，D错误.故选：C.11．【正确答案】【详解】易知，所以圆C的半径为，圆心为的中点，坐标为；因此圆C的方程为.故12．【正确答案】【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为，，，故．13．【正确答案】【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，故和BN的夹角的余弦值为.故14．【正确答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，则平面与平面所成角的余弦值．故．15．【正确答案】【详解】由已知，设关于直线的对称点为，则解得，即，所以．故答案为.16．【正确答案】②④【详解】①根据题意，方程，即，表示四条线段，其图形如图所示，故①错误；②由图可知，曲线关于轴，轴，坐标原点对称，故②正确；③若点在曲线上，则，，故③错误；④曲线围成的面积，故④正确．综上所述，正确结论的序号是②④．填②④17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由已知根据余弦定理求解，然后根据特殊角的函数值求解即可；（2）结合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可.【详解】（1）由余弦定理，所以，又，所以.（2）因为，所以，因为，由已知得，故，故，所以.18．【正确答案】(1)0.02；(2)77.5分；(3).【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得.（2）由频率分布直方图，得数据落在的频率为，数据落在的频率为，因此中位数，有,解得，所以中位数为77.5分.（3）评分在对应的频率为0.1，0.2，从评分在和内的居民中共抽取6人，则评分在占2人，记为，评分在占4人，记为A,B,C,D，从6人中选取4人的样本空间，共15个样本点，这4户居民中恰有1户的评分在内的事件，其8个样本点，所以这4户居民中恰有1户的评分在内的概率.19．【正确答案】(1)圆的圆心坐标为，半径长为；(2)或；(3).【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为.（2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即.由圆心到直线的距离等于半径得，，解得，此时直线的方程为.综上，直线的方程为或.（3）∵圆的圆心坐标为，，∴.如图，由相切得，，，∴.20．【正确答案】(1)证明见解析(2);(3)存在,且点为线段的中点．【详解】（1）因为四边形为正方形,则,,因为,,,且两直线在平面内，∴⊥平面,∵平面,∴,因为,,,且两直线在平面内∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且两直线在平面内∴⊥平面.（2）因为⊥平面,,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,设平面的法向量为,则,,,由,取,可得,,所以,与平面所成角的正弦值为;（3）设点,设平面的法向量为,,,由,取,则,所以,点到平面的距离为,∵,∴．因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为．21．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设，则，得，所以，解得：，，，所以椭圆的标准方程为；（2）设直线，联立，得，设，，，得，其