2024-2025学年北京市朝阳区高二上册11月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市朝阳区高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题1．已知集合，，则集合可以是（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，4．已知，则（

）A． B． C． D．5．已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，，是不同的两条直线，且α，β，∥，那么下列命题正确的是（

）A．l与，都不相交 B．l与，都相交C．l恰与，中的一条相交 D．l至少与，中的一条相交7．设为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；

；；

．其中是“互垂点集”的集合为A．, B．, C．, D．,9．如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（

）A．三棱锥的体积大小不确定B．当时，C．直线平面D．直线与平面所成角的正弦值为10．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③.如图2，在长方体中中，，，则下列说法中错误的是（

）A． B．C． D．二、填空题11．在等差数列中，，，则数列的前4项的和为.12．已知非零向量，满足，则.13．在中，，，点在边上，，，则（1）；（2）的面积为.14．将函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，则.15．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中，下列结论：①三棱锥的体积最大值为；②三棱锥的外接球体积不变；③异面直线与所成角的最大值为；④与平面所成角的余弦值最小值为.所有正确的命题的序号是.三、解答题16．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求边及的面积.17．如图，三棱柱中，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点.18．图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了500张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别可以识别无法识别男女男180155女202755该程序对每张照片的识别都是独立的.(1)现从这500张人脸照片中随机抽取，①若抽取一张，求识别结果正确的概率；②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的概率；(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为50%）.现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（假设用频率估计概率，结论不要求证明）19．已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求曲线y=fx在点1,f1(2)求的单调区间；(3)设且，请判断与的大小，并证明.20．如图，在四面体中，平面，点为中点，且，，.(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求的值；若不存在，请说明理由.21．设为一个（即行列）的数表.对任意，记第行第列元素为且.若存在，，使得，则称有序数组为一个同角矩形数组.(1)直接分别写出下列两个数表中，同角矩形数组的个数；①：1111-11111②：1-11-1-11-111-11-1-11-11(2)若数表中没有同角矩形数组，求的最大值；(3)若，求出中同角矩形数组个数的最小值，并证明同角矩形数组的个数达到最小值时，的每行每列都恰有3个1和3个.答案：1．B【详解】对于A，，不符合，舍去，对于B，，符合要求，对于C,,不符合，舍去，对于D，，不符合，舍去，故选：B2．A【详解】，对应的点为，点位于第一象限，故选：A.3．D【详解】因为命题，，则其否定是，.故选：D4．C【详解】.故选：C5．B【详解】根据题意，函数与函数的图象关于轴对称．若在区间内单调递减，则在区间上递增，而，在区间上为增函数，则有，即的取值范围为故选：B．6．A【详解】，则，因为，则，同理故选：7．A【详解】，时一定有，充分性满足，但时有，但，必要性不满足，因此是充分不必要条件．故选：A8．D【详解】设，为上任意一点：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；：当时，需存在使得：，即，无意义，可知不是“互垂点集”，可排除选项；本题正确选项：9．D【详解】解：对于A项：因为为底面正方形内（含边界）的动点，所以点到平面的距离为1，所以，故A错误；对于B项：在矩形内，当时，显然与不垂直，故B错误；对于C项：在平面内，与相交，所以与平交，故C错误；对于D项：连接，因为平面，所以是在平面内的射影，所以为直线与平面所成角，所以在直角三角形中，，故D正确；故选：D10．B【详解】对于A，同时与，垂直，，且，，构成右手系，即成立，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同，则，与共线，且方向相同，因此，C正确；对于D，，，因此，D正确.故选：B11．【分析】由条件可得等差数列的公差，再由其前项和公式代入计算，即可得到结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，即，解得，所以.故12．0【详解】解：因为非零向量，满足，则，所以，则.故0.13．【详解】解：（1）因为在中，，，，所以，于是在中，由正弦定理可知，，所以；（2）.故；14．【详解】易知，向右平移个单位长度得到函数，可得.故15．①②④【详解】对于①，，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大值为，故①正确；对于②，设的中点为，则由知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以外接球体积为，即三棱锥的外接球体积不变，故②正确；对于③，若，由，，平面，平面，可得平面，因为平面，则，因，根据直角三角形斜边最长，知道不成立，故③错误；对于④，因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，到面的距离为，设与平面所成角为，此时，因为为锐角，所以，即与平面所成角的余弦值最小值为，故④正确．故①②④16．(1)(2)，【详解】（1），由，得，解之得，是三角形的内角，；（2）由，得，，，又,，,的面积为．17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：取的中点，连接，在三棱柱中，因为分别为的中点，则，且，为的中点，则，且，则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.（2）证明：分别取的中点，连接，设，则，且，则则四点共面，因为，又平面，平面则平面，又平面，平面，则平面，又，则平面平面，又平面，则平面，又平面平面，平面平面，则，又为的中点，则为的中点.18．(1)①；②；(2).【详解】（1）①若表示抽到男性，表示抽到女性，表示识别为男性，表示识别为女性，由题设，，所以，，又，，所以，，所以抽取一张，求识别结果正确的概率；②由，，所以，，所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为.（2）程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为，程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为，由频率估计概率得，，，所以.19．(1)(2)单调递减区间为和；单调递增区间为(3)，证明见解析【详解】（1）当时，，则，，，∴fx在点1,f1处的切线方程为（2）由题意知：的定义域为；，令，解得：，当时，f′x<0；当时，f′∴fx的单调递减区间为和；单调递增区间为.（3），证明如下：令，则定义域为，，令，则，则当时，ℎ′x<0；当x∈0,+在上单调递减，在0,+∞上单调递增，，，在，0,+∞上单调递增，且，或，恒成立，即，.20．(1)证明见详解(2)(3)存在，【详解】（1）因为，则，即，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，由平面，可得.（2）以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得,设平面的法向量为，则，令，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以平面和平面夹角的余弦值为.（3）设，则，设，则，得，即，可得，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，由题意，，整理可得，解得或（舍去），所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.21．(1)：5；：4(2)4(3)6；证明见解析【详解】（1）中含5个同角矩形数组，分别为；中含4个同角矩形数组，分别为.（2）①首先证明：若数表中没有同角矩形数组，则.下面用反证法证明.证明：假设，若是一个数表，由题意，对任意，记第行第列元素为且.则根据抽屉原理可知，第一行中的5个元素中必然至少有3个元素相同.不妨设前3列3个数都为1，若数表中没有同角矩形数组，则第2行到第5行，任何一行前3列至多1个1，否则某一行的两个“”必与第一行中的两个“”对应到一个同角矩形数组.即任何一行前3列只能是这3种情况之一.故由抽屉原理，第2行到第5行这4行中必然有两行的前3列元素相同，从而这两行中的“”对应到一个同角矩形数组，这与数表中没有同角矩形数组矛盾.故假设错误，.由上分析，在数表中总能找到同角矩形数组，当时，自然也都总能找到同角矩形数组，故.②给出下面一个数表，不含同角矩形数组.综上所述，若数表中没有同角矩形数组，则的最大值为4.（3）①给出下面一个数表，在数表中满足每行每列有3个“”和3个“”，它所含同角矩形数组的个数为6这6个同角矩形数组分别为.规律分析：观察上面的数表，不妨取第二行入手寻找数表中数字与同角矩形之间的规律.可以发现第二行的3个“”，分别在第列中，如果存在一个同角矩形数组，选定该数组的一边是位于第二行的“”，则该同角矩形数组相对的另一边中的“”必然是在第列中，而第列中共有9个“”，除去第二行的3个“”，剩下的6个“”只能分布在其他行中，由抽屉原理，必然有2个“”分在同一行中，它们与第二行的两个“”对应到一个同角矩形数组.将分析推广到一般，下面分析计算任意一行对应的同角矩形数组的个数.②证明任意数表的同角矩形数组的个数不小于6.证明：在数表中，设集合为第行中“”所在列号的集合，为第行中“”所在列号的集合，则.记集合中元素的个数为，集合中元素的个数为，.设第列中有个“”，个“”，则，.对6行中任取一行，设为第行（），由以上规律分析可知，第行中“”所对应的同