《计算方法ch》课件

《计算方法ch》课程概述本课程介绍数值计算方法。课程涵盖数值分析基本概念和常用算法，以及在科学计算、工程设计、数据处理等领域中的应用。第一章绪论本课程将带领大家走进计算方法的世界，探索数值分析的基础理论和重要应用。我们将学习如何利用计算机解决各种数学问题，包括方程求解、数值积分、微分方程求解等等。1.1计算方法的定义数值计算计算方法是指用数值方法解决数学问题，例如方程求解、积分计算等。近似解由于计算机只能处理有限精度的数据，因此计算方法通常得到的是问题的近似解，而不是精确解。算法计算方法的核心是算法，即一系列步骤，用于计算问题的近似解。误差分析误差分析是计算方法的重要组成部分，用于评估算法的精度和可靠性。1.2计算方法的发展历程古代文明早在古代，人类就积累了丰富的计算经验，如古巴比伦人利用六十进制进行天文计算，古埃及人使用象形文字进行测量和工程计算。文艺复兴时期随着文艺复兴的兴起，数学和科学得到了快速发展，这一时期诞生了牛顿、莱布尼茨等数学巨匠，为计算方法的发展奠定了基础。近代19世纪，随着工业革命的兴起，计算方法得到了广泛应用，并出现了许多新的计算方法，如有限差分法、微分方程数值解法等。现代20世纪，随着计算机的出现，计算方法得到了前所未有的发展，出现了许多新的计算方法，如蒙特卡罗方法、有限元方法等，并开始应用于各个领域。1.3计算方法的应用领域科学计算计算方法广泛用于物理、化学、工程等领域进行数值模拟，解决复杂科学问题。数据分析计算方法用于处理海量数据，进行统计分析、预测、建模，帮助人们更好地理解数据背后的规律。金融领域计算方法用于金融模型的构建、风险管理、投资组合优化，帮助金融机构做出更明智的决策。人工智能计算方法是人工智能领域的重要基础，用于训练机器学习模型，实现智能化应用。第二章数值逼近数值逼近是计算方法中一个重要分支，它研究如何用简单的函数去近似表示复杂的函数。数值逼近在科学计算、工程应用和数据分析等领域具有广泛应用。2.1函数逼近的概念和方法插值法通过有限个点构造一个函数，使它在这些点上与原函数的值相等。该函数可以是多项式、三角函数或其他函数形式。最小二乘法找到一个函数，使它在所有数据点上的误差平方和最小。常用于拟合曲线和数据分析。级数逼近法使用无穷级数来逼近函数，例如泰勒级数、傅里叶级数等。这是一种常用的函数逼近方法，可以得到高精度的逼近结果。2.2插值法11.定义插值法是在已知数据点的情况下，找到一个函数来近似地表示这些数据点之间的关系。22.应用插值法在许多领域都有应用，例如，数据拟合、数值积分、数值微分。33.分类插值法可以根据插值函数的不同而分为不同的种类，例如，多项式插值、样条插值。44.误差插值法产生的误差被称为插值误差，它反映了插值函数与真实函数之间的偏差。2.3最小二乘法定义最小二乘法是一种常用的函数拟合方法。它通过最小化误差平方和来找到最符合数据点的函数。该方法假设数据点存在一定的误差，并试图找到一个函数，使该函数与数据点之间的误差平方和最小。步骤定义目标函数，该函数可以是直线、曲线或其他形式。根据数据点计算误差平方和。通过求解误差平方和的最小值，得到最佳拟合函数。第三章方程求解本章探讨方程求解的数值方法，解决实际问题中难以直接求得解析解的问题。3.1方程的定义和性质方程定义方程是包含未知数的等式，表示未知数之间的一种关系。方程性质方程具有唯一性，即同一个方程只有一个解或解集，方程的解可以是实数、复数或其他数学对象。方程分类方程可以分为代数方程、超越方程、微分方程等，不同的方程具有不同的解法和性质。3.2迭代法1初始值选择一个初始值2迭代公式使用迭代公式计算下一个值3误差判断判断当前值与上一个值之间的误差是否满足要求4结束条件如果满足误差要求，则停止迭代，否则继续迭代迭代法是一种常用的数值解法，它通过不断重复计算来逼近方程的解。迭代法通常包含四个步骤：选择一个初始值，使用迭代公式计算下一个值，判断当前值与上一个值之间的误差是否满足要求，如果满足误差要求，则停止迭代，否则继续迭代。3.3牛顿-拉夫森法1迭代公式牛顿-拉夫森法是一种迭代法，利用函数的一阶导数来逼近根。2初始值需要一个初始值来启动迭代过程。初始值的选取对收敛速度和精度有影响。3收敛性该方法的收敛速度很快，但在某些情况下可能不收敛或收敛到错误的根。第四章数值积分数值积分，也被称为数值求积，是用来近似计算定积分的方法。在实际应用中，许多函数的积分无法用初等函数表示，需要用数值方法来近似计算。4.1积分的概念和性质积分的定义积分是微分的逆运算，表示函数曲线下的面积。定积分定积分表示函数曲线在两个特定点之间与坐标轴围成的面积。不定积分不定积分表示一个函数的所有原函数的集合，它表示函数的累积变化。4.2牛顿-科特斯公式插值公式牛顿-科特斯公式基于插值多项式，利用函数在等距节点上的值逼近积分。积分近似公式提供了不同阶数的近似公式，例如梯形公式、辛普森公式等，可根据精度要求选择合适的公式。误差估计公式的误差可以进行分析和估计，帮助理解公式的精度和适用范围。4.3高斯积分11.高斯求积公式高斯求积公式是一种数值积分方法，它使用在积分区间内选取的特定点来逼近积分值。这些点称为高斯点，并且它们的位置和权重由高斯-勒让德多项式确定。22.高斯点的选择高斯点的位置由高斯-勒让德多项式的根确定，这些根在积分区间内是等间距的。权重由高斯-勒让德多项式的系数确定。33.精度提高高斯积分公式的精度比其他数值积分方法（如梯形公式或辛普森公式）更高，特别适用于积分函数的导数在积分区间内存在奇异点的情况。44.适用范围广高斯积分公式可以用于各种积分问题，包括一维、二维和多维积分。它在许多工程和科学领域中得到了广泛应用，例如物理学、化学和金融学。第五章数值微分数值微分是利用函数在离散点上的值来近似计算导数的方法。它在实际应用中，可以用于解决许多无法直接求出解析解的微分方程问题。5.1导数的概念和性质导数定义导数是函数在某一点处变化率的度量，反映了函数值随自变量的变化而变化的快慢程度。导数的概念在微积分、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，它能够帮助我们理解和解决许多实际问题。导数性质常数函数的导数为0幂函数的导数，其指数减1和、差、积、商函数的导数法则链式法则，用于求复合函数的导数5.2有限差分公式11.前向差分使用函数在当前点和未来点的值来近似导数。22.后向差分使用函数在当前点和过去点的值来近似导数。33.中心差分使用函数在当前点前后点的值来近似导数，精度更高。5.3Richardson外插法提高精度Richardson外插法是通过利用低阶数值微分公式的结果来提高数值微分精度的方法。递推公式该方法采用递推公式，通过逐步逼近来获得更精确的数值微分结果。应用范围Richardson外插法广泛应用于科学计算、工程仿真等领域，以提升数值微分的准确性。第六章常微分方程数值解常微分方程是描述物理现象的常见数学模型，在工程、科学和金融领域中广泛应用。数值解法是解决常微分方程问题的重要手段，它可以提供近似解，帮助我们理解和分析复杂的系统。6.1微分方程的概念和性质函数关系描述变量之间变化关系，例如速度和时间的关系。导数微分方程体现了函数与其导数之间的关系，揭示了变量变化率之间的联系。初始条件为了得到唯一的解，需要定义初始条件，例如在初始时刻的变量值。解微分方程的解是满足方程的函数，通常需要通过数值方法来求解。6.2Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一种常用的数值解常微分方程的方法，可以计算出微分方程的数值解。1公式推导基于泰勒展开公式推导出Runge-Kutta公式，用于计算微分方程的数值解。2精度和稳定性Runge-Kutta法具有不同的精度和稳定性，可根据精度和稳定性要求选择不同的方法。3应用场景Runge-Kutta法应用于工程、物理、化学等各个领域，广泛用于解决常微分方程问题。Runge-Kutta法根据公式的不同可以分为不同的阶数，例如二阶Runge-Kutta法、四阶Runge-Kutta法等。6.3预测-校正法1预测根据先前数据预测值2校正利用预测值修正解3迭代重复预测校正过程预测-校正法是一种常用的常微分方程数值解法。通过不断迭代，逐步提高解的精度。第七章偏微分方程数值解偏微分方程是描述物理、工程和科学中许多重要现象的数学模型。数值方法提供了解决这些方程的近似解，特别是在分析解无法获得的情况下。7.1偏微分方程的概念和性质定义偏微分方程包含一个或多个未知函数及其偏导数，描述一个或多个变量之间的关系。性质偏微分方程的性质包括阶数、线性与非线性、齐次与非齐次、常系数与变系数等。应用偏微分方程广泛应用于物理、工程、生物、金融等领域，例如热传导、波动现象、流体力学等。7.2有限差分法基本原理将偏微分方程中的导数用差商近似代替。利用网格点上的函数值近似计算导数，将偏微分方程转化为代数方程组。主要步骤建立网格差分格式求解线性方程组7.3