专题34 最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（全国）

专题34最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿氏圆模型 1 12模型1.阿氏圆模型动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即），连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值。其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（

）A．长度的最大值是9 B．的最小值是C． D．面积的最大值是40例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为___．例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为．例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为．例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为．

例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．4．（2024·山东泰安·二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为．6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（

）A． B． C． D．7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为．8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为．9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，点D，E分别在半径AB，AC上，且BD＝CE＝2，点F是弧BC上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF的最小值为．10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的边长是4，的半径是2，点E是上一动点，连接，．则的最小值=．11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在中，，的半径为2，D是上一动点，点E在上，，连接，则的最小值12．（2024·四川·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为．13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是．14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为．15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是.

16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为．17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP∽△POA，所以，得所以．又因为，所以最小值为．【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+BP的最小值．【尝试应用】如图4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值．【能力提升】如图5，∠ABC=120°，BA=BC=8，点D为平面内一点且BD=3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为．19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．20．（23-24九年级