专题03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型解读与提分精练（全国）

专题03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“8”字模型 1模型2.“A”字模型 4模型3.三角板拼接模型 5 8模型1.“8”字模型“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌图1图21）8字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。2）8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，则，即2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．

例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．模型2.“A”字模型如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E证明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（

）A． B． C． D．例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则．例3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.模型3.三角板拼接模型由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则．

例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（

）A． B． C． D．例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有．（填序号）

例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，．(1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中，与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时，的度数为___________．（直接写出结果即可）1．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（

）．A． B． C． D．2．（2024·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（

）

A． B． C． D．3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．4．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（

）A．540° B．500° C．460° D．420°5．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（

）A．90° B．360° C．180° D．无法确定6．（2024·安徽·八年级校考期中）如图，若，则．

7．（2023·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知，．8．（2023·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若，则三角板有一条边与斜边平行．9．（2023·广东·八年级假期作业）如图，若，则．10．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=°．（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是．11．（2024·重庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿翻折，使点落在边上的点处，则的度数为度．12．（2024·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；(2)若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

13．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．14．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，与的角平分线交于点．(1)若，，求的度数；(2)直接写出，，的数量关系；(3)若与的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．

15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．

(1)在旋转过程中，当为度时，；当为度时，．(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．16．（2023·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（，）放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点和点，我们来研究与是否存在某种数量关系．(1)特例探究：若，则________度，________度．(2)类比探究：、、的关系是___________________．(3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，探究、、的关系(只要求直接写出结论)：____________________．17．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图中，△AOB的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．

(1)如图1，在“对顶三角形”与中，若，则；(2)如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．(3)如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，直接写出的度数（用含的式子表示）．18．（23-24七年级下·河南南阳·期末）在学习完三角形的内角、外角相关知识后，利用三角形的内角和同学们很容易证明三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系．于是，爱思考的小红在想，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？①尝试探究：如图1，与分别为的两个外角，试探究与之间存在怎样的数量关系？为什么？解：数量关系：．理由：∵与分别为的两个外角，∴．∴．∵三角形的内角和为，∴．∴．小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题．②初步应用：（1）如图2，在纸片中剪去，得到四边形，，则；（2）如图3，在中，分别平分外角，则与有何数量关系？；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如图4，在四边形中，分别平分外角，则与有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）。19．（2022春·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．(1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．(2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．20．（2023春·江苏·七年级专题练习）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2