专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）解读与提分精练（北师大版）

专题09圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。（2）定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。例1.（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（）A． B． C． D．例2．（2024·重庆兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（）A．5 B．6 C． D．例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为．例4.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是．例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是．

例6．（2024·江苏无锡·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．例7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是．例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．22．（2023·山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为．4．（2024四川成都·校考一模）在菱形中，，以A为圆心2半径作，交对角线于点E，点F为上一动点，连结，点G为中点，连结，取中点H，连结，则的最大值为．5．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为．6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，，，以点为圆心，长为半径作圆．点为上的动点，连结，作，垂足为，点在直线的上方，且满足，连结，点在上运动过程中，存在最大值为．7．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，点E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F，连接AF、DF，则的最小值是．8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为．9．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．10．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为．11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最大值为．12．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为，的最大值为．13．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为．

14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为．

15．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为；若点在上运动，当取最大值时，的长度是．16．（23-24福建福州九年级上学期月考数学试题）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是．

17．（23-24九年级上·天津·阶段练习）（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为；（2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为；（3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为．18．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，在平面内有一点，，过点作于点，且，连接为线段上一点，且，连接，则的最小值为．19．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转90°，得到点，称点为点的反转点．已知的半径为1．(1)如图，点，，点在上，点为点的反转点．①当点的坐标为时，在图中画出点；②当点在上运动时，求线段长的最大值；(2)已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差．20．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：延长至点，