专题02 全等三角形（3种经典基础练+6种提升练）解析版

专题02全等三角形（3种经典基础练+6种优选提升练）全等三角形（共14题）一．选择题（共6小题）1．（2023秋•公主岭市期末）如图，，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】由全等三角形的对应角相等即可得到答案．【解答】解：，．故选：．【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．2．（2023秋•东辽县期末）如图，，点与点，点与点是对应顶点．连接，若，，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可．【解答】解：，，，，，，，故选：．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．3．（2023秋•靖宇县期末）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的A．点 B．点 C．点 D．点【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．【解答】解：，点应是图中的点，如图，故选：．【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．4．（2024春•宽城区期末）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为A． B． C． D．【分析】根据全等三角形的对应边相等，可得，，求出，由此得解．【解答】解：，，，；；故选：．【点评】此题主要考查全等三角形的性质；解题的关键是正确的找出全等三角形的对应边．5．（2024春•二道区期末）如图，已知，，，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据全等三角形的性质得出，即可得出选项．【解答】解：，，，，．故选：．【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．6．（2023秋•洮北区期末）一个三角形的三边长分别为2，5，，另一个三角形的三边长分别为，2，6，若这两个三角形全等，则A．11 B．7 C．8 D．13【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．【解答】解：这两个三角形全等，两个三角形中都有2长度为2的是对应边，应是另一个三角形中的边6．同理可得．故选：．【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2024春•榆树市期末）如图，△，其中，，则的大小为25度．【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：△，，，，，，故答案为：25．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等”是解题的关键．8．（2023秋•东辽县期末）如图，△，点与点，点与点为对应顶点，交于点，若，，则55．【分析】根据全等三角形的性质及角的和差可得，，结合，可求得，即可获得答案．【解答】解：△，，，，，，．故答案为：55．【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．9．（2024春•长春期末）如图，四边形四边形，若，，，则105．【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．【解答】解：四边形四边形，，，，，，，，，故答案为：105．【点评】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键．10．（2023秋•浑江区期末）如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则的值为．【分析】利用全等三角形的判定定理证得△△，则其对应角相等：，则．【解答】解：如图，在△与△中，，△△，，则．故答案为：．【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．11．（2023秋•舒兰市期末）一个三角形的三边长分别为2，5，，另一个三角形的三边长分别为，2，6，若这两个三角形全等，则的值为11．【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．【解答】解：两个三角形全等，，，，故答案为：11．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．12．（2024春•德惠市期末）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得60．【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，可知道，做题时要找准对应角．【解答】解：左边的三角形中，所对的角为，两个全等三角形中，相等的边是对应边，两三角形中，长度为的边是对应边，它们对的角是对应角，故答案为：60．【点评】本题利用了全等三角形的性质、三角形内角和定理，找准对应边是做题的关键．三．解答题（共2小题）13．（2024春•长春期末）如图，，其中点、、、在一条直线上．（1）若，，求的大小；（2）若，，则的长为2．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到，结合图形得到，计算即可．【解答】解：（1），，，，；（2），，，即，，，，，故答案为：2．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．14．（2024春•长春期末）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在一条直线上．（1）求证：；（2）若，，求边的取值范围．【分析】（1）由全等三角形的性质可得，等号两边同时减去即可得到；（2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围．【解答】（1）证明：，，，；（2）解：，，，在中，，，即．【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．三角形全等的判定（共16题）一．选择题（共6小题）1．（2023秋•铁西区期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定△△A． B． C． D．【分析】欲使△△，已知，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．【解答】解：，为公共角，、如添加，利用即可证明△△；、如添，因为，不能证明△△，所以此选项不能作为添加的条件；、如添，等量关系可得，利用即可证明△△；、如添，利用即可证明△△．故选：．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．2．（2023秋•乾安县期末）已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为秒时．△和△全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【解答】解：因为，若，，根据证得△△，由题意得：，所以，因为，若，，根据证得△△，由题意得：，解得．所以，当的值为1或7秒时．△和△全等．故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，．3．（2023秋•榆树市期末）如图，点、、、在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是A． B． C． D．【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出判断的依据，然后即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：，，当添加条件时，，故选项不符合题意；当添加条件时，，故选项不符合题意；当添加条件时，，故选项不符合题意；当添加条件时，，故选项符合题意；故选：．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．4．（2023秋•浑江区期末）如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是A． B． C． D．【分析】添加，利用即可得到两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等，添加，利用即可得到两三角形全等．【解答】解：、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意；、添加，不能判定两三角形全等，符合题意；、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意；、添加，利用即可得到两三角形全等，不符合题意；故选：．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．5．（2023秋•龙山区期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是A． B． C． D．【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．【解答】解：，，，．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意；．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意；．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．6．（2024春•农安县期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点重合，两条直角边分别与边交于点，与边交于点．则四边形的面积是A． B． C． D．【分析】连接，，根据为正方形性质得，，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，然后根据可得出答案．【解答】解：连接，，如图所示：四边形为正方形，，，，，，，，在和中，，，，，正方形的边长为，，，，故选：．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质是解决问题的关键．二．填空题（共3小题）7．（2023秋•乾安县期末）如图，，，，垂足分别为，，添加一个条件，使，添加的条件是（答案不唯一）（写出一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是，判断两三角形全等的根据是，理由是：，，，，，，，在和中，，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．8．（2023秋•梨树县期末）如图，在中，，高，交于点．若，，则2．【分析】先由已知得到，即可证明，即可求得继而可得答案．【解答】解：，，，，，，，在和中，，，，，，，故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．9．（2024春•长春期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离36．【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得，，，，，，，，在和中，，；，，，即：两堵木墙之间的距离为．故答案为：36．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．三．解答题（共7小题）10．（2023秋•公主岭市期末）如图，，，．求证：．【分析】由，得到，由即可证明．【解答】证明：，，，在和中，，．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握等三角形的判定方法：．11．（2023秋•榆树市期末）已知：如图，点在上，点在上，和相交于点，，．求证：．【分析】由两角和夹边即可得出，由全等三角形的性质可到，进而可得出结论．【解答】证明：在和中，，，，，，．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，也是中考常见题型．12．（2023秋•宽城区期末）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，．（1）求证：△△．（2）若，求的度数．【分析】（1）由“”可证△△；（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．【解答】（1）证明：，，；在△和△中，，△△；（2）解：由（1）可知：△△，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．13．（2023秋•宁江区期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）根据可证明；（2）得出，，求出，则可求出．【解答】证明：，，，，，，，在与中，，；（2）解：，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．14．（2023秋•梅河口市期末）如图，中，，点，在边上，，点在的延长线上，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【分析】（1）根据等边对等角和等式的性质以及证明即可．（2）由，推出，进而利用等腰三角形的角解答．【解答】证明：（1），，，，即，在与中，，；（2），，，．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型．15．（2023秋•南关区期末）如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，，使，再定出的垂线，使，，在一条直线上，这时测得的的长就是的长，为什么？【分析】本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．【解答】解：，，，又直线与交于点，（对顶角相等），，，，即测得的长就是，两点间的距离．【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，做题时要注意寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．16．（2023秋•临江市期末）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．（1）判断：（用“”、“”、“”填空）；（2）探究：与之间的关系；（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案；（2）由条件可得出，可证得，可得结论；（3）根据题意画出图形，结合（1）可证得，可得结论．【解答】解：（1）设、交于，、是高，，，，，；故答案为：；（2）结论：，，证明：、是的高，，，，，，在和中，，，，，而，，即，；即，；（3）上述结论成立，理由如下：如图所示：、是的高，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，即，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．角的平分线的性质（共15题）一．选择题（共5小题）1．（2023秋•绿园区期末）如图，在中，平分，若，，则A． B． C． D．【分析】先根据角平分线性质得到点到和的距离相等，然后根据三角形面积公式得到．【解答】解：平分，点到和的距离相等，，故选：．【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线性质是解此题的关键，角平分线上的点到角两边的距离相等．2．（2023秋•二道区期末）将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据角平分线的判定定理得到是的平分线，计算即可．【解答】解：两把长方形直尺的宽度相同，点到射线、的距离相等，射线是的平分线，，，，故选：．【点评】本题考查的是角平分线的判定，熟记到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．3．（2023秋•浑江区期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则长是A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．【解答】解：过作于，是的角平分线，，，，的面积为10，的面积为，，，故选：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．4．（2023秋•梨树县期末）如图，在中，，平分，若，则点到的距离是A．8 B．9 C．10 D．11【分析】作于．根据角平分线的性质定理得出，代入求出即可．【解答】解：如图，作于．，平分交于点，（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），，，即点到的距离是10．故选：．【点评】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．5．（2023秋•通榆县期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于A．4 B．5 C．7 D．10【分析】过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．【解答】解：过作于点，是边上的高，平分，，，故选：．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．二．填空题（共7小题）6．（2023秋•舒兰市期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为14和22，则的长为11．【分析】过点作于点，根据三角形面积公式求出，根据角平分线的性质求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，过点作于点，在中，，的面积为14，则，即，解得：，平分，，，，的面积为22，，解得：，故答案为：11．【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．（2023秋•永吉县期末）如图，在中，，平分，交于，若，为上一动点，则的最小值为3．【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短解答即可．【解答】解：如图，过点作于，平分，，，，，由垂线段最短可知：的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．（2023秋•扶余市期末）如图，在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为．【分析】先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：在中，为的平分线，于，于，，，面积是，，，，解得．故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．9．（2023秋•乾安县期末）如图，在中，平分，．若，，则1．【分析】过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，平分，，，，，，故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2023秋•梨树县期末）在中，，平分交于，若，且，则到的距离为14．【分析】首先由线段的比求得，然后利用角平分线的性质可得到边的距离等于的长．【解答】解：如图，，，，作于，，平分，．（角平分线上的点到角的两边的距离相等），即：点到的距离为14，故答案为：14．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键．11．（2023秋•宁江区期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是．【分析】过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是．【解答】解：过作于，由题意得：，，平分，，，，，，、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，，的长度是．故答案为：．【点评】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明平分．12．（2023秋•临江市期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，恰好平分，．若，则6．【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，推出，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论．【解答】解：，，平分，，，，平分，，在与中，，，，，，，故答案为：6．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2023秋•大安市期末）已知△中，，，是△的角平分线，于点．（1）求的度数；（2）若，，，求．【分析】（1）是△的角平分线，则将分成两个度数相等的角；（2）是△的角平分线，则点到两边的距离相等．【解答】解：（1），，．是△的角平分线，．，，；（2）如图，过作于点，是△的角平分线，，，又，，．【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等、三角形内角和等于180度是解决此题的关键．14．（2023秋•双辽市期末）如图，是的角平分线，，，．求证：．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：是的角平分线，，又，，，又，，，在与中，，，．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质与判定方法是解题的关键．15．（2023秋•龙山区期末）已知：在中，平分，平分．（1）如图1，若，，求的度数．（2）如图2，连接，作，，，求的面积．【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形内角和计算的度数；（2）作于，于，如图2，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算的面积．【解答】解：（1）平分，，平分，，；（2）作于，于，如图2，平分，，，，平分，，，，的面积．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．倍长中线模型1．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为．【答案】【分析】延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：如图，延长到，使，连接，是的中点，，在与中，，，，，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．2．（22-23八年级上·吉林长春·期末）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是．【答案】/【分析】如图，过作交的延长线于证明可得再利用三角形的三边关系可得答案.【详解】解：如图，过作交的延长线于AD是BC边上的中线，∴，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形中线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，作出适当的辅助线构建三角形全等是解题的关键．3．（23-24八年级上·吉林·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．【探究发现】（1）如图①，与的数量关系是，位置关系是；【初步应用】（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；【探究提升】（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．

【答案】（1），，（2）；（3），，理由见解析【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．【详解】解：（1）是的中线，，在和中，，，，，，（2）如图2，延长到，使，连接，由（1）可知，，，在中，，，即，，即边上的中线的取值范围为；（3），，理由如下：如图3，延长到，使得，连接，

由（1）可知，，，，，由（2）可知，，，、，，，，在和中，，，，，，，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．一线三等角模型1．（22-23八年级上·吉林白城·期末）在中，，过点C作直线于点M，于点N．(1)若在外（如图1），求证：；(2)若与线段相交（如图2），且，则＝．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论；（2）类似于（1）可证，得，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（2）解：∵于M，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．2．（22-23八年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；应用解：∵，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（22-23八年级上·吉林松原·期末）如图①，，垂足分别为D、E．

(1)求证：；(2)在图①中的边上取一点F，使，连接交于点G，连接（如图②）．①求证：；②若，请直接写出的面积．【答案】(1)证明过程见解析(2)①证明过程见解析；②【分析】（1）根据“”证明，即可得出结论；（2）①由，可得，再根据“”证明即可；②由可得，，从而可得，由可得，，从而可得，再利用三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）①证明：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴；②解：∵，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．4．（20-21八年级上·吉林长春·期中）是经过顶点的一条直线，．、分别是直线上两点，点在点的左侧，且．（1）直线经过的内部，、两点在射线上．①如图1，若，，则______（填“”、“”或“”）；、、三条线段之间的数量关系是：______．②如图2，若，，①中的两个结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出、、三条线段之间的数量关系．【答案】（1）①；；②当时，①中的两个结论仍然成立，理由见解析；（2）．【分析】（1）①根据题意易证△BEC≌△CFA，进而问题可得解；②由题意易得，进而可证，然后根据全等三角形的性质可求解；（2）由题意易证△BEC≌△CFA，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】（1）①∵，，∴，∴∠BCE+∠FCA=90°，∠BCE+∠EBC=90°，∴∠FCA=∠EBC，∵，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴BE=CF，AF=CE，∵CF=CE+EF，∴；故答案为，；②当时，①中的两个结论仍然成立．，即，又，，，，，，，，．（2），理由如下：∵，∴∠ACF=180°-∠ACB-∠BCE，∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC，∴∠ACF=∠CBE，∵CB=CA，，∴EC=AF，CF=BE，∵EF=EC+CF，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．5．（21-22八年级上·吉林长春·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．【感知】（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为．【探究】（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．【答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；（3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；【详解】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴DE=AD+BE．（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．∴∠CAD＝∠BCE．∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB．∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE－CD＝AD－BE；（3）DE=BE-AD，理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．【点睛】本题考查了邻补角的意义，同角的余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．6．（23-24八年级上·吉林白山·期末）在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）．(1)如图，当点，在直线的同侧时，求证；(2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（1）中结论不成立，结论应该是，理由见解析【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．（1）证明，得，，根据线段的和差即可解决问题；（2）根据题意画出图形，同（1）的方法证明，得，，根据线段的和差即可解决问题．【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，，，，；（2）（1）中结论不成立，结论应该是，理由如下：如图所示，当点，在直线的异侧时，，，，，，在和中，，，，，，婆罗摩笈多结构（共3题）1．（21-22八年级上·吉林长春·期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD；（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝；（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系：．【答案】（1）见解析；（2）5；（3）AB+AD=AE．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠BCD=∠ACE，利用SAS定理证明△BCD≌△ACE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△BCD≌△ACE，得到AE=BD，结合图形计算，得到答案；（3）仿照（2）的方法解答即可．【详解】解：（1）证明：如图①，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD；（2）解：如图②，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠BCD+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，∴AD=AB+BD=AB+AE=5，故答案为：5；（3）同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，∴AB+AD=BD=AE，故答案为：AB+AD=AE．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．2．（21-22八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．(1)【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，进而得出∠BDE的大小为度．(2)【探究】如图②，若∠C＝β．①求证：△BCN≌△ACM．②∠BDE的大小为度（用含β的代数式表示）．(3)【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，DE＝DF，则△DEF的面积为．【答案】(1)150°(2)①见解析；②180°-β(3)1【分析】（1）延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC=∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；（2）①同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；②延长ED交BC于点F，方法同①证出∠ACB=∠BDF=β，则可得出答案；（3）证明∠E=90°，求出DF=2，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】（1）证明：如图，延长ED交BC于点F，交AC于点O，∵CB=CA，∴∠ABM=∠BAN，∵CA=CB，BM=AN，∴CM=CN，∵∠C=∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，∵E是AD的垂直平分线上的点，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠EMF，∠EDA=∠EFM，∴∠BNC=∠BFE，∴∠NOD+∠BDF=∠C+∠FOC，∵∠C=30°，∠FOC=∠NOD，∴∠NDO=30°，∴∠BDE=150°，故答案为：150°；（2）①证明：∵CA=CB，BM=AN，∴CA-AN=CB-BM，∴MC=NC，在△BCN和△ACM中，，∴△BCN≌△ACM（SAS）；②如图，延长ED交BC于点F，同理得△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，同理得：∠BNC=∠AMC=∠BFE，∴∠BNC+∠NBC=∠NBC+∠BFE，∴∠ACB=∠BDF=β，∴∠BDE=180°-β．故答案为：180°-β；（3）∵∠C=120°，CA=CB，∴∠BAC=30°，∵AM平分∠BAC，∴∠MAC=∠BAC=15°，∵AP∥BC，∴∠C=∠CAD=120°，∴∠EAD=180°-∠MAC-∠CAD=45°，由（2）可知，∠BDE=180°-120°=60°，∠CBN=∠CAM=∠ADB=15°，∴∠ADE=45°，∴∠E=90°，∵DE=DF，DE=1，∴DF=2，∴△DEF的面积为DE•EF=×1×2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．3．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G．(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由．(3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长．【答案】(1)相等，见解析(2)能，相等，见解析(3)18【分析】（1）根据一线三等角模型，利用证明，，推出，推出，即可得出；（2）利用证明，即可得出；（3）利用全等三角形相等，可得，，由此可解．【详解】（1）解：，证明如下：是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，同理，则，；（2）解：，理由如下：，，，在和中，，，；（3）在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长，，，，，，在和中，，，∴，∵，∴∴，是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，又∵∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．手拉手旋转模型（共2题）1．（2020秋•农安县期末）（1）问题发现如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．填空：①的度数为；②线段，之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）易证，即可求证，根据全等三角形对应边相等可求得，根据全等三角形对应角相等即可求得的大小；（2）易证，可得，进而可以求得，即可求得，即可解题．【解答】解：（1），，，在和中，，，，，；（2），，理由：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，．在和中，，，，．为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，．，．，，．，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．2．（2020秋•德惠市期末）如图，是等边三角形，．动点，分别从点、同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示的长．（2）求的周长（用含的代数式表示）．（3）求的长（用含的代数式表示）．（4）当的边与垂直时，直接写出的值．【分析】（1）分两种情况讨论，点在线段上，点在射线上；（2）先证明是等边三角形，然后求出即可；（3）根据手拉手全等模型，证明即可；（4）分两种情况，，；【解答】解：（1）由题意得：，，是等边三角形，，分两种情况：当点在线段上，，当点在射线上；，的长为或；（2）是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，的周长；（3）是等边三角形，是等边三角形，，，，，，，，，；（4）分两种情况：当时，如图：，，，，，当时，如图：是等边三角形，，，，，，，，的值为或．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．角平分线+垂直构造全等模型（共4题）1．（2020秋•南关区校级期末）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为．【分析】延长交于点，则由条件可知，，则阴影部分面积为的一半，可得出答案．【解答】解：延长交于，垂直的平分线于，，又知，，，，，和等底同高，，，，故答案为：8．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的定义及三角形的面积，由条件得出阴影部分面积为的一半是解题的关键．2．（2021秋•铁西区期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．【分析】根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：平分，．在和中，，．．，，，，，．．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．3．（2021秋•吉林期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，且，直接写出的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质解答即可；（3）根据线段之间的关系解答即可．【解答】（1）证明：，为的中点，，，；（2）证明：，为的中点，，，，，，；（3）解：，，，，，．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的性质解答．4．（2022秋•松原期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．（1），度；（2）当四边形为轴对称图形时，求的长；（3）若是等腰三角形，求的度数；（4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．【分析】（1）根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数．（2）根据轴对称图形的性质即可解答．（3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解．（4）过点作，作点关于的对称点，根据题意可得，，，根据可证明△，则，，因此，以此得出当点、、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．【解答】解：（1），，，，点是边的中点，，平分，；故答案为：4，45．（2）四边形为轴对称图形，平分，对称轴为直线，；（3）平分，，当时，，