沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第2讲 整式的加减运算(解析版)

(m整式的加减运算

电内容分析

本节课主要对同类项的概念和整式加减运算进行讲解，掌握去括号，添括号

的法则，重点是能判断同类项，且能熟练的合并同类项，能准确的进行去括号,

添括号，难点是能根据题目的要求，正确熟练地进行整式的加减运算.

«知识结构

模块一：合并同类项

知识精讲

1、同类项的概念

所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.

2、合并同类项及其法则

(1)把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.一个多项式合并后含有几项，

这个多项式就叫做几项式.

(2)合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的

指数不变.

例题解析

【例1】下列各组中，两个代数式是同类项的为（）.

A.-mn与mnpB-2x2yz与3yx2z

C.33a3方2与3363aD—52与/

【答案】B

【解析】同类项的定义：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项,

与系数与字母系数无关，故选择B.

【总结】本题考查了同类项的定义.

【例2】下列说法中，错误的是（）.

A.字母相同，次数也相同的项是同类项

B.若°=8，则gxj，和-；》与"是同类项

C.fx'z和5/yz是同类项

+Iv+2

D.W'n与，献不一定是同类项

【答案】A

【解析】同类项的定义：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项,

选项A偷换概念，故选择A.

【总结】本题考查了同类项的概念.

【例3】若单项式与-2/）户的和为0,求,〃+〃的值.

【答案】5.

【解析】由题意可知两个单项式可以相加，故为同类项，则：

〃?=2,〃=3,故加+"=5.

【总结】本题考查了同类项和合并同类项的概念.

【例4】若3x?-2x+b+（-x-6x+l）中不存在含x的项，则。=

【答案】一3.

【解析】去括号，得：3x^-2x+b-x-bx+\,

合并同类项，得：3/-(3+8)x+S+l),

•.•不存在含x的项，3+b=0.

解得：b=—3.

【总结】本题考查了项的概念及存在条件.

【例5】把3(4-6)2-2(0-/+7，-〃)2-(4-6)2按(0-6)2合并同类项，得().

A.-la2+lb2B.-\la2+\lb2C.-l(a-b)2D.l(a-b)2

【答案】D

【解析】原式可转化为：3(«-b)2-2(«-b)2+l(a-b)2-(a-b)2

=(3-2+7-l)((z-Z>)2

=l(a—b)2.

【总结】本题考查了合并同类项的法则.

【例6】如果a<0,ab<0,那么卜一4+1+”一〃一3的值等于.

【答案】一2.

【解析】由a<0,ab<0,得：b>0

原式=。-。+1+〃-6-3=-2.

【总结】本题考查了绝对值的化简和合并同类项.

【例7】己知3£+1"-2与是同类项，求2〃%+3/6的值.

52

【答案】9.

【解析】由己知得：?+'=2,解得：”二L

仍-2=0[b=2

原式二(3+2-工)〃％=—a2b.

22

当a=T,6=2时，原式=2x(-x2=9.

2

祥季级年七I

【总结】本题考查了同类项及合并同类项的概念.

【例8】合并同类项.

(1)x3-8xy-6y24-7xy+3y2-x3；

(2)—a2-6a3+5tz--+5a3--~-a2；

3423

(3)^^--^y^--3(x+y)2-|(x-y)+|(x+j)+5(x+y)2；

(4)5a"-2an-8a"^'+6an-an+'(〃为正整数).

23

【答案】(1)—孙—3y\(2)—Y—ci2+5ci—；

34

(3)2(x+y>+x+y；(4)-9an+i+9an.

【解析】(1)原式二(1-1)丁+(-8+7»y+(-6+3)y2

=-xy-3y2；

(2)原式:(-6+5)d+(———)%2+5ci+(————)

」22.3

=-r——x+5〃——；

34

1312

(3)原式=(-3+5)(%+»+(/+耳)(工+y)+(_§_§)(%-y)

=2(x+»+x+y；

(4)原式=(一8—1)优+|+(5—2+6)。"=—9优+1+9M.

【总结】本题考查了合并同类项.

32233

【例9】说明多项式x^y一;Yy+)心一2/,3+0.5xy+y+^y-2y一3的值与字母x无

关.

【答案】略.

［解析］原式=(1一2+l)%y+(--+0.5)x2y+(1+1)/-2/-3=2y2-2/-3,

；计算结果不含字母x,多项式的值与字母x无关.

【总结】本题考查了合并同类项.

4/24

【例10】在多项式2006a"T/'+2007x"'y"T+2oo8（73»2"-2009x"+iy3（其中W、〃为正整数）

中，恰有两项为同类项，求根+〃的值.

【答案】9.

【解析】•.•，〃、“为正整数，.•.2006aW与2008(产'户不是同类项.

，20073“：/1与-2009/+、3是同类项，Jw=/?+1,解得：J/n=5

[n-1=3[n=4

【总结】本题考查了同类项的概念.

【例11】任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数字和个位数字交换位置，得到

另一个三位数，求证：这两个三位数的差总能被99整除.

【答案】略.

【解析】设一个三位数的百位数字是。，十位数字是6,个位数字是c,

则这个三位数是：100"+1%+。；

百位数字和个位数字交换位置后的数字是：100c+lM+a；

作差得：(100«+10^+c)-(100(,+10ft+a)=100o+10Z?+c-100c-10fe-tz

-(100-l)a+(10-10)fe+(l-100)c=99a-99c=99(«-c).

这两个三位数的差总能被99整除.

【总结】本题考查了合并同类项以及数的整除的概念.

模块二：整式的加减

知识精讲

1、去添括号法则

括号前面是“+”号，去(添)掉"+”号和括号，括号里的各项符号不变；

括号前面是“「号，去(添)掉号和括号，括号里的各项变成相反符号.

2、整式的加减运算步骤

(1)去括号：(2)合并同类项.

例题解析

瞥季级年七J

【例12】下列各式中，去括号正确的是（).

A.x"—(2y—x+z)=—2y—x+z

B.3a-[6a-(4a-1)]=3a-6a-4a+1

C.2a+(-6x+4y-2)=2a-6x+4y-2

D.~(2x2-y)+(z-l)=-2x2-y-z-i

【答案】C

【解析】A选项x、z未变号；B选项4a、1符号错误；D选项y、1未变号;

故选择C.

【总结】本题考查了去括号和添括号法则.

【例13】下列说法中，正确的是（）.

A.单项式与单项式的和或差是单项式

B.单项式与多项式的和或差是多项式

C.多项式与多项式的和或差是多项式

D.多项式与多项式的和或差是整式.

【答案】D

【解析】A反例：x+y：B反例：（x+y）-y；C反例：（x+y）+（x-y）；只有D选项正

确，选择D.

【总结】本题考查了整式的加减法法则.

【例14](孙z]-4孙一1)+(-3孙+z2yx-3)-2(孙z2+孙)的值().

A.与x、y、z的大小无关

B.与x、y的大小有关，与z的大小无关

C.与x大小有关而与y、z大小无关

D.与x、y、z大小都有关

【答案】B

［解析】原式=xyz2-4xy-1-3xy+xyz2-3-2xyz2-2xy

=(1+1-2)孙z?+(-4-3-2)9+(-1-3)=-9盯一4.

故多项式的值与x、y的大小有关，与z的大小无关，选择B.

【总结】本题考查了去括号和合并同类项.

【例15］若A=/-5x+2,B=X2-5X-6,则A与5的大小关系是().

A.A>BB.A=BC.A<BD.无法确定

【答案】A

【解析】A—B=(x2—5x+2)—(x2—5x—6)—x2—5x+2—x~+5x+6

=(1-1)X2+(-5+5)X+(2+6)=8,故4>8.

【总结】本题考查了整式的减法以及作差法比较大小.

【例16】用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌成一个大正方形图案(小正方形位于大

正方形中间)，已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x、y表示小矩形

的两边长(x>y),请问，下列关系中不正确的是().

A.x+y=7B.x-y=2C.4孙+4=49D.x2+y2=25

【答案】

【解析】

【总结】本题考查了图形题目的理解与分析.

【例17】如果x、y互为相反数，公人互为负倒数，同=3,

则g“2(")3—(x+y)2_g〃2(必)3的值是

【答案】9.

【解析】：x、＞互为相反数.。+尸0

匕互为负倒数/.ab=-l

V\n\=3:.n=±3"=9

i4?

原式=(---)M2(abf--n2(x+y)2

=-lx9x(-l)-0

=9

【总结】本题考查了相反数、负倒数的概念以及整式的加减法.

【例18】先化简，再求值：(3〃一必+7)-(5B一4〃+7),其中a=2,b.

【答案】24.

【解析】原式=3。2-"+7-5"+4/-7=(3+4)。2+(-1-5)他+(7-7)=74-6"，

当a=2,6=1时，原式=7X4-6X2X」=28-4=24.

33

【总结】本题考查了整式的加减法.

【例19】已知A=3/-2a+5,B=8a2-6a-8,A+B+C=\,求C的值.

【答案】—1+8a+4.

【解析】由己知，得：(3/-2a+5)+(8a2-6a-8)+C=l,

贝ijC=1-(3/-2“+5)-(8/-6a-8)=l-3a2+2«-5-8a2+6a+8

=(-3-8)/+(2+6)a+(1-5+8)=-11/+8a+4.

【总结】本题考查了整式的加减法的运用.

【例20】国庆长假里2名教师带10名学生外出旅游.教师旅游费每人x元，学生每人y元,

因为团体予以优惠，教师按8折优惠，学生按6.5折优惠，求共需要旅游费多少元，并

计算当x=30,y=20时的旅游费用.

【答案】(1)(1.6%+6.5y)元；(2)178元.

【解析】0.8x2x+0.65xl0y=(1.6x+6.5y)元，

当x=3O,y=20时，原式=1.6x30+6.5x20=178元.

答：共需要旅游费(1.6x+6.5y)兀，当x=30,y=20时旅游费用是178兀.

【总结】本题考查了整式的加减法及代值求解问题.

【例21]已知〃、?x、y满足：(1)|(x-5『+力同=0；(2)—2a方川与3/3是同类项.求

代数式0.375dy+5加2》-｛一上Yy+[---3.475A/]-6.275xy2｝的值.

84

瞥季级年七J

【答案】300.

【解析】由(1)得；x=5,加=0：

由(2)得：y+l=3即y=2；

131

原式=0.375dy+5加2工_〔—一/y一一一3.475孙之-6.275xy2]

84

=0.375fy+5疗工+113工2)，+*1盯2+3.475-2+6.275孙？

131

=(0.375+y)x2y+(3.475+6.275+-)xy2+5/n2x

=2x2y+10xy2+5加工

当x=5,6=0,y=2时，

原式=2x25x2+10x5x4+0=300.

【总结】本题考查了零零式、同类项的定义及整式的加减法，有多重括号先去小括号，再去

中括号，最后去大括号.

【例22]若"咎刃=0,那么“―{1—[。―(1—4)]+1}的值是多少？

【答案】-6.

【解析】由已知得：a=-]fb=—\.

原式二a-[\-(h-\+a)+\]

二々一口一方+]—(7+1]

=a-1+Z?-1+a-1

=2a-^b-3

当。二一1,6=一1时，原式=_2—1-3=-6.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【例23】观察下列等式：2驾.=*73+537+593+539+5

，….请你用两

53+335+373+23-7+293+43-9+4

个字母表示这个规律.

("?+〃)3+m3(m+〃)+〃?

【答案】

[in+“)3+/J，(m+〃)+〃

[解析]观察得：("?+"):+〃?::(机+〃)+机

(团+n)+n(m+〃)+〃

(tn+〃)34-T7?[(tn+〃)+rn][(m+n)2—(ni+n)m+m2]

(加+/I)，+/[(/M4-H)+n][(m+n)2-(m+n)n+n2]

_[(m+〃)+m][(m+n)2-mn\

[(m+n)+n][(m+ri)1-mn\

_(m+〃)+tn

(m+ri)+n

【总结】本题综合性较强，考查了立方和公式：/+63=5+力52一"+/）的运用.

师生总结

1、整式加减法的运算步骤?

2、整式的加减法与合并同类项之间的关系?

随堂检测

【习题1】已知-2h，3和gx"严"是同类项，则（〃-“广甘=

【答案】一1.

瞥季级年七J

，解得:

m+n=3

【总结】本题考查了同类项的概念.

【习题2】下列合并同类项错误的个数是().

①5X6+8X6=13X12；②3a+2b=5ab；®8y2-3/=5；@6a"b2"-6a2"b"=0

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①合并同类项不改变字母的指数；②3a和%不是同类项，不能合并;

③结果应为5y2：②6优户'和6/"〃'不是同类项，不能合并；

全部错误，故选D.

【总结】本题考查了合并同类项.

【习题3】已知a=2,b=3,则().

A.ax'y1和hmin2是同类项B.3x"y3和反3y3是同类项

C.加。My4和办5yM是同类项D.5m2350和6户加。是同类项

【答案】C

【解析】A选项字母不同；B选项x的指数不同；D选项小〃的指数都不相同；

只有C选项满足同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，故选C.

【总结】本题考查了同类项的概念.

【习题4】已知多项式3/_8/丫+4个2—2V减去一个多项式所得的差是4尤3一3>3,求这个

多项式.

【答案】-x3-8x2y+4xy2+y3.

［解析］(3丁-8x2y+4xy2-2/)-(Ax3-3/)=3x3-8/y+4xy2-2y3-4/+3/

=(3-4*-8X2>'+4AY2+(-2+3)y3=-x3-8x2y+4xy2+y3.

【总结】本题考查了多项式的减法.

【习题5】化简求值：(3/-2个一5yB-(3f+2盯一4y2),其中x=3,y=-2.

【答案】2.

【解析】原式=3》2-2号一5y2-3了2-2孙+4>2

=(3-3)x2+(-2-2)xy+(-5+4)/

=-4xy-y2.

当彳=—,y=-2时；原式=-4X—X(-2)-(-2)2=2.

44

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题6】若A是三次多项式，B也是三次多项式，则34+28一定是().

A.三次多项式B.六次多项式

C.次数低于3的多项式D.次数不高于3的整式

【答案】D

【解析】①若3A和28的三次项互为相反数，则和的次数低于3：②若3A和28的三次项

不是互为相反数，则和的次数等于3；故选择D.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题7】如果代数式2V+3X+7的值是8,则代数式4/+6X—9的值是().

A.2B.-17C.-7D.7

【答案】C

【解析】由2f+3x+7=8,得：2/+3x=l,

则4f+6%-9=2(2/+3》)-9=-7.

【总结】本题考查了整体代入法.

【习题8］当x>0,y<0且凶<3时，则|2x-3y|-|3x+3y|=().

A.5xB.-5x6yD.-6y

祥季级年七I

【答案】A

【解析】vx>0,y<02x-3y>0

•山<|>|/.|3x|<|3y|/.3x+3y<0

「.原式=(2x—3y)—(—3x—3y)

=2x-3y+3x+3y

=5x

【总结】本题考查了绝对值的化简和合并同类项.

【习题9】已知2〃产与」"2一外户的和是单项式，则().

2

fx=l(x=2[x=0fx=3

A.4B.\C.\《

[y=21y=-2[y=0[y=l

【答案】B

【解析】由已知得：2加“"和」"2一4,心是同类项，解得：(x=2.

2[y+6=2x[y=_2

【总结】本题考查了同类项的概念.

【习题10]现对“a拉/'运算作如下定义：""劭=。+»"，例如：x23y3=x2+2y},^Cxy+

dy)5(dy-孙)的运算结果是().

A.3x?y+xyB.3x2y-3xyC.3x2y+3xyD.3x2y-xy

【答案】D

[解析】原式=(肛+Fy)+2(x2y-xy)=xy+x2y+2x2y-2xy=-xy+3x2y.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题11]化简：x—3{7x—[x—9—3(1—2x)]}=.

【答案】x—36.

【解析】原式=x-3[7x-(x-9-3+6x)]

=x-3(7x-x+9+3-6x)

二%—2lx+3x—27—9+18x

=x-36•

【总结】本题考查了整式的加减法，注意去括号时按照先去小括号，再去中括号，最后去大

括号的顺序.

【习题12]若4/一4+〃7-(〃+〃?〃一2)中不存在〃的一次项，则相=.

【答案】-2.

【解析】原式=4/一〃+团一。一TOZ+2=4a2-(2+m)a+(nz+2),

•不存在。的一次项，

2+=0,

/.=-2.

【总结】本题考查了项与系数的概念.

【习题13】无论字母/b取何值，代数式-』"2+3"2-_["2-2的值总是.

362

【答案】一2.

【解析】原式=(1+”)加-2

362

=—2.

【总结】本题考查了合并同类项.

【习题14】有一道题目是一个多项式减去f+14x-6,小红误当成了加法算式，结果得到

2x2-x+3,正确的结果应该是.

【答案】-29x+15.

【解析】设这个多项式是A,则：A+(X2+14X-6)=2X2-X+3

A=(2x?—x+3)-(x~+14x—6)

=2x?—x+3—x~—14x+6

=x2-15x4-9；

则正确结果为：(J-15X+9)-(X2+14X-6)

=x2-15x+9-x2-14x+6

=-29x+15.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题15】求多项式/-。/+或2+/6一4/+。3的值，其中a=_3,b=2.

【答案】一19.

【解析】原式="+//,

当。=一3,6=2时，原式=（-3）3+2?=—19.

【总结】本题考查了整式的加减法和代值求解问题.

【习题16】学校决定修建一块长为30米，宽为20米的长方形草坪，并在草坪上修建十字

路，已知十字路宽x米，求（1）修建十字路的面积是多少平方米；（2）草坪的面积是

多少.

【答案】（1）（50*-丁）平方米；（2）（600-50x+x2）平方米.

【解析】（1）20x+30x-x2=（50x-x2）平方米;

(2)30x20-(50%-x2)=(600-50x+x2)平方米.

【总结】本题考查了整式的加减法在实际问题中的应用.

【习题17】若多项式Q/nr?-x?+3x+1)-(5x2-4y2+3x)与x无关,

求2m③—[3m2+(Am—5)+m]的值.

【答案】17.

【解析】化简多项式:

f+3x+1)-(5x~-4y2+3x)

—2/HX~—+3x+1—5*2+4y~-3x

=(2m-6)x2+1+4y之，

・・•多项式的值与x无关，

，2m—6=0,解得：m=3.

/.原式二2m3-(3m2+4m-5+m)

=2加-3*-4m+5-

=2，??——5m+5.

当加=3时,原式二2x27—3x9—5x3+5=17.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题18】整式的计算:

(1)5(x-y)2-(x-y)-8(x-y)2-3(1一y)；

_v1—a2a+13+2a

z(2)+------------------：

345

(3)-17(3x+5y)+21(3x+5y)-4(3x+5y).

4113

【答案】(1)—3(x—丁产―4(x—y)；(2)-------a；(3)0.

6030

【解析】(1)原式二一3(工一))2-4(不一丁)；

(2)原式

332455

/13、/112、

一«一:+=)+(一二一二+—)a

345325

4113

-------ci

6030

(3)原式=(-17+21-4)(3x+5y)=0.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题19］设P是关于x的五次多项式，Q是关于x的四次多项式，问：P+Q是关于x的

几次多项式？P-2Q是关于x的几次多项式？

【答案】五次多项式.

【解析】在尸+Q和尸-2Q的运算中，x的五次项没有同类项，不会被抵消掉，所以这两个

多项式的最高次项的次数是5,故为五次多项式.

【总结】本题考查了整式的加减法以及多项式的次数的概念.

【习题20]己知A=/—2xy+y2,8=2/-6孙+3y2,求代数式3A-[(2A-3)-4(A-B)]

的值，其中|x|=5,y2=9,且x+y=-2.

【答案】-181.

【解析】,.,|x|=5,.x=±5,贝吐=25.

y2=9,:.y=±3.

又x+y=-2,x=-5>y=3.

原式=3A-(2A-B-4A+48)=3A—2A+8+4A—48=5A-38

=5(V-2xy+y2)-3(2/-6xy+3y2)

=5x2-lOxy+5y2-6x2+18xy-9y?

=-x2+Sxy-4y2,

故当.・.x=—5,y=3时，原式==-(—5)2+8x(-5)x3-4x9=-25—120-36=-⑻.

【总结】本题考查了整式的加减法.

1D

【习题21]已知x=3—2(5a2—4aZ/),y=^(akr-b)+5bl,当”=万，时'

求2(gx—y)+y的值.

【答案】—.

10

【解析】原式=x—2y+y

=x-y

=[3-2(5a2-4ab2)]一[8(加-h)+5b2]

=(3-10a2+8加)一(8加-Sh+5b2)

=3-10«2+8ab2-Sab2+86-5b2

=3-10a2+8b-5b2,

当a=1,人=2时，原式=3-IOX(4)2+8X2-5X(2)2=".

2525510

【总结】本题考查了整式的加减法以及同类项的合并.

【习题22］已知(x+l)2+(y-2)'+|z-x-y|=0,

求代数式-3(y-4z)-［7x-5(y-4z)-3(x-z)］的值.

【答案】一3.

x+l=0x=-\

【解析】由已知得：y-2=0，解得：\y=2.

z-x-y=0

原式二-3y+12z-（7x-5y+20z一3%+3z）

=-3y+12z-7x+5y-20z+3x-3z

=2y-llz-4x,

当x=y=2,z=l时，原式=2x2-llxl-4x（-l）=-3.

【总结】本题考查了整式的加减法.

【习题23］已知多项式d+（m+6）x"y-2孙+5,则（1）当m、〃满足什么条件时，是五次

四项式？（2）当加、〃满足什么条件时，是四次三项式？

【答案】⑴⑵卜~或或他=4“为任意数

【解析】（1）由已知得：（机+6）x"y是五次项，

6+6w0mw-6

解得:

〃+1=5〃=4

‘"’「6时，该多项式是五次四项式:

（2）由已知得：有两项可以合并成一项或者O+6）x"y=0,

当5+6）x"y与-2xy是同类项或者（加+6）£»与/是同类项,

m+6—2工0m+6+1w0m0-7

解得:

〃=3n=3

当(m+6)x"y=0时，6=-6,及为任意数.

【总结】本题考查了多项式的命名和同类项的概念，并且注意(2)的分类讨论.

【习题24】有这样一道题，ifW(2x4-4^y-x2y2)-2(x4-Ix,y-y1)+x2y2W,其中

x=0.25,y=-l；甲同学把“x=0.25”，错抄成“x=-0.25”，但他的计算结果也是正

确的，你说这是为什么？

【答案】略.

［解析］原式=2x4-4^y-x2y2-2x4+4x3y+2y3+x2y2

=2广

•••计算结果不含X的项，

.•.即时抄错X的值，计算结果也是正确的.

【总结】本题考查了整式的加减法以及对题意的理解.

课后作业

【作业1】若5a2"与一是同类项，则尢=,y=.

【答案】x=2,y=3.

【解析】有同类项的定义可知：x=2,y=3.

【总结】本题考查了同类项的定义.

i2

［作业2］多项式3x2+2xy2+2x-2xy+x合并后是次项式.

【答案】三次三项式.

【解析】原式=3/+2/+力是三次三项式.

【总结】本题考查了合并同类项以及多项式的次数和项数的概念.

【作业3】如果|x"+"y”与V+2y2是同类项，且k为非负整数，则满足条件的左值

有().

A.一组3.两组C.三组D.无数组

【答案】D

k+m=k+2m=

【解析】由已知得:

m=2A为任意实数

故选择D.

【总结】本题考查了同类项的概念.

【作业4]已知x-y=3,贝1」4(》一封-3》+31+5的值等于

【答案】8.

【解析】原式=4(x-y)-3(x-y)+5

=(x-y)+5，

x_y=3,