沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第16讲 添加辅助线(解析版)

辅助线的添加

内容分析

当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅

助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三

角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证

明做一总结和拓展.

知识结构

模块一：根据图形补形添线

知识精讲

1、常用的辅助线有：

（1）联结两个点得到线段；

（2）过某一点做平行线或者垂线；

（3）延长某一条线段，构造特殊的三角形.

例题解析

【例1】如图，己知AD〃BC,NB=NC,求证：AB=CD.下列添加辅助线不正确的是

().

4.延长BA、C。交于点E；

B.过点A、。作AEJ_BC,DFLBC,垂足分别为E、F；

C.联结AC、BD-.

D.过点B、C作CF1AD,垂足分别为E、F.

【答案】C

【解析】A、B、。都能够通过全等三角形得到结论.

【总结】考察三角形全等的判定.

【例2】如图，AB=AD,BC=CD,求证：ZABC=ZADC.

【解析】联结AC

'：AB=AD,BC=CD,AC=AC

：.△ABC纥A4DC

NABCADC.

【总结】考察三角形全等的判定及全等三角形的性质.

【例3】如图，五边形ABC0E中，AB=AE,BC=DE,ZABC=ZAED,

求证：ZBCD=ZEDC.

CD

【解析】联结AC、AD

\9AB=AE,BC=DE,ZABOZAED,

：./\ABC^/\AED

/.ZACB=ZADE,AC=AD

：.ZACD=ZADC

,/ZACB=ZADE

：.ZBCD=ZEDC.

【总结】考察三角形全等的判定和性质.

【例4】如图，AB//EFfNB+NC+NO+NE=—

【答案】540°

【解析】联结8。、BE

,:AB〃EF,：.ZABE+ZBEF=ISO°

•••NB+NC+NO+NE

=ZABE+ZDBE+NCBD+NC+NCDB+ZBDE+NDEB^BEF

=(ZABE+/BEF)+(/DBE+ZBDE+/DEB)+(NCBD+NC+/CDB)

=180o+180o+180°

=540°

【总结】考察平行线的性质及三角形内角和的性质定理.

【例5】如图，△ABC中，点。是3c的中点，过点。的直线交AB于点E,交AC的延长

线于点E且BE=CF.求证：AE=AF.

【解析】过。作CM〃43交EF于M

4EB

•:CM"AB,：.ZMCD=ZDBE

*：CD=BD,NCDM=ZBDE,^MCD=^DBE

：./\CMD^/\BED

：.CM=EB

•：BE=CF,:.CM=CF

：.NF=NCMF

•:CM"AB

：.ZFEA=/CMF

：.ZFEA=ZF

：.AE=AF.

【总结】考察平行线辅助线的添加以及平行线的性质和全等三角形性质的综合运用.

【例6】如图，已知△ABC中，AB=AC,N84C=90°,8。平分NA8C交AC于点D,

C瓦LB。交8。的延长线于点石，求证：BD=2CE.

【解析】延长8A、CE交于点、F

VZF+ZACF=90°,ZF+ZABD=90°

/.ZABD=ZACF

VZABD=ZACF9ZBAD=ZFAC,AB=AC,

：./\ABD^/\ACF

：.BD=CF

ZBEF=ZBEC,ZFBE=ZCBE,EB=BE,

：./\BEF也△BEC

/.CE=EF,即C/=2CE

,:BD=CF,：.BD=2CE

【总结】考察等腰三角形的性质.

【例7】如图，在△ABC中，CE是NAC3的平分线，AFJ_”于点F,

求证：ZCAF=ZEAF+ZABC.

【解析】延长AF交3C于。

VZAFC=ZDFC,ZACF=ZDCF,CF=CF,

AAFC会△DRC

:.ZCAF=ZADC

ZEAF+ZABC=ZADC

：.NCA*NEAF+NABC.

【总结】考察等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用.

【例8】如图，△ABC中，点。、E分别在8C、AC的延长线上，且。是AE的中点,

ZB+ZD=180°,求证：AB=DE.

【答案】略.

【解析】过A作AM〃E。交5。于M

•:AM"ED,：.ACAM=ZE

VCA=CE,ZCAM=ZE,ZACM=ZDCE

：./\ACM^/XECD

：.ED=AM

'：AM//ED,：.ZAMC=ZD

VZB+ZD=180°,・・・N5+NAMC=180°,

VZAMB+ZAMC=\SO°,ZB=ZAMB

：.AB=AM

ED=AM,

：.AB=DE.

【总结】考察平行线辅助线的做法.

【例9】两个全等的含30°、60°角的三角板AOE和三角板A8C如图所示放置，E、A、C

三点在一条直线上，连接3。，取8。的中点M,连接ME、MC,试判断的形状，

并求证.

【答案】△EMC是等腰直角三角形，证明见解析.

【解析】△EMC是等腰直角三角形，联结AM

VZE4Z)=3O°,Zfi4C=60°

，ZDAB=90°

,:AEDA乡ACAB

ADA=ABfED=AC

•••△D48是等腰直角三角形

・・・M是3。的中点

AZMDA=ZMBA=45°,AMLBD,AM=-BD=MD

2

4EDM=ZMBC=105°

•・•ED=AC,ZMDE=ZCAM,MD=AM

：./\MDE^/\MAC

/.NDME=ZAMC，ME=MC

ZDM4=90°

/.AEMC=AEMA+ZAMC=AEMA+ADME=ZDMA=90°

・•・△EMC是等腰直角三角形.

【总结】考察三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定.

【答案】见解析

【解析】延长CE到凡使得0F=0£>,联结8F

VZ1=Z2,AOB=OC

又；,ABOF=NCOD,OF=OD,OB=OC//

：.ABOF^/XCOD/

:.BF=CD,ZF=Z.CDO

：NCOZ)=N1+N2=ZA,ZACE=ZACE

：.ZCDO=Z.CEA

•：ZBEF=NCEA=NCDO,：.ZF=ZBEF,:・BF=BE.

•：BF=CD,:・BE=CD.

【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用，注意辅助线的合理添加.

【例11]如图，在直角△48C和直角△AOE中，ZOZ£=90°,BODE,

ZBAE=ZDACfBC与DE交于点、F,求证：BF二DF.

【答案】见解析/

【解析】联结Ab//

ZBAE^ZDAC,/L

：.NBAE+ZEAC=NDAC+ZEAC,即ABAC=ZDAE/

VZC=ZE,ZBAC=ZDAE,BC=DE,/

：.Z\AEF^/\ABCB

：.AE=AC,CB=ED

VAE=AC,AF=AF

：.AAEF^AACF

FE=CF

,:BF=CB-CF,DF=DE-EF

；・BF=DF.

【总结】考察三角形全等判定和性质的综合运用.

【例12]如图，已知在△ABC中，ZC=90°,NA=45°,AB=a,在线段AC上有动点M,

在射线CB上有动点M且4M=BN,连接MV交AB于点P.

（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?

试证明你的结论.

（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点。，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定

吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简目

【答案】（1）PN=PM；（2）线段的长能确定

【解析】（1）PN=HW.

过M作DM//CB交84于O

•?DM//CB,；.ZADM=ZABC=45°

AZADM=ZA,：.AM=MD

,:AM=BN,:.BN=MD

"：BN=MD,ZN=4DMP,ZNPB=ZMPD

：.4NPB空/^MPD

：.PN=PMM

（2）线段PQ的长能确定，为;a.

；/A=45°,MQ1AB,/XAM。为等腰直角三角形

设“W=4W=3N=x,则A£>=EX

由（1）可得：BP=PD=-BD

2

AB=a,BD=AB-AD=a-4ix

BP=-BD=-a-—x

222

'：DQ=AQ=-AD=^-x

：.PQ=PD+DQ=^a

..•线段尸2的长能确定‘为相.

【总结】考查全等三角形的判定和性质，勾股定理以及等腰直角三角形性质的综合运用.

【例13]已知：如图，AABC是等边三角形，BD=DC,ZBDC=\20°,NMDN=60°,

、2

求证：CxAMN=1C.BC,A

【解析】证明：延长NC至点E，使得CE=BM,联接。石.

•：BD=DC,NBDC=120。,

・•・ZDBC=ZDCB=30。

丁ZTWC=ZACB=60°

ZABD=ZACD=90°

JZABD=ZDCE

•：BD=DCfZABD=ZDCF,CE=BM

：./\CDE^/\BDM

：.MD=DE,ACDE=ZBDM

VZBDC=120°,ZMDN=60°,

：.ZBDM+4CDN=60°

*.•/CDE=/BDM

・•・NCDE+NCDN=60。，B[JZA©E=60°

JNNDF=ZMDN

•：MD=DE,ZNDF=ZMDN,DN=DN

:・△NDE9^\NDM,可得：MN=NE,

2

v

贝lJCAAMN=3+^+MN=AM+/W+MB+NC=AB+AC=§CAA8c・

【总结】考察截长补短辅助线的添加及等腰三角形的性质.

【例14]如图，正方形48co中，E、尸分别是A。、。。上的点，且NE"=45°,

(1)求证：AE+C尸二EF；

(2)若BF=叵,801,求BE的长.

3

【解析】(1)延长尸C至点G,使得CG=AE,连接BG.

•：NBAE=NBCG,CG=AE9AB=BC

：./\AEB^/\BCG

:・BE=BG,ZABE=ZCBG.

・・•ZEBF=45°JZABE+NCB/=45。

・.,Z.ABE=/CBG,.•・ZCBG+NCBF=45°即ZFBG=45°

ZFBG=ZEBF

•；BE=BG,NFBG=ZEBF,BF=BF

：.ABEFmABGF：.EF=GF,

VGF=FC+CG,EF=GFfCG=AE

：.AE+CF=EF；

(2)VBF=—,BC=1,

3

ii2

由勾股定理可得：CF=~,：.DF=l--=-.

333

设A£=x,则由(1)可得：ED=\-x,EF=x+~,

3

DE2+DF2=EF2,

(1-X)2+(g){x+j，解得：X=T

:.BE7AB\AE2当.

【总结】考察截长补短辅助线的添法和勾股定理的综合运用.

模块二：倍长中线

知识精讲

常做辅助线:

遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形.

例题解析

【例15]已知，如图△ABC中，AB=5,4c=3,则中线4。的取值范围是

【答案】1<4)<4.

【解析】延长至点E,使得仞=即，联结8E

,:AD=ED,ZADC=ZEDB,BD=DC

：.MDgAEDB

：.AC=3E=3

■:AB-BE<AE<AB+BE

：.2<AE<8

'：AE=2AD

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法以及三角形三边关系的判定.

【例16]如图，AABC中，BD=DC=AC,£是。C的中点，求证：AO平分N8AE.

【解析】延长AE至点F,4吏得EF=AE,联结。尸

VAE=EF,ZAEC=ZDEF,DE=EC

：./\AEC^/\FED

：.AC=DF,NC=NCDF

DC=AC,：.ACAD=ZCDA

,:ZADB=ADAC+ZC,ZADF=ZADC+/CDF

・•・ZADB=ZADF

•:BD=AC,AC=DF,:.BD=DF

,:BD=DF,ZADB=ZADFfAD=DA.：.XABD/9FD

：.ZBAD=ZDAF,即AO平分NBAE.

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法以及三角形全等的判定与性质的运用.

【例17]已知：如图，AO是△A5C的3c边上的中线，且8E=AC,延长班:交AC于点F

求证：AF=EF.

【解析】延长EQ至点G,使得DG=DE,联结CG

•：BD=CD,4BDE=NCDG,DG=DE,

：./\BED^/\CDG

：.BE=CG,ABED=NG

•・・BE=AC,/.AC=CG,/.ZFAE=ZG

VZBED=ZG,/.ZBED=ZFAE

VZBED=ZAEF,：.ZAEF=ZFAE,

：.AF=EF.

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法.

【例18]已知：如图，A。是△A5C的中线，AB=BD,点E在BD上且BE=ED.

求证：AC=2AE.

A

【答案】见解析

【解析】延长AE至点F,使得以MAE,联结

VAE=EF,ZAEB=ZDEF,BE=ED

/./\ABE^/\FDE，:・AB=DF,ZB=ZFDEE\/D

BD=DC,AB=BD,：.AB=CD,

VAB=DF,:.DC=FD,

■:AB=BD,：.ZBAD=ZBDA

■:ZADC=/BAD+NB,ZADF=ZADB+AFDE,：.ZADC=ZADF

,:CD=DF,ZADC=ZADF,AD=DA

:・△AFD94ACD,：.AC=AF

VAF=2AE,：.AC=2AE

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法.

【例19】已知，如图，在△而＜:外作正方形A8OE和ACGF,M是8C的中点.

求证：AM-EF.

2

【解析】延长AM至点M使得联结CN

■:AM=MN,ZAMB=ZCMN9BM=MC

：.AB=CN,ABCN=ZABC

VAB=AE,；.AE=CN,

■:ZACN=ZACB+ZBCN,ZBCN=ZABC

：.ZAGV=ZACB+ZABC=180°-Z^C

ZEAF=-ZEAB-ZFAC-ABAC=\S0°-ABAC

：.ZACN=ZEAF

VCA=AF,ZACN=ZEAF,AE=CN,

：.AAFE94ACN，：.EF=AN

VAN=2AM,AEF=2AM

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及全等的综合运用.

【例20]已知：如图，在△ABC中，BD=DC,EDA.DF,求证:BE^CF>EF.

【解析】延长FQ至点G,使得DG=DF,

DF=DG,ZFDC=ZBDG,BD=DC

：.ABDG^/XCDF,r.CF=BG

VDF=DG,ZFDE=ZEDG,ED=DE

：.^EDG^^EDF,；.EF=EG

VBG+BE>GE,EF=EG,CF=BG

：.BE+CF>EF.

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的三边关系的运用.

【例21]已知：如图，点M是△ABC的边3c的中点，射线ME、MF互相垂直，且分别

交AS、AC于E、F两点,连接EE

(1)求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形；

(2)若NA=120°,且BE=CF,试判断BE、CAEF所构成三角形的形状，并证明.

线段BE、CF、EF能够成一个三角形；

(2)等边三角形.

；/A=120°,AZABC+ZC=60°,

,/BE=CF,CF=BG,：.BE=BG,

由(1)可得：NMBG=NC.

：.NEBG=ZABC+ZMBG=ZABC+ZC=609

,:BE=BG,；.BE、CF、EF所构成三角形的形状是等边三角形.

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的成立条件.

模块三：角平分线翻折

知识精讲

遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形.

例题解析

【例22]如图，在三角形ABC中，。是AC边上的一点，过点。作交/ACB

的平分线于点E,交NACB的邻补角的平分线于点尸，求证：OE=OF.

【解析】'.'MN//BC,：.ZOEC=AECB

•:AECO=ZECB,，ZOEC=ZECO

：.OE=OC

■:MN〃BC,:.NOFC=NFCD

'：NOCF=ZFCD,；.NOFC=NOCF

：.OF=OC

：.OE=OF.

【总结】考察平行线的性质的综合运用.

【例23]如图，在四边形ABC。中，BC>BA,AD=CD,BZ）平分NA3C,

求证：ZA+ZC=180°.

【解析】在8C上截取一点E,使得防=儡,联结DE.

VAB=BE,ZABD=ZDBE,BD=BD

E

ZVLBD^A£BD

，AD=DE,ZA=ZBED

*：AD=CD,:・ED=CD,

:.4C=ZDEC

VZDEC+ZBED=\S(T,4C=A>EC,ZA=ZBED

：.ZA4-ZC=180°.

【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法.

【例24]如图，已知A0是△A8C的角平分线，ZB=2ZC.求证：AB+BD=AC.

•；BD=DE,：.BD=EC

VAC=AE+EC,AE=AB,ED=EC

：.AB+BD=AC.

【总结】考察截长补短辅助线的添加及运用.

【例25]如图，在四边形A8CQ中，AC平分N84D,过点C作CE_LAB于点E,并且

AE=-(AB+AD),求NABC+NAQC等于多少度？

2

【答案】180°.

【解析】在上截取一点R使得瓶=4),联结CV

VAD=AF,ZDAC=ZFAC9AC=AC

^DAC^/\FAC,：.CD=FC,ZADC=ZAFC

:AE=-CAB+AD),：.AF+EF=-(AF+EF+EB+AF)

22

EF=FB

•；EF=FB,NCEF=NCEB,CE=CE,：./XCEF名△CE8

ZABC=Z.CFB

VZCFB+ZAFC=180°,ZADC=ZAFC,ZABC=NCFB

：.ZABC+ZS4£>C=18O°.

【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法.

【例26]如图，已知在△ABC中，ZB=60°,△ABC的角平分线A。、CE相交于点0,

求证：0E=。。.a

VCD=CF,AFCO=^OCD,OC=OC,：./\FCO^/\DCO

OD=FO,NFOC=ZDOC

,/ZDOC=60°,：.AFOC=60°

ZAOF=180p-ZAOE-ZFOC=60°,，ZAOE=ZAOF

VOA^OA,ZAOE=ZAOF,Z.EAO=ZFAO

：./\AEO^/\AFO,：.OE=OF

•；OD=FO,OE=OD.

【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法.

【例27]如图所示，在△ABC中，AC是NBAC的平分线，M是BC的中点，MF//D4交

8A的延长线于点E,交AC于点F,求证：BE=CF.

【答案】见解析为

【解析】延长FM至点M使得FM=MN,联结5M/\

BM=CM,ZBMN=NCMF,FM=MN,/\

:,ABMN^MMF/\\

:・BN=CF,ZMBN=NC,：.CF//BN/\\一

MF//DA,：.ZAFE=ADAC,/RAD=ZEDL-<<<<-----DM\

b、、、\

N

VZBAD=ZDACf：.ZAFE=ZE

■:CFI/BN,：.ZAFE=ZN

VZAFE=ZE,・・・N7V=2:,BE=BN

■:BN=CF,・・・BE=CF.

【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法.

【例28】已知：中，ZACB=90°,CQ_LA3于Q,AE平分NCA8交C。于F,

过尸作尸”〃48,交BC于H.

求证：CE=BH.（提示:平行四边形的对边相等,

【解析】过上作EGJ_A8,垂足为G.

VZAFD+ZFAD=90°,NCEF+NC4F=90°,

ZMP=ZC4F,

:.ZAFD=/CEF

・：ZAFD=/CFE,：.ZCFE=ZCEF,ACE=CF

VAE=AE,ZFAD=ZCAF,ZACE=ZAGE

：.△ACE^/\AGE，：.CE=EG

,:CE=CF,:・EG=CF

,:FH〃AB,:・/CHF=/B,/CFH=/CDB=90。

•；NCHF=NB,/CFH=4EGB,EG=CF

：.ZXCFH^Z^EGB,:・CH=EB

VCE=CH-EH,BE=BE-EH,：.CE=BH.

【总结】考察构造全等三角形辅助线的做法.

随堂检测

【习题1】如图，在△4BC中，NA=120°NABC=NC,8。是/ABC的角平分线，如果

将△ABQ沿BQ翻折过来，点A与BC边上的点E重合，那么△(?£>£是.

角形.

【答案】直角.

【解析］\'ZA=120°,NABC=NC,

二ZC=30°

VZB£D=ZA=120°,ZBED=NC+ZEDC

：.Z£DC=90°.

【总结】考察三角形的外角性质及内角和定理的综合运用.

【习题2】如图，已知4C=B£>,ND=NC,求证：ZA=ZB.

【解析】延长CA、DB交于点E

:.EC=ED

'：AC^BD,AEA=EB

：.ZEAB=ZEBA

VZA=\800-ZEAB,ZB=1800-ZEBA

：.ZA=ZB.

【总结】考察等腰三角形的辅助线的添法.

【习题3】如图，在三角形ABC中，ZABC=2ZC,ADLBC,求证：AB+BD=DC.

【答案】见解析

【解析】在CO上截取一点£使得。E二08,联结AE

•；BD=DE,ZADB=ZADE,AD=DA

：./\ADB^Z\ADE

：.AB=AE,ZABC=ZAEB

・.・ZABC=2ZC,,2ZC=ZAEB

VZA£B=ZC+ZC4E=2ZC,/.ZC=ZC4E,/.CE=AE

VAB=AE,AAB=CE

■:DE+CE二CD,AB=CE9BD=DE,

：・AB+BD=DC.

【总结】考察截长补短的辅助线的添加.

【习题4】如图，A。是△ABC的角平分线，AC=AB+BDfZC=30°.求N84C的度数.

【答案】见解析

【解析】在CA上截取一点E使得4E=A8,联结DE

VBA=AE,ZBAD=ZDAE,AD=DA

：.AAD^gAADE

：.BD=DE,ZB=ZAED

9

\AC=AB+BDfAE=AB,AC=AE+EC,

:.CE=DB

•；BD=DE,：.CE=DE

：.NC=4CDE

：.ZAED=/C+/CDE=2/C

VZB=ZA£B,：.ZB=2ZC.

：.Zfi4C=180°-ZB-ZC=180°-3ZC=90°.

【总结】考察截长补短的辅助线的添法.

【习题5】以△A3C的边A从AC为边分别向外作正方形ABDE、ACGF,DP上BC于点

P,GQJ_BC于点。，求证：DP+GCBC.

【答案】见解析

【解析】过A作AML3C垂足为M

PBMCQ

•・•ZBDP+ZDBP=90。，ZDBP+ZABM=90°f

：.ZBDP=ZABM

VZBDP=ZABM,ZDPB=ZBMA,DB=AB

：./\DBP^/\BAM

・・・DP=BM

也可以用同样的方法证明出・•・/\ACM^/\CGQ,：.GQ=CM

•：BC=BM+MC,DP=BM,GQ=CM

:.DP+GQ=BC.

【总结】考察三角形全等的构造方法及全等三角形性质的综合运用.

【习题6】已知：如图，正方形A5CQ中，E、/分别是A£＞、。。上的点，且AE+CF=EF,

求证：/EBF=45°.

【答案】见解析

【解析】证明：延长尸。至点G,使得CG=A£，联接8G.

VBA=BC,ZBAE=ZBCG,CG=AE

：./\ABE%AdBCG

:.BE=BG,ZABE=ZCBG

■:AE+CF=EF,AE=CG,：.EF=FG

VEF=FG,BF=FB,BE=BG

：./\BEF^/XBGF

：.ZEBF=ZGBF

•・・ZABE+NEBC=90。,ZABE=ZCBG

：.NCBG+ZEBC=90°,即ZEBG=90°

•；ZEBG=ZEBF+NGBF,ZEBF=ZGBF

：.ZEBF=450.

【总结】考察截长补短辅助线的添法及全等三角形性质的运用.

【习题7]已知，如图，。为等边AABC内一点,DA=DC,P为等边△ABC外一点，PC=AC,

且CO平分NBCP,求NP的度数.

【答案】30°.

【解析】连接3D

PC=AC,BC二AC,：.PC=BC

•：PC=BC,DC=DC,ZPCD=ZBCD

，APCD^ABDC

/.ZP=ZDBC

・；DA=DC,DB=DB9AB=CB,

AADB^/\CDB

：.ZABD=ZDBC,即ZDBC=-ZABC=30°

2

:NP=ZDBC,：.ZP-30°

【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用.

【习题8]如图，在△ABC中，ACBC,NC=90°,A£»_L8。交于点Q,3。与AC相交

于点E,当BE=24。时，求证：平分ZABC.

【解析】延长8C、A。交于点F

VZF+ZC4F=90°,ZF+ZEBC=90°

:.Z.CAF=ZEBC

Z.CAF=AEBC,ZACB=NBCE,AC=BC,

：./\ACF沿ABCE

：.BE=AF

'：BE=2AD,：.AF=2AD,B|JAD=FD

'：ZBDF=ZBDA,AD=FD,DB=BD，

：./\BDA^/\BDF

：.ZABD=ZDBF,即BD平分ZABC.

【总结】考察等腰三角形的性质.

【习题9]如图，已知在正方形A8CQ中，E是A。的中点，BF=CD+DF,若NABE为a,

求NCBF的度数.

【答案】NCBF=2a

【解析】延长BC到G,使得CG=DF,连接FG交CD于点H,连接BH

,:NGCH=/£>=90。，ZCHG=ZDHF,CG=DF,

：./\CGH^/^DHF

/.CH=DH,GH=FH

'：AE=CH,AB=BC,ZBAE=ZBCH

，/\ABE^ACBH

:.NCBH=ZABE=a

;BF=CD+DF,BG=CB+CG,BC=CD,CG=DF,

：.BF=BG,'：FH=GH,：.ZFBH=ZGBH

,:NCBH=a,INCBF=2a

【总结】考察截长补短辅助线和等腰三角形的性质的综合运用.

【习题10】在△ABC中，AB^AC,。是△ABC外一点，且NABD=60°,ZACD=60°.

求证：BD+DC=AB.

【解析】延长8。到凡使得8尸=84连接AACF

VZABD=60°,BF=BA

...△ABF为等边三角形

AAF=AB-AC=BF,ZAFB=60°

/.ZACF=ZAFC

VZACD=60°,ZA^B=ZAC£>=60°

:.ZDFC=ZDCF,；.CD=DF

BD+CD=BD+DF=BF=AB即BD+DC=AB.

【总结】考察截长补短辅助线的做法.

【习题11]如图，在△ABC中，E是BC边上一点,点。在BC的延长线上且CD=AB,

NBAE=ND,AC平分/EAQ.求证：AD=2A£.

【答案】见解析

【解析】在A。上取一点尸，使得AF=4E,连接CF

'：AE=AF,/FAC=/FAC,AC=AC,

：.AACE^AA/C

ZAEC=ZAFC

VZAEC=ZBAE+ZB,ZAFC=ZFCD+ZD,ZBAE=ZD,

：.ZB=ZFCD

'：AB=CD,ZB^AFCD,NBAE=ND,

/\ABE%/\DCF

：.AE=DF

VAF=AE,

・•・AD=AF'+FD=AE+AE=2AE

【总结】考察截长补短辅助线的添法.

课后作业

【作业1】如图，将aABC的中线AO加倍到点E,联结CE后，以下结论错误的是

().

A.4ABD合AECD；B.AD^DC-,

C.CE=AB；D.AB//CE.

【答案】B

【解析】A、C、。都可以根据三角形全等得到是正确的.

【作业2】已知：AQ是AABC的角平分线，NC=2NB,将ZiAC£)沿AO翻折，点C落在

AB边上的E处,AEBD是；AB、AC、CZ)之间的数量关系是

【答案】等腰三角形；AB=AC+CD.

【解析】：AC=AE,Zft4£>=ZC4£>,AD=AD

AACD^AAED(S.AS)

AZC=ZAED,CD=DE

VZC=2ZB,,AZ4£D=2ZB

VZAED=ZB+ZEDB,：.ZB=ZEDB,：.ED=EB

VCD=DE,:.BE=DC

VAB=AE+EB,AE=AB,BE=DC

：.AB=AC+CD

【总结】考察截长补短辅助线的添法.

【作业3】已知：在△ABC中，AC=BC,NA05=90°,A。平分NB4C交5c于点D

求证：AB=AC+CD.

【解析】过。作。ELA3,垂足为E

•：ZACD二ZAED,ZCAD=ZEAD,AD=AD

:.ACAD^ZXJEAD

:・CD=DE,AC=AE

u

\AC=BCfZACB=90°,，ZB=45。

9：DELAB,：.ZB=ZBDE,：.DE=BE

,:CD=DE,：.CD=BE

VAB=AE-vBE,CD=BE,AC=AE

：.AB=AC+CD.

【总结】考察截长补短辅助线的添法.

【作业4】已知△ABC和均为等边三角形，求证：BD+DC=AD.

【解析】VZABC=ZEBD=60°

,ZABE+ZEBC=/EBC+/CBD,ZABE=ZCBD

'：AB=BC,ZABE=NCBD,EB=BD

：./\ABEdCBO(S.AS),

AAE=CD,Z1=Z2

•；AD=AE+ED，AE=CD,BD=ED

：.BD+DC=AD.

【总结】考察三角形全等三角形判定和性质.

【作业5】己知直角△48C中，NCA8=900点拉、E在边8C上，NCAE=/B,E是CD

的中点，且AQ平分N8AE；求证：BD=AC.

：.AC=AD,ZCAE=ZDAE

U

：ZCAE=ZB,：.ZB=ZDAEf

■:NDAE=NDAB,：.ZB=ZDAB

：.DA=DB

VAC=AD,：.BD=AC.

【总结】考察角度之间的关系的处理方法主要利用三角形的外角性质和角的和差进行说明.

【作业6】如图，已知点。是A3的中点，点石在CQ上，AE=BD,求证：ZAEC=ZCDB.

【答案】见解析

【解析】延长EC至点P,使得CT=CE,联结8P

VCE=CF,ZACE=ZBCF,AC=CB

：./\AECQ/XBFC

:・AE=BF,AF=ZAEC

\*AE=BDf:・BF=BD,：.ZCDB=ZF

VZF=ZAEC,:・/AEC二/CDB.

【总结】考察倍长中线辅助线的做法.

【作业7】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,点。是A8上一点，E是AC延长线上一

点，联结OE交8C于点M'求证：BD=CE.

【答案】见解析

【解析】过。作。尸〃AE交8C于尸

DF//AE,：.ZDFM=ZMCE

♦：DM二ME,NDFM=ZMCE,/EMC=ADMF

JAECM^/\DFM

：.FD=CE

,:DF〃AE,：.ZDFB=ZACB

u

：AB=ACf：.ZB=ZACBf

：.ZB=ZDFB