2024-2025学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集2.2.3一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE12-2.2.2.3学习目标核心素养1.驾驭不等式的解集及不等式组的解集．2．解肯定值不等式．(重点、难点)3．驾驭一元二次不等式的解法．(重点)4．能依据“三个二次”之间的关系解决简洁问题．(难点)1.通过数学抽象理解肯定值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培育数学运算素养．如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段eq\o(AB,\s\up10(︵))，eq\o(BC,\s\up10(︵))，eq\o(CA,\s\up10(︵))的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等).问题(1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？(2)你能推断出x1，x2，x3的大小吗？1．不等式的解集与不等式组的解集一般地，不等式的全部解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．2．肯定值不等式一般地，含有肯定值的不等式称为肯定值不等式．思索1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？[提示]不等式|x|＜a|x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式一般地，假如实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝eq\f(a＋b,2).4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).思索2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，依据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思索3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？[提示]不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．[拓展]一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－eq\r(k))∪(h＋eq\r(k)，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－eq\r(k)，h＋eq\r(k)).(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；(x－h)2＜k的解集为.1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式3x－1≥－4的解集为(－∞，－1]. ()(2)构成不等式组的各个不等式的解集的并集称为不等式组的解集． ()(3)|a－2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离． ()[答案](1)×(2)×(3)√2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＜x＜1))))C. D．RD[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．(教材P67练习B①改编)不等式|x|－3＜0的解集为________.{x|－3＜x＜3}[不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．3x2－5x＋4<0的解集为.]求不等式组的解集【例1】(教材P64例1改编)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1≤0，x＋3＞0))的解集是()A.x＞－3 B．－3≤x＜2C.－3＜x≤2 D．x≤2C[eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1≤0，①,x＋3＞0，②))解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3，∴不等式组的解集为－3＜x≤2，故选C.]一元一次不等式组解集的求解策略(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).eq\a\vs4\al([跟进训练])1．解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5＞3x＋2，,\f(x＋4,3)≤\f(3x＋3,4)＋1，))并在数轴上表示该不等式组的解集．[解]eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5＞3x＋2，①,\f(x＋4,3)≤\f(3x＋3,4)＋1，②))由①得，x＜3，由②得，x≥－1，故此不等式组的解集为{x|－1≤x＜3}，在数轴上表示为：解肯定值不等式[探究问题]1．若|x|＝|a|，是否肯定有x＝a?[提示]不肯定，x＝a或x＝－a.2．|x|的几何意义是什么？提示：|x|表示数轴上坐标为x的点到原点的距离，即|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0.))【例2】不等式|5－4x|＞9的解集为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞\f(7,2)))))[∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞eq\f(7,2).∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞\f(7,2))))).]1．(变设问)不等式|5－4x|≤9的解集为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2)))))[∵|5－4x|≤9，∴－9≤4x－5≤9.∴－1≤x≤eq\f(7,2)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2))))).]2．(变设问)若不等式|kx－5|≤9的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2)))))，则实数k＝________．4[由|kx－5|≤9⇔－4≤kx≤14.∵不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(7,2)))))，∴k＝4.]1．|x|＜a与|x|＞a型不等式的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}|x|＞a{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R2.|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.一元二次不等式的解法【例3】(教材P70例2改编)求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)或x<－3)))).(2)原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2)))eq\s\up12(2)≤0，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,4))))).(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或依据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．依据一元二次方程根的状况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．依据图像写出不等式的解集．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>2)))).(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠2)).(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq\f(2,3)，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<1)))).含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路点拨]①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行探讨？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？[解]当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.当a<0时，不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，∵eq\f(1,a)<1，∴x<eq\f(1,a)或x>1.当a>0时，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.若eq\f(1,a)<1，即a>1，则eq\f(1,a)<x<1；若eq\f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈；若eq\f(1,a)>1，即0<a<1，则1<x<eq\f(1,a).综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a))或x>1)))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).解含参数的一元二次不等式的一般步骤提示：对参数分类探讨的每一种状况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).[解]原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))≤0.当eq\f(2,a)＜－1时，即－2＜a＜0时，解得eq\f(2,a)≤x≤－1；当eq\f(2,a)＝－1时，即a＝－2时，解得x＝－1；当eq\f(2,a)＞－1时，即a＜－2时，解得－1≤x≤eq\f(2,a).综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示]y＝x2－2x－3的图像如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满意y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满意y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满意y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图像与x轴交点横坐标组成的集合{－1，3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特别状况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？视察结果你发觉什么问题？这又说明什么？[提示]方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}．不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，视察发觉不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？[提示]一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a)，))即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例5】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[思路点拨]eq\x(\a\al(由给定不等式,的解集形式))→eq\x(\a\al(确定a<0及关于,a，b，c的方程组))→eq\x(用a表示b，c)→eq\x(\a\al(代入所求,不等式))→eq\x(\a\al(求解cx2＋bx＋a<0,的解集))[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根与系数的关系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0.解得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))).2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)＜0，则c＞0.又－eq\f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式变为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：（1）依据解集来推断二次项系数的符号；（2）依据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；（3）约去a，将不等式化为详细的一元二次不等式求解．学问：1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．2．解肯定值不等式的关键就是去掉肯定值，利用肯定值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类探讨，为了做到分类“不重不漏”，探讨需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的探讨：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的探讨：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的探讨：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.4．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．方法：解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应