2024-2025学年高中数学第三章统计案例课时作业133.2独立性检验含解析北师大版选修2-3

课时作业13独立性检验时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下面是2×2列联表：yxy1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a，b处的值分别为(C)A．94、96 B．52、50C．52、54 D．54、52解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C．2．高二其次学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成果依据优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为(A)班级与成果统计表优秀不优秀总计甲班113445乙班83745总计197190A.0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004解析：随机变量χ2＝eq\f(90×11×37－34×82,19×71×45×45)≈0.600，故选A.3．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是(C)A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：依据独立性检验的思想方法，正确选项为C．4．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2的一个可能的值为(C)A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841解析：若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C满意条件．5．某校为了探讨“学生的性别”和“对待某一活动的看法”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(B)A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%解析：∵k＝7.069>6.635，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.6．假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下数据中，对于同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(D)A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：对于同一样本，|ad－bc|的值越小，说明X与Y之间的关系越弱，|ad－bc|的值越大，说明X与Y之间的关系越强．7．分类变量X和Y的列联表如下，则(C)Y1Y2总计X1aba＋bX2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dA．ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强解析：由统计量χ2的计算公式计算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)可知(ad－bc)2越大，则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad－bc)2越大，故选C．8．某人探讨中学生的性别与成果、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(D)A．成果B．视力C．智商D．阅读量解析：A中，χ2＝eq\f(52×6×22－10×142,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440)；B中，χ2＝eq\f(52×4×20－12×162,20×32×16×36)＝eq\f(637,360)；C中，χ2＝eq\f(52×8×24－8×122,20×32×16×36)＝eq\f(13,10)；D中，χ2＝eq\f(52×14×30－2×62,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).因此阅读量与性别相关的可能性最大，所以选D.二、填空题9．为了了解小学生是否喜爱吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89名小学生的状况，得到的数据如下表(单位：人)：吃零食状况性别喜爱吃零食不喜爱吃零食总计男243155女82634总计325789依据上述数据，得出χ2≈3.689.解析：χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈3.689.10．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：是(填“是”或“否”)．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，两者相差较大，所以，经直观分析可认为收看新闻节目的观众与年龄是有关的．11．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据(单位：粒)：种子处理种子未处理合计生病32101133不生病61213274合计93314407依据以上数据得χ2的值是0.164，可以推断种子经过处理跟生病之间无关(填“有”或“无”)．解析：由公式，得χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,133×274×93×314)≈0.164.由于0.164≤2.706，所以我们没有充分理由说种子经过处理跟生病有关，故可以认为种子经过处理跟生病之间无关．三、解答题12．为探讨学生的数学成果与对学习数学的爱好是否有关．对某年级学生作调查，得到如下数据：成果优秀成果较差总计爱好深厚的643094爱好不深厚的227395总计86103189推断学生的数学成果好坏与对学习数学的爱好是否有关？解：由公式求得χ2＝eq\f(189×64×73－22×302,86×103×94×95)≈38.459.∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成果的好坏与对学习数学的爱好有关．13．为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生答对人数占男生人数的eq\f(5,6)，女生答错人数占女生人数的eq\f(2,3).(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？(2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？解：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：答对答错总计男生eq\f(5x,6)eq\f(x,6)x女生eq\f(x,6)eq\f(x,3)eq\f(x,2)总计xeq\f(x,2)eq\f(3x,2)(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则χ2>6.635，由χ2＝eq\f(\f(3x,2)·\f(5x,6)·\f(x,3)－\f(x,6)·\f(x,6)2,x·\f(x,2)·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)>6.635，解得x>17.693.因为eq\f(x,2)，eq\f(x,6)，eq\f(x,3)为整数，所以若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有18人．(2)没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则χ2≤3.841.由χ2＝eq\f(\f(3x,2)·\f(5x,6)·\f(x,3)－\f(x,6)·\f(x,6)2,x·\f(x,2)·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)≤3.841，解得x≤10.243.因为eq\f(x,2)，eq\f(x,3)，eq\f(x,6)为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．——实力提升类——14．对于两个变量X，Y，其2×2列联表如下所示：YXy1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d若两个变量X，Y独立，则下列结论：①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③eq\f(c＋d,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；④eq\f(c＋a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；⑤eq\f(a＋b＋c＋dad－bc,a＋bb＋da＋cc＋d)≈0.其中正确结论的序号是①②⑤.解析：因为变量X，Y独立，所以eq\f(a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(a＋c,a＋b＋c＋d)×eq\f(a＋b,a＋b＋c＋d)，化简得ad≈bc，故①⑤正确；②式化简得ad≈bc，故②正确．15．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015①完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；②完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝合计n＝附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝eq\f(2C\o\al(99,198),C\o\al(100,200))＝eq\f(100,199).(2)①可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射