2024-2025学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量8.3直线平面平行的判定与性质理

考点8.3直线、平面平行的判定与性质考点梳理考点梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a⊂α,l⊄α))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β性质定理假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b概念方法微思索1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的全部直线都平行吗？提示不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．真题演练真题演练1．（2024•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是A． B． C． D．【答案】A【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满意题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满意题意；对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满意题意；所以选项满意题意，故选．2．（2024•上海）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线相交的面是A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由点到的距离为3，到的距离为2，可得在△内，过作，且于，于，在平面中，过作，交于，则平面平面．连接，交于，连接，平面平面，平面平面，平面平面，．在中，过作，且于，则．线段在四边形内，在线段上，在四边形内．过点且与平行的直线相交的面是．故选．3．（2024•江苏）在平行六面体中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【解析】（1）平行六面体中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以，，平面，平面平面；（2）在平行六面体中，，四边形是菱形，．在平行六面体中，，．面，且平面平面平面．强化训练强化训练1．（2024•开封三模）在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】如下图所示：分别取棱、的中点、，连接，连接，、、、为所在棱的中点，，，，又平面，平面，平面；连接，由，，，，可得，，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，则平面．又，平面平面．又是上底面内一点，且平面，点在线段上．在△中，，同理，在△中，求得，则为等腰三角形．当在的中点时，最小为，当与或重合时，最大为．线段长度的取值范围是，．故选．2．（2024•沈阳三模）设，为两个不重合的平面，能使成立的是A．内有多数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．内有多数个点到的距离相等 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于，内有多数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出多数条平行于交线的直线，所以错误；对于，内有两条相交直线与平行，依据两平面平行的判定定理知，，所以正确；对于，内有多数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出多数条直线平行于平面，所以也能得出多数个点到平面的距离相等，错误；对于，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以错误．故选．3．（2024•安阳二模）已知正方体中，，分别为，的中点，点，分别在线段，上，且，则在，，这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】作出图形如下所示，取的中点，可知，又平面，平面，故平面，又，均不与平面平行，故在，，这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为1．故选．4．（2024•浦东新区二模）如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线A．有一条 B．有二条 C．有多数条 D．不存在【答案】C【解析】由题设知平面与平面有公共线，则在平面内与平行的线有多数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理知它们都与面平行，故选．5．（2024•重庆模拟）如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则A． B． C． D．【答案】B【解析】四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，，平面平面，在上，平面，且平面平面，，．故选．6．（2024•番禺区模拟）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在两条平行直线、，，，， D．存在两条异面直线、，，，，【答案】D【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不肯定平行．故不对；对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不肯定平行，故不对；对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；对于，两个平面中的两条相互异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故正确．故选．7．（2024•武汉模拟）设、、为平面，、为直线，给出下列条件：①、，，；②，；③，；④，，．其中能使成立的条件是A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】①若、，，，由面面平行的推断定理与定义可得：可能或者与相交．所以①错误．②若，，由平面与平面平行的传递性可得：．所以②正确．③若，，则由平面与平面的位置关系可得：可能或者与相交．所以③错误．④若，，由线面垂直的定义可得：，又因为，所以．所以④正确．故选．8．（2024•天河区一模）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，分别为、、边上的中点则四点共面，且平面平面又面，落在线段上，正方体中的棱长为，．即在侧面上的轨迹的长度是．故选．9．（2024•黑龙江二模）在正方体中，，分别为，的中点，点是上底面内一点，且平面，则的最小值是A． B． C． D．【答案】C【解析】连结、，交于点，连结，交于，连结，设正方形中棱长为1，在正方形中，，分别为，的中点，点是底面内一点，且平面，，，，即的最小值是．故选．10．（2024•全国模拟）正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等【答案】BC【解析】取中点，则为在平面上的射影，与不垂直，与不垂直，故错；取中点，连接，，可得平面平面，故正确；把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故错．故选BC．11．（2024•金安区校级模拟）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是__________；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是__________．【答案】，，【解析】取的中点，的中点，连接，，，，则，，平面平面，到平面的距离等于到平面的距离，正方体棱长为2，，，，，，，设到平面的距离为，则，又，，即．到平面的距离为．平面，的轨迹为线段．，，当时，取得最小值，当与（或重合时，取得最大值．．故答案为：，，．12．（2024•南昌二模）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面，，为中点，过作平面分别与线段、交于点，，且，则__________，四边形的面积为__________．【答案】；【解析】延长平面，交所在的平面于，即平面平面，又平面平面，，即，，三点共线，又，由线面平行的性质定理可得，则，即，点为的中点，为中点，则，，，，，又，，，则，过作，交于点，，则，，，，，，平面，平面，，四边形的面积为．故答案为：；．13．（2024•韶关二模）已知长方体中，，，，，，分别是棱，，的中点，是该长方体底面上的动点，若平面，则面积的取值范围是__________．【答案】，【解析】：补全截面为截面如图，设，直线与平面不存在公共点，平面，易知平面平面，，且当与重合时，最短，此时的面积最小；由等积法：，即：；，又平面，，为直角三角形，的面积为：，当与重合时，最长为4，此时的面积最大；最大值为：；故答案为：，．14．（2024•贵州模拟）已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：①，；②，；③，，；能推得的条件是__________．【答案】②【解析】①，；可能；②，；面面平行的性质得出成立；③，，；若与相交，可能与相交，故答案为：②．15．（2024•扬州模拟）如图，三棱柱中，，为四边形对角线交点，为棱的中点，且平面．（1）证明：平面；（2）证明：四边形为矩形．【解析】（1）取中点，连接，在三棱柱中，四边形为平行四边形，．且，因为为平行四边形对角线的交点，所以为中点，又为中点，所以，，又．且，所以，且，又为中点，所以，且，所以为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为，为中点，所以，又因为平面，平面，所以，因为，，平面，平面，，所以平面，又平面，所以，又由（1）可知，所以，在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以四边形为矩形．16．（2024•安徽模拟）图1是矩形，，，为的中点，将沿翻折，得到四棱锥，如图2．（Ⅰ）若点为的中点，求证：平面；（Ⅱ）若．求点到平面的距离．【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，，由，分别为，的中点，得，且，又，且，且，得四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（Ⅱ）由，，可得，得．又，，平面，平面，平面平面．取的中点为，连接，，，可得，且平面，．取的中点，连接，