2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE12．4.1抛物线的标准方程1.了解抛物线的形成过程．2.理解抛物线的标准方程的推导思想．3.驾驭抛物线的定义、抛物线的标准方程．1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(eq\f(p,2)，0)x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)(－eq\f(p,2)，0)x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)(0，eq\f(p,2))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)(0，－eq\f(p,2))y＝eq\f(p,2)1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．()(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．()(3)方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．抛物线x＝－eq\f(1,8)y2的焦点坐标是()A．(－2，0) B．(2，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,32))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32)))答案：A3．抛物线x2＝4y的准线方程是()A．x＝1 B．x＝－1C．y＝1 D．y＝－1答案：D4．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x答案：B5．以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,4)))为焦点的抛物线的标准方程是________．答案：x2＝－3y求抛物线的标准方程求满意下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．【解】(1)当抛物线的焦点在x轴上时，可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，把点(－3，2)代入得22＝－2p×(－3)，所以p＝eq\f(2,3)，所以所求抛物线方程为y2＝－eq\f(4,3)x.当抛物线的焦点在y轴上时，可设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，把(－3，2)代入得(－3)2＝2p×2，所以p＝eq\f(9,4)，所以所求抛物线方程为x2＝eq\f(9,2)y.综上，所求抛物线的方程为y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4，0)或(0，－2)，当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，因为eq\f(p,2)＝4，所以p＝8，所以抛物线方程为y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为－eq\f(p,2)＝－2，所以p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.综上，所求抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y.eq\a\vs4\al()(1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(2)求抛物线的标准方程时需留意的三个问题①把握开口方向与方程间的对应关系．②当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以削减探讨状况的个数．③留意p与eq\f(p,2)的几何意义．分别依据下列条件求抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝eq\f(2,3)；(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.解：(1)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，则p＝eq\f(4,3).所以所求抛物线的标准方程为x2＝－eq\f(8,3)y.(2)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.抛物线定义的应用(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．【解】(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x.(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点、(0，2)点和抛物线的焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))\s\up12(2)＋(2－0)2)＝eq\f(\r(17),2).1．若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值．解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±eq\r(6).所以A在抛物线内部．设P为其上一点，P到准线(设为l)x＝－eq\f(1,2)的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是eq\f(7,2).即|PA|＋|PF|的最小值是eq\f(7,2).2．若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x－4y＋eq\f(7,2)＝0，求点P到直线3x－4y＋eq\f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.A1F的最小值为F到直线3x－4y＋eq\f(7,2)＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋(－4)2))＝1.即所求最小值为1.eq\a\vs4\al()抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．依据抛物线的定义，抛物线上随意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点F的距离为10，求点M的坐标．解：由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq\f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．与抛物线相关的应用问题某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船起先不能通航？【解】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，由题意知A(4，－5)在抛物线上，故16＝－2p×(－5)⇒p＝eq\f(8,5)，则抛物线的方程是x2＝－eq\f(16,5)y(－4≤x≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船起先不能通航．设B(2，y′)，所以22＝－eq\f(16,5)y′⇒y′＝－eq\f(5,4).故当水面上涨到与抛物线形拱桥的拱顶相距eq\f(5,4)＋eq\f(3,4)＝2米时，木船起先不能通航．eq\a\vs4\al()求解抛物线实际应用题的五个步骤喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶部A处，喷出的水流的最高点为B，距地面5m，且与管柱OA相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，求管柱OA的长．解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．又点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，2p＝5，即x2＝－5y.点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，y0＝－eq\f(16,5)＝－3.2，所以|OA|＝5－3.2＝1.8(m)，即管柱OA的长是1.8m.1．“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值恒久大于0.特殊留意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，不要出现错误．如y2＝－4x.其中p＝2.2．只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．3．抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0，所以抛物线开口向下．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向(或焦点位置)，当开口方向不确定时，应进行分类探讨．为避开探讨，也可设抛物线方程为统一形式，如：①当焦点在x轴上时，抛物线方程可设为y2＝2ax(a≠0)或y2＝ax(a≠0)；②当焦点在y轴上时，抛物线方程可设为x2＝2ay(a≠0)或x2＝ay(a≠0).1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2) B．(0，1)C．(2，0) D．(1，0)解析：选D．由题意得2p＝4，p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4 B．6C．8 D．12解析：选B．由抛物线的方程得eq\f(p,2)＝eq\f(4,2)＝2，再依据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为()A．eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8解析：选B．由y＝ax2，得x2＝eq\f(1,a)y，eq\f(1,4a)＝－2，a＝－eq\f(1,8).4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是________．解析：由题意可设抛物线方程为y2＝2ax，因为点P(2，4)在抛物线上，所以42＝4a，所以a＝4.即所求抛物线的方程为y2＝8x.答案：y2＝8x[A基础达标]1．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝－8y B．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8x D．x2＝－8y解析：选A．因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝eq\f(1,2)，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)解析：选C．因为点A在抛物线的准线上，所以－eq\f(p,2)＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2，0)，所以kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选A．由题意知抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,4).因为|AF|＝eq\f(5,4)x0，所以依据抛物线的定义可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A．eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(5)－1解析：选D．由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq\f(|2＋3|,\r(22＋(－1)2))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq\r(5)－1.5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()解析：选D．a2x2＋b2y2＝1其标准方程为eq\f(x2,\f(1,a2))＋eq\f(y2,\f(1,b2))＝1，因为a>b>0，所以eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－eq\f(a,b)x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－eq\f(p,2)，由题意知3＋eq\f(p,2)＝4，所以p＝2.答案：27．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6eq\r(2).所以所求点的坐标为(－6，6eq\r(2))，(－6，－6eq\r(2))．答案：(－6，6eq\r(2))，(－6，－6eq\r(2))8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，所以xA＋xB＝eq\f(5,2).所以线段AB的中点到y轴的距离为eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)9．依据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10，因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故方程为y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由|AF|＝3，得eq\f(p,2)＋2＝3，所以p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.10．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝eq\f(4,3)，则FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4)，则MN的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋2.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,4)x＋2，,y＝\f(4,3)(x－1)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).[B实力提升]11．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线解析：选D．法一：设动点P的坐标为(x，y)．则eq\r((x－1)2＋(y－1)2)＝eq\f(|3x＋y－4|,\r(10)).整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，所以x－