山东专用2025版高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第二讲排列与组合学案含解析

PAGE1-其次讲排列与组合ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测学问梳理学问点一排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，依据肯定的__依次__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__全部不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，这里规定0！＝__1__.学问点二组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__全部不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)组合数的计算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，这里规定Ceq\o\al(0,n)＝__1__.(4)组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m,n)__＋__Ceq\o\al(m－1,n)__.注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，留意Aeq\o\al(m,n)、Ceq\o\al(m,n)中的隐含条件m≤n，且m，n∈N＋.重要结论对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满意特别元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满意特别位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是(BD)A．全部元素完全相同的两个排列为相同排列B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C．若组合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，则x＝m成立D．kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)题组二走进教材2．(P27AA．144 B．120C．72 D．24[解析]“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.题组三考题再现3．(2024·安庆模拟)某单位要邀请10位老师中的6位参与一个会议，其中甲、乙两位老师不能同时参与，则邀请的不同方法有(D)A．84种 B．98种C．112种 D．140种[解析]由题意分析不同的邀请方法有：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝112＋28＝140(种)．4．(2024·晋中模拟)高三某班6名任课老师站在一排照相，要求甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的站法有多少种(A)A．144 B．72C．288 D．154[解析]甲与乙相邻，则将甲乙“捆绑”，作为一个整体，并与另外的两个人排列，有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)种方法；丙与丁不相邻，采纳插空法，有Aeq\o\al(2,4)种方法，依据分步计数原理，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)＝144种方法．5．(2024·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案)[解析]解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的状况有以下2种：①2女1男：有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4种选法；②1女2男：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．解法二：从2位女生，4位男生中选3人有Ceq\o\al(3,6)＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一排列问题——自主练透例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__(4)全体排成一排，女生必需站在一起；__576__(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__(7)全体排成一排，甲必需排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__[解析](1)从7个人中选5个人来排，是排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人排在后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特别元素．先排甲，有5种方法；其余6人有Aeq\o\al(6,6)种方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600种．解法二：(位置分析法)排头与排尾为特别位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有Aeq\o\al(2,6)种方法，中间5个位置由余下5人和甲进行全排列，有Aeq\o\al(5,5)种方法，共有Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(5,5)＝3600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将4名女生进行全排列，也有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有Aeq\o\al(2,2)种方法；其次步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有Aeq\o\al(3,5)种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720种．(7)消序法：eq\f(A\o\al(7,7),2！)＝2520.(8)间接法：Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,7)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720.位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有Aeq\o\al(6,6)(种)排法，甲不在右端的排法有5×5Aeq\o\al(5,5)(种)排法，∴共有Aeq\o\al(6,6)＋25Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有__720__种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有__960__种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有__960__种．[解析](1)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)＝720；(2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝960；(3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝960.名师点拨☞求解排列应用问题的6种主要方法干脆法把符合条件的排列数干脆列式计算优先法优先支配特别元素或特别位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法考点二组合问题——师生共研例2(1)(2024·广东中山模拟)从10名高校毕业生中选3个人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A．85 B．49C．56 D．28(2)(2024·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2024年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员安排到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必需在同一组，且每组至少2人，则不同的安排方法有(D)A．15种 B．18种C．20种 D．22种[解析](1)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,7)＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,7)＝7(种)，依据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．(2)先从两个不同的地点选出一地点安排A，B两人，有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)状况，再将剩余4人分入两地有三种状况，4人都去A，B外的另一地点，有1种状况；有3人去A，B外的另一地点，有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)状况；有2人去A，B外的另一地点，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)状况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有__56__种；②甲、乙都不入选的选法有__56__种．[解析]①Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝56②Ceq\o\al(3,8)＝56名师点拨☞组合问题常有以下两类题型改变：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必需非常重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用干脆法和间接法都可以求解，通常用干脆法分类困难时，考虑逆向思维，用间接法处理．〔变式训练1〕(1)(2024·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走平安，第一盏和最终一盏不关，则关灯方案的种数为(A)A．10 B．15C．20 D．24(2)(2024·辽宁沈阳东北育才学校模拟)某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中随意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有(C)A．8种 B．12种C．16种 D．20种[解析](1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有Ceq\o\al(3,5)＝10种．(2)若一名学生只选物理和历史中的一门，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种组合；若一名学生物理和历史都选，则有Ceq\o\al(1,4)＝4种组合；因此共有12＋4＝16种组合．故选C．考点三排列、组合的综合应用——多维探究角度1相邻、相间问题例3(1)(2024·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出依次有如下要求：节目甲必需排在前三位，且节目丙、丁必需排在一起，则该校毕业典礼节目演出依次的编排方案共有__120__种．(2)(2024·湖南师范高校附属中学模拟)某班上午有五节课，分别支配语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A．16 B．24C．8 D．12[解析](1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48种；②当甲在其次位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种状况，共Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．(2)依据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其依次，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况；②将这个整体与英语全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，支配物理，有2种状况，则数学、物理的支配方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．角度2特别元素(位置)问题例4(1)(2024·山西大同模拟)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，假如甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(C)A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8) B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9) D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)(2)(2024·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参与数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参与生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A．48 B．72C．90 D．96[解析](1)先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有Ceq\o\al(1,8)种方法，再排剩余的瓶子，有Aeq\o\al(5,9)种方法，故不同的放法共Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)种，故选C．(2)由于甲不参与生物竞赛，则支配甲参与另外3场竞赛或甲不参与任何竞赛．①当甲参与另外3场竞赛时，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(种)选择方案；②当甲学生不参与任何竞赛时，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)选择方案．综上所述，全部参赛方案有72＋24＝96(种)．[引申]本例(2)若增加“且乙不参与数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为__78__.[解析]①甲、乙都参赛有Ceq\o\al(2,3)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))＝42种方案；②甲参赛乙不参赛或乙参赛甲不参赛均有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝18种方案；∴共有42＋18＋18＝78种参赛方案．角度3分组、安排问题例5(1)按下列要求安排6本不同的书，各有多少种不同的安排方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均安排给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有__35__种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有__55__种．[解析](1)①Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60；②Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360；③eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15；④Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90；⑤Ceq\o\al(2,6)＝15；⑥Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90；⑦Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝30.(2)①Ceq\o\al(4,7)＝35；②Ceq\o\al(2,11)＝55.名师点拨☞解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；其次步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即依据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．留意：(1)匀称分组时要除以匀称组数的阶乘；(2)相同元素的安排问题常用“隔板法”．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·浙江湖州期末)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__eq\f(2,5)__.(2)(角度2)(2024·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A．36种 B．42种C．48种 D．60种(3)(2024·甘肃兰州模拟)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京实行，为了爱护各国元首的平安，将5个安保小组全部支配到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的支配方法共有(D)A．96种 B．100种C．124种 D．150种[解析](1)由题意，5个不同的小球全排列为Aeq\o\al(5,5)＝120，同一色的有2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝48种，同二色的有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝24种状况．故同一颜色的小球不相邻的排列总数有120－48－24＝48种．故相同颜色的球都不相邻的概率是eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).(2)依据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种状况探讨：①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种状况，将剩余的3人全排列，支配好在剩余的三个位置上，此时共有3Aeq\o\al(3,3)＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B．(3)因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组的状况：一种是1,1,3，另一种是1,2,2.当依据1,1,3来分时，共有N1＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝60(种)，当依据1,2,2来分时，共有N2＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(种)，依据分类加法计数