2024-2025学年高中数学第一章集合1.1集合的含义与表示学案含解析北师大版必修1

PAGE第一章集合§1集合的含义与表示学问点一元素与集合的相关概念[填一填][答一答]1．(1)集合中的元素可以是相同的吗？提示：不行以．集合中的元素必需是不同的，同一个元素在一个集合中只可以出现一次，即集合中的元素是互异的．(2)推断一组对象能否构成集合的关键是什么？提示：关键是这些对象是否满意确定性与互异性．学问点二元素与集合的关系及元素的特性[填一填](1)元素a与集合A的关系：关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(属于：a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”.,不属于：a不是集合A的元素，记作a∉A，读作“a不,属于A”.))(2)集合元素的特性：集合中元素的特性为确定性、互异性、无序性．[答一答]2．(1)元素与集合之间除了“∈”和“∉”外，还有其他关系吗？提示：没有．元素与集合之间只有两种关系，任何一个元素与一个集合间，两种关系必有一种成立．(2)如何判定一个元素是否属于某个集合？提示：判定一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否符合集合中元素的特征性质，只有符合其特征性质才是这个集合中的元素．学问点三列举法[填一填]把集合中的全部元素都列举出来，写在大括号“{}”内表示集合的方法．[答一答]3．(1)列举法是否可以表示全部的集合呢？说明理由．提示：不行以．对于集合中元素个数有无限个且没有规律的集合是不行以用列举法表示的．(2)用列举法表示集合的关键是什么？提示：关键是找到集合中的全部元素，并把它们一一列举出来或找到其呈现的规律．学问点四描述法[填一填]集合的特征性质及描述法(1)集合的特征性质：假如在集合I中，属于集合A的随意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．(2)描述法表示集合：[答一答]4．(1)是否存在集合既可以用列举法表示又可以用描述法表示？请举例说明．提示：存在．比如正奇数的集合可以表示为{1,3,5，7，…}，也可以表示为{x|x＝2n＋1，n∈N}．但是也有些集合是不行以的，如大于1的实数只能用描述法表示为{x|x>1，x∈R}．(2)集合A＝{x|x>1}与B＝{t|t>1}是否表示同一个集合？提示：是．虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于1的全部实数组成的集合，因而表示同一个集合．1．对集合概念的两点说明(1)集合是数学中不加定义的原始概念，我们只对它进行描述性说明．(2)集合是一些能够确定的不同的对象的整体，其中“整体”已暗含“全部”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦构成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而并非个别对象．2．0、含有一个元素0的集合A、∅，三者之间的区分与联系(1)0与A是不同的，0只是一个数字，而集合A则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是0∈A.(2)∅与A是不同的，∅中没有任何元素，而A则表示含有一个元素0的集合，它们之间的关系是两个集合之间的关系．3．对集合的分类的两点说明(1)集合通常是依据集合中元素个数来分类，假如集合中有有限个元素，则为有限集；假如是有无限个元素，则为无限集．(2)常见的自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集都是无限集，它们的表示符号肯定要牢记．4．列举法表示集合时应关注的五点(1)用列举法表示集合时首先要留意元素是数、点，还是其他的对象，即确定性．(2)元素之间用“，”隔开而非“；”．(3)元素不能重复且无遗漏．(4)“{}”本身带有“全部的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在大括号内表示内容时，应把“全部”“全部”或“全体”等词语删去．(5)表示有特殊规律的无限集时，必需把元素间的规律表示清晰后才可以用省略号．5．描述法表示集合应关注的五点(1)写清晰集合中代表元素的符号，照实数或有序实数对(点)，留意集合中对代表元素符号的范围进行限制，若没有注明范围，一般是在实数范围内考虑问题．(2)说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、函数或几何图形等．(3)描述部分若出现元素符号以外的字母时，要对新字母说明其含义并指出其取值范围．(4)全部描述的内容都要写在大括号内，用于描述的语句力求简明、准确．(5)多层描述时，应当精确运用“且”和“或”，并且全部描述的内容都要写在集合符号内.类型一集合的概念【例1】推断下列每组对象能否构成一个集合：(1)数学必修1课本中全部的难题；(2)满意不等式2x－1≥1的x的值；(3)方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解；(4)π的近似值的全体．【思路探究】此类题目应先分析各组对象是否具有确定性和互异性，然后再作推断．【解】(1)“难题”无明确的标准，对于某个题是否“难”无法客观地推断，故“数学必修1课本中全部的难题”不能构成一个集合．(2)随意给一个实数x，可以明确地推断x是不是“满意不等式2x－1≥1的x的值”，即“x≥1”与“x<1”两者必居其一，且仅居其一，故“满意不等式2x－1≥1的x的值(3)随意给一个实数x，可以明确地推断x是不是方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解，即“x2－3x＋1＝0”与“x2－3x＋1≠0”两者必居其一，且仅居其一，故“方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解(4)“π的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难推断一个数是不是π的近似值，故“π的近似值的全体”不能构成一个集合．规律方法推断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合的元素．下列各组对象能构成集合的有1个．(1)平昌冬奥会速滑竞赛中滑得很快的选手；(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上的若干个点；(3)不超过2019的非负数．解析：(1)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地推断，因此，“平昌冬奥会速滑竞赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(2)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上的若干个点”不能构成一个集合．(3)任给一个实数x，可以明确地推断x是不是“不超过2019的非负数”，即“0≤x≤2019”与“x<0或x>2019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2019的非负数类型二元素和集合的关系【例2】(1)若3∈{m－1,3m，m2－1}，则m(2)若2∉{x|x－a≥0}，则实数a的取值范围是________．【思路探究】当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a肯定满意集合中元素的共同特征．若集合A是用列举法表示的，则a肯定等于集合A中的某个元素．当a∉A时，结论相反．【解析】(1)因为3∈{m－1,3m，m2－1}，所以当m－1＝3时，m＝4，此时3m＝12，m2－1＝15，符合题意．当3m＝3时，m＝1，此时，m－1＝0，m2－1＝0，不符合集合中元素的互异性．当m2－1＝3时，m＝2或－2，若m＝2，则m－1＝1,3m＝6，符合题意；若m＝－2，则综上知m＝4,2或－2.(2)由2∉{x|x－a≥0}得2－a<0，所以a>2.【答案】(1)4,2或－2(2)a>2规律方法a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素．依据集合中元素的确定性，可知对任何a与A，在a∈A与a∉A这两种状况中必有一种且只有一种成立．已知集合M中有两个元素3，m＋1，又4∈M，则实数m的值为(B)A．4 B．3C．2 D．1解析：由题意得m＋1＝4，即m＝3.类型三集合的表示【例3】用适当的方法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)式子eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)(a≠0，b≠0)的全部值组成的集合C；(3)不等式2x－7<3的解集A；(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【思路探究】(1)用列举法表示集合的关键是把集合的元素全部找出来，再按列举法的规则正确表示．(2)用描述法表示集合的关键是正确描述出集合元素的共同特征，再按描述法的格式正确表示．【解】(1)大于1且小于6的整数有2,3,4,5，所以集合A＝{2,3,4,5}．(2)当a>0，b>0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝2.当a<0，b<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝－2.当a>0，b<0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.当a<0，b>0时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.所以集合C＝{－2,0,2}．(3)解2x－7<3得x<5，所以A＝{x|x<5}．(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，所以D＝{(x，y)|x·y＝0，x∈R，y∈R}．规律方法列举法表示集合时要留意集合元素的互异性、无序性和确定性，元素与元素之间用“逗号”隔开．集合所含元素较少或所含元素不易表述时适用列举法．描述法表示集合时要表述清晰元素的属性．集合所含元素较多或所含元素较易表述时适用描述法．常用的点集与数集的表示要区分开．用适当的方法表示下列集合．(1)全部能被3整除的整数；(2)满意方程x＝|x|的全部x的值构成的集合．解：(1)能被3整除的整数可以表示为3n(n∈Z)，所以用描述法表示为{x|x＝3n，n∈Z}．(2){x|x＝|x|}或{x|x≥0}．类型四集合表示法的综合应用【例4】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．(1)若A中没有任何元素，求实数a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求实数a的取值范围；(3)若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；(4)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【思路探究】集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0的解构成的集合．二次项系数a在整个实数范围内取值，要对a＝0和a≠0进行分类探讨．A中只有一个元素，可以是方程只有一个根，也可以是方程有两个等根．【解】(1)若A中没有任何元素，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实根．当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝4－4a<0，解得a∴当a>1时，A中没有任何元素．(2)若A中只有一个元素，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根．当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)，符合题意．∴当a＝0或1时，A中只有一个元素．(3)由(2)知，A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.A中有两个元素时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ>0，))解得a<1，且a≠0，综上，当a≤1时，A中至少有一个元素．(4)若A中至多有一个元素，综合(1)(2)知a的取值范围为a≥1或a＝0.规律方法本题考查了数学建模、数据分析及数学运算的素养．分类探讨思想适用于解决从整体上难以解决的数学问题．运用该思想时，把问题进行科学规划特别必要，必需遵循不重、不漏和最简的原则．(1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2}，若x∈A，且x∉B，则x＝(A)A．－1 B．0C．1 D．2解析：只有元素－1满意x∈A，且x∉B.(2)若集合P含有两个元素1,2，集合Q含有两个元素1，a2，且P，Q相等，则a＝±eq\r(2).解析：由P，Q相等，得a2＝2，从而a＝±eq\r(2).经检验，符合题意．——易错误区——忽视集合中元素的互异性【例5】已知集合A是由1,3，a2＋a，a＋1四个元素构成的，若a∈A，求实数a的值．【错解】①若a2＋a＝a，则a＝0；②若a＋1＝a，则a∈∅.所以实数a的值为0,1,3.【正解】①当a＝1时，集合A中元素为1,3,2,2，不满意集合中元素的互异性，舍去；②当a＝3时，集合A中元素为1,3,12,4，符合题意；③当a＝a2＋a，即a＝0时，集合A中元素为1,3,0,1，不满意集合中元素的互异性，舍去；④当a＝a＋1时，a不存在．综上所述，实数a的值为3.【错因分析】错解忽视了当a＝0或a＝1时，集合A中的元素不满意互异性．【防范措施】集合中元素要求具备“确定性”“互异性”“无序性”，在解题时应特殊留意互异性，否则极易出现增解．已知集合A中含有三个元素0,1，x，若x2∈A，求实数x的值．分析：既然x2是集合中的元素，则它既可能是1，也可能是0，或者是x，需对其进行分类探讨．解：(1)当x2＝0时，得x＝0，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．(2)当x2＝1时，得x＝±1.若x＝1，此时集合A中有两个相同的元素，舍去；若x＝－1，此时集合A中有三个元素0,1，－1，符合题意．(3)当x2＝x时，得x＝0或x＝1，由上可知都不符合题意．综上可知，符合题意的x的值为－1.一、选择题1．下列语句所描述的对象的全体能构成集合的是(C)A．校内喜爱体育的学生B．本班视力良好的学生C．参加国庆60周年大阅兵的全部徒步方队D．本班身材高大的学生解析：推断所给的对象能否构成集合，关键是理解集合的概念，明晰集