湖南省衡阳市某中学2023-2024学年高一年级上册入学分班考试数学模拟试卷

湖南省衡阳市八中2023-2024学年度新高一入学分班考试

数学模拟卷

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.Ca-b)2=a2-b2B.(-2a2)3=8/

C.a3^a2=aD.2a2+a2=3a4

2.（3分）陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，2021年春节期间累计接

待游客约37200人次，数据37200用科学记数法可表示为（）

A.372X102B.3.72X103C.3.72XI04D.0.372X105

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+a=aB.a6-ra3—a3

C.(-/〃)3=〃6.3D.(。+2)2=/+4

（3分）化简分式写尝后得（

4.)

2aaa2a

A.----B.----C.—D.

x-yx-yx+yx+y

方学二则（x+y）«y）的值是（

5.（3分）已知二元一次方程组•)

A,।乙y一o

A.15B.-5C.5D.-15

6.（3分）已知：关于x的一元二次方程（R+r）x+$/2=o无实数根，其中心尸分别

是。01,。。2的半径，”为此两圆的圆心距，则的位置关系为（)

A.外离B.相切C.相交D.内含

7.（3分）如图所示，在梯形A3CD中，AB//CD,NABC=a,ZBAD=^,则A£＞：BC等

于（）

cosasinastripsin/3

A，丽B.----

sinp'cosa•sina

8.（3分）如图，已知点O是等边4ABC三条高的交点，现将△AOB绕点。至少要旋转几

度后与△8OC重合（）

C.240°D.360°

9.（3分）如图是边长为2的正方形及其内切圆和外接圆，则图中阴影部分的总面积为（）

A.3TI-4B.n+4C.511-4D.3TT+4

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在△ABC中，点C（-1,0）.点

A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，NACB=30°,AC=A8=2g,过点B作

x轴于点Q,AE平分NBAD交BD于点E,则点£的坐标（）

11.（3分）假设计算式表示经过计算后a的值变为a的原值和b的原值的和：又

表示经过计算后b的值变为b的原值和c的原值的乘积.假设计算开始时a=

0.b=1,c=1.对a,b,c同时进行以下计算：（1）a#n+6；（2）b#h,c\（3）c#a+b+c（Bp

c的值变为所得到的a,6的值和c的原值的和）.连续进行上述运算共三次，则计算结束

时mb,c三个数之和是（）

A.1位数B.2位数C.3位数D.4位数

12.（3分）关于x的方程有两个不相等的实根xi,X2＞若X2=2XI,则4Z?-3ac

的最大值是（)

A.1B.2C.4D.6

二.填空题（共6小题，满分15分）

13.（3分）如图，在菱形ABC。中，对角线AC、8。相交于点0,80=8,lan/A8O=9,

Yx

14.（3分）关于x的方程——+（—）2=2,方程的所有的所有实根的和

X+lX+1

为.

15.（3分）已知实数满足J+2a=b+2,廿+2b=a+2,则代数式2+色的值等于

ba

16.阅读材料：如果两个正数〃、b,即a>0,b>0,则有下面的不等式学2当且

仅当时取到等号.我们把拳叫做正数〃、b算术平均数，把点叫做正数。、》的

几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）

它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具.根

据上述材料，若y=3x+'（x>0）,则y最小值为.

17.（3分）若r为实数，W-4x+r-2=0的两个非负实数根为a,6,则代数式（a2-1）（房

-1）的最小值

18.（3分）已知一次函数yi=+〃?与二次函数以=7-5x+4,若满足yi>0且）2<0

时的自变量x的取值范围内有且只有一个整数，则m的取值范围

是.

三.解答题（共8小题，满分66分）

19.（6分）【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组=采用了一种“整

（4%+lly=5（2）

体代换”的解法：解：将方程（2）变形：4%+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5（3）,把方

程（1）代入（3）得：2X3+y=5,所以y=-1,将y=-1代入（1）得x=4,所以原方

程组的解为z

【解决问题】：

（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组《，~^=；Q；

（2）已知x,y满足方程组［：：；：曹。2；：5°,求f+4）,2的值.

20.（8分）2022年的冬天，越来越多的游客选择到山西九龙山滑雪场来放松一下自己，体

验一下蓝蓝的天空，皑皑白雪的浪漫，重温一下儿时的激情和与大自然抗争的成就感，

更能领略一下冬天滑雪的魅力.图1,图2分别是一名滑雪爱好者在滑雪过程中某一时刻

的实景图与示意图，此时运动员的小腿EO与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，

G为头部，且G,E,。三点共线.若滑雪杖EM长为EF^OAm,NEMD=30°,

ZGF£=62°,求此时滑雪爱好者头部G到斜坡AB的距离.（精确到0.1m）（参考数据：

sin620弋0.88,cos62°七0.47,tan62°弋1.88）

AC

图1图2

21.（8分）青岛方特梦幻王国位于美丽的山东省青岛市红岛海滨，由深圳华强集团投资兴

建.火流星是其经典项目之一.如图所示，尸一E-G为火流星过山车的一部分轨道，它

可以看成一段抛物线.其中OE=等米，OF=黑米（轨道厚度忽略不计）.

（1）求抛物线FfEfG的函数关系式；

（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和G,当过山车运动到G处时，平行于地面

向前运动了蓝米至K点，又进入下坡段K-H（K接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物

线Kf”fQ的形状与抛物线PfE—G完全相同，在G到。的运动过程中，求OH的距

禺:

（3）现需要在轨道下坡段F-E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、

CM、BN、DN,且要求。4=A8.己知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，

会使造价最低？最低造价为多少元？

22.(8分)解方程：yjx2—7x+10-Vx2+x-6=x-2.

23.（8分）如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，。是女的中点，E为。。延长线上

一点，且/C4E=2/C,AC与交于点〃，与0E交于点F.

（1）求证：AE是。。的切线;

（2）若。。的半径10,tanC=4求线段。H的长.

24.（8分）二次函数y=/+fct+c的图象与x轴交于点A（xi,0）,B（必0）且XIWA?.

(1)当xi=2,且/?+c=-6时,

①求匕，c的值；

②当fWxWr+2Bj,二次函数y=x2+bx+c的最小值为It,求t的值；

3

（2）若xi=3x2,求证：-b-cW3.

2

25.（10分）（1）【探究发现】如图1,已知点。是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB

延长线上一点，作。FLOE交BA延长线于F点.小明探究发现，是等腰直角三

角形.请证明这个结论.

（2）【模型应用】如图2,在（1）的结论下，延长08、FE交于点P,若8c=6,BE=

2,求8P的长.

（3）【拓展提升】如图3,若点G是正方形ABCQ对角线上一点，DG=2BG,BC=

6,点E在C8的延长线上运动时，连接EG,作FG,EG交直线AB于F点，设BE=x,

记AEGF与正方形ABC。的重合面积为S,请直接写出S关于x的关系式.

1)在)，轴上，连接例，，如图1,将例，绕着，点顺时针旋转90°至点"，点”正好

落在x轴上.

(1)求％的值和点AT的坐标；

(2)若点P在反比例函数图象上，连接HP并延长至点E,使得PE=PH,连接EM,

PM,

①如图2,连接MP并延长交x轴于点0,当PM'轴时，试说明EM'平分NPM'

Q；

②如图3,连接交HE于点Q,将沿着翻折，记点H的对应点为H1,

若点“恰好落在线段尸E上，求△M'H'E与△PM'。面积之比.

图1图2图3

湖南省衡阳市八中2023-2024学年度新高一入学分班考试

数学模拟卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1.（3分）下列计算正确的是（）

A.（«-b）2—a2-b2B.（-2a2）3=8a4

C.a3-rc^—aD.2a2+a2—3a4

【考点】完全平方公式；合并同类项；幕的乘方与积的乘方；同底数累的除法.

【分析】各式计算得到结果，即可作出判断.

【解答】解：A、原式=J-2"+廿，不符合题意；

B、原式=-8«6,不符合题意；

C、原式="，符合题意；

D、原式=3/,不符合题意.

故选：C.

2.（3分）陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，2021年春节期间累计接

待游客约37200人次，数据37200用科学记数法可表示为（）

A.372X102B.3.72X1（）3c.3.72X104D.0.372X105

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为“Xio”的形式，其中iwiavio,"为整数.确定〃的

值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【解答】解：37200=3.72X1（）4,

故选：C.

3.（3分）下列计算正确的是（〉

A.a+ci2=aiB.a6-i-a3=ai

C.（-a2h）3="67口.（a+2）2=a2+4

【考点】完全平方公式；合并同类项；基的乘方与积的乘方；同底数累的除法.

【分析】根据合并同类项法则，同底数基的除法的运算法则，辱的乘方与积的乘方的运

算法则，完全平方公式解答即可.

【解答】解：A、。与/不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意;

8、原计算正确，故此选项符合题意；

C、（-办尸=-心.，原计算错误，故此选项不符合题意;

D、（〃+2）2=/+4〃+4,原计算错误，故此选项不符合题意.

故选：B.

4.（3分）化简分式学鸟后得（)

2aaa2a

A.---B.---c.—D.---

x-yx-yx+yx+y

【考点】约分.

【分析】先把分子和分母因式分解，再约分即可得出答案.

【解答】解：原式=播捻

a

x—y

故选：B.

5.（3分）已知二元一次方程组FWyn：,则（x+y）G-y）的值是（）

（%+2y=8J/

A.15B.-5C.5D.-15

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【分析】利用①-②可求出（x-y）的值，利用（①+②）+3可求出（x+y）的值，从而

可得答案.

【解答】解:fx+y=7%

卜+2y=8@

①+②得：3x+3y=15,

***x+y=5,

①-②得：x-y=-1,

:.（x+y）（x-y）=5X（-1）=-5,

故选：B.

6.（3分）已知：关于x的一元二次方程？-（R+r）x+$/2=0无实数根，其中R,r分别

是001,。02的半径，d为此两圆的圆心距，则。。1,。02的位置关系为（）

A.外离B.相切C.相交D.内含

【考点】圆与圆的位置关系；根的判别式.

【分析】解答本题，先要根据题意得出根的判别式，然后再针对两圆位置关系与圆心距

以两圆半径R,/•的数量关系间的联系，得出具体位置关系.

【解答】解：根据题意，方程无实数根，可得（R+r）2-/<o,

则：（R+/S-J）（R+r-d）<0,

因为R+^d>0,所以R+r-dVO,

即：d>R+r,

那么，两圆外离.

故选：A.

7.（3分）如图所示，在梯形A8C。中，AB//CD,ZABC^a,ZBAD=^,则AO：BC等

于（）

sin(3sin/?

C.D.

cosasina

【考点】解直角三角形；梯形.

【分析】分别过点D和点C作DE1AB交AB于点E,CF±AB交A8于点F,根据

sina=盖，sin0=有，将两者相比即可求出结果.

【解答】解：过点。和点。作交A8于点E,C凡LA8交A8于点F.

\'AB//CDf

：.DE=CF.

np

在RtAWE中,sinp=~

在RtZ\8C/中，sina=能.

,,ADsina

故一=----.

BCsinp

故选：B.

D

8.（3分）如图，已知点。是等边4ABC三条高的交点，现将△AOB绕点0至少要旋转几

度后与△BOC重合（）

A.60°B.120°C.240°D.360°

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质.

【分析】先根据等边三角形的性质得出/408=/46^=/8。7=120°,再根据旋转的

性质得出△AOB绕点O旋转后与△BOC重合至少要旋转的度数.

【解答】解：••,点。是等边4ABC三条高的交点，

AZAOB=ZAOC=ZBOC=\20°,

由旋转的性质得出△AOB绕点。逆时针至少旋转120度后与△BOC重合.

故选：B.

9.（3分）如图是边长为2的正方形及其内切圆和外接圆，则图中阴影部分的总面积为（）

A.3n-4B.n+4C.5TT-4D.3n+4

【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；正方形的性质；三角形的内切圆与内心.

【分析】阴影部分的面积=大圆面积减去正方形面积+小圆面积.

【解答】解：阴影部分的面积=大圆面积减去正方形面积+小圆面积=TT（鱼）2-4+7T-12

=3n-4,

故选：A.

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在△A8C中，点。（-1,0）.点

A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，NACB=30°,AC=AB=2^3,过点B作8。，

x轴于点。，AE平分NBA。交8。于点E,则点E的坐标()

【分析】由AB=AC可得/ABC=NAC8,则可求得NBA£>=60°,利用余弦可求得A。

的长度，再由角平分线的定义可得NEA£>=30°,利用正切即可求OE的长度，从而可点

E的坐标.

【解答】解：：AC=A8=2百，N4CB=30°,

：.ZABC=ZACB=30°,

NBAD=ZABC+ZACB=60°,

；8£>，》轴于点£>,

.,.cosZBAD=%，

•••8S6。。=翡

解得：AD=V3,

平分/BAD,

：.ZEAD=30°,

np

・・・lanNE4O=弟，

即tan30°=胃,

解得：DE=l,

•.•点C(-1,0),

：.AO=AC-1=2V3-1,

OD=AO+AD=3V3-1,

...点E的坐标为:(3V3-1,1).

故选：B.

11.(3分)假设计算式""#〃+/'表示经过计算后a的值变为a的原值和b的原值的和：又

llb#b-c"表示经过计算后b的值变为b的原值和c的原值的乘积.假设计算开始时a=

0,b—1,c—1.对a,b,c同时进行以下计算:(1)a#a+b；(2)b#b,c；(3)dta+b+c(RP

c•的值变为所得到的a,6的值和c的原值的和).连续进行上述运算共三次，则计算结束

时小b,c三个数之和是()

A.1位数B.2位数C.3位数D.4位数

【考点】规律型：数字的变化类.

【分析】读懂上述运算，理解新运算的规则，按照新规则对八Ac,同时进行连续三次运

算，最后求和确定答案.

【解答】解：对〃、方、c同时进行连续三次运算后的结果如下：

运算次数123

a125

b1324

c3837

经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66,它是一个两位数.

故选：B.

12.(3分)关于x的方程n/+bx+c=0有两个不相等的实根,X2,若X2=2XI,则4b-3ac

的最大值是()

A.1B.2C.4D.6

【考点】根与系数的关系：根的判别式.

【分析】根据根与系数的关系得出xi+%2=-,,x\x2=由%2=2x1得出3x1=即

内=-急可解出处由两根之积可得ac=款，代入代数式即可得到46-3碇=一|(6

­3)，6,从而求得-3ac的最大值是6.

【解答】解：•・,关于X的方程。/+版+。=0有两个不相等的实根处、X2,

.bc

..X\+X2=——a,X\X2=一a，

•X2=2XI，

•••3x1=4即内=一品

.2b

,・X2=一打

.c2b2

，，Q-9a2，

.*•ac=电2，

-3ac=4b-3x|/=4b—|/=-|（fe-3）2+6,

2

••・一尸，

：.4b-3ac的最大值是6,

故选：D.

二.填空题（共6小题，满分15分）

13.（3分）如图，在菱形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，B£>=8,tan/A8n=],

q

【考点】菱形的性质；解直角三角形.

【分析】由菱形的性质得8O=OO=；8O=4,ACJ_B£>,再由锐角三角函数定义求出。4=

*08=3,然后由勾股定理求出A8的长即可.

【解答】解：•••四边形A8C。为菱形，BD=8,

1

：.B0=0D=^BD=4,AC±BDf

：.ZAOB=90°,

nA0

VtanZAB£>=gg=J,

：.0A=]0B=3,

在RtZVIBC中，AO=3,0B=4,

：.AB=yJOA2+OB2=V32+42=5,

故答案为：5.

XXo

14.（3分）关于x的方程「■+（―7）2=2,方程的所有的所有实根的和为—

x+1x+1----3—

【考点】换元法解分式方程.

【分析】可根据方程特点设则原方程可化为y+V=2.解一元二次方程求y,再

求X.

【解答】解：设y=5p则原方程可化为y+y2=2.解得yi=l,yi=-2,

x

当yi=l时，---=1,无解；

%+1

X7?

当”=-2时，---=-2,x=-经检验工=-个是原方程的解.

X+1§3

故答案为-亨.

15.（3分）已知实数a,8满足a2+2”=〃+2,■+26=4+2,则代数式：+2的值等于2或

ba

7.

【考点】根与系数的关系：分式的化简求值.

【分析】分两种情况：（1）当时；（2）当aWb时，联立方程组，运用加减消元法

并结合完全平方公式，求得次+房和油的值，然后将原式通分化简，代入求解.

ab

【解答】解：（1）当。=/?时，—+-=1+1=2；

ba

（2）当aHb时,联立方程组+织，

卜2+2b=Q+2②

将①+②得：〃2+庐+2〃+2/?=/?+。+4,

整理得：a2+b2+a+b=4@,

将①-②得：/-廿+2。-2b—b-a9

整理得：a'-廿+3〃-38=0,

（〃+。）（a-b）+3（a-b）=0,

（a-b）（〃+b+3）=0,

又•：aWb,

.•.q+b+3=0,即a+b=-3④,

将④代入③，得a2+h2-3=4,即a2+h2=7,

又：Ca+b)2=J+2"+必=%

ab=\,

aba2+b27

・,•一+-=------=-=7.

baab1

综上所述，代数式2+2的值等于2或7.

ba

故答案为：2或7.

16.阅读材料：如果两个正数〃、h,即〃>0,b>0,则有下面的不等式等2"k当且

仅当〃=人时取到等号.我们把等叫做正数人6算术平均数，把而叫做正数。、匕的

几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)

它们的几何平均数.它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.根

据上述材料，若y=3x+，(x>0),则y最小值为_6>/2_.

【考点】因式分解的应用；不等式的定义.

【分析】依据题意，读懂题目然后由公式可以得。+匕-2病，从而y》2m=6立，进而

可以得解.

【解答】解：由题意，V—>\[ab,

.,.〃+/?22

Vx>0,

6

/.3x>0,—>0,

x

...y=3x+《22J3x-|=2^=672.

故答案为：6V2.

17.(3分)若/为实数，/-4x+「2=0的两个非负实数根为“，b,则代数式(«2-1)(^2

-1)的最小值-15

【考点】根与系数的关系.

【分析】先根据根与系数的关系可得。+匕=4,ab=t-2,将所求代数式化简代入可得结

论.

【解答】解：・・・/-4"-2=0的两个非负实数根为〃，b,

.\a+h=4fah=t-2,△=16-4(r-2)20.

<6-^-2)>0>解得:20<6,

.•.a2+Z>2=(a+6)2-2"=42-2(r-2)=-2r+20,

(a2-1)(/?2-1)—c^b2-(a2+/?2)+1=(r-2)2+2r-20+1=P-2r-15—(r-1)2

-16,

；2WfW6,

...当t=2时,代数式(a2-1)(ft2-1)有最小值，

二代数式(a2-1)(b2-1)的最小值是1-16=-15,

故答案为：-15.

1

18.(3分)已知一次函数yi=[X+根与二次函数丫2=/-5%+4,若满足yi>0且y2Vo

时的自变量X的取值范围内有且只有一个整数，则根的取值范围是一|v%W-l.

【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；二次函数的性质.

【分析】令"=0可求出二次函数图象与x轴的交点坐标，进而可得出满足”<0时自变

量x的取值范围，结合满足yi>0且y2<0时的自变量x的取值范围内有且只有一个整

数，即可得出关于，"的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

【解答]解：令*=0,即/-5x+4=0,

解得：Xl=l,X2=4,

・・・满足y2<0时自变量x的取值范围为1VxV4.

•・,满足VI>0且V2<0时的自变量x的取值范围内有且只有一个整数，

3

_2VmW_1.

三.解答题（共8小题，满分66分）

19.（6分）【阅读材料】：善于思考的小明在解方程组=时，采用了一种“整

（4%4-lly=5（2）

体代换”的解法：解：将方程（2）变形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5（3）,把方

程⑴代入⑶得：2X3+y=5,所以y=-1,将y=-1代入（1）得x=4,所以原方

程组的解为［1）］.

【解决问题】：

（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组=：o；

（2）已知X,y满足方程组｛；：；；；"；?；：5°，求7+4尸的值.

【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组.

【分析】（1）将方程②化为3x+2（3x-2y）=19,再将方程①代入可求出x的值，进而

求出方程组的解即可；

（2）将方程②义2,再与方程①相加后化简即可.

【解答】解：（1）-2y=5父，

由②可得，3犬+2（3x-2y）=19③，

将①代入③得，3x+10=19,

解得x=3f

把x=3代入①得，9-2y=5,

解得，y=2,

所以原方程组的解为

22

⑵（3x-2xy+12y=50@；

（x2+xy+4y2=25②

②X2得，2?+2A>'+8y2=50@,

①+③得，5/+2Oy2=ioo,

所以%2+4y2=20.

20.（8分）2022年的冬天，越来越多的游客选择到山西九龙山滑雪场来放松一下自己，体

验一下蓝蓝的天空，皑皑白雪的浪漫，重温一下儿时的激情和与大自然抗争的成就感，

更能领略一下冬天滑雪的魅力.图1,图2分别是一名滑雪爱好者在滑雪过程中某一时刻

的实景图与示意图，此时运动员的小腿ED与斜坡A8垂直，大腿EF与斜坡AB平行，

G为头部，且G,E,。三点共线.若滑雪杖EM长为1如EF=OAm,ZEMD=30Q,

ZGFE=62°,求此时滑雪爱好者头部G到斜坡AB的距离.（精确到0.1”）（参考数据：

sin62°-0.88,cos62°七0.47,tan62°«1.88）

G

图1图2

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】连接GE,贝I」GD=GE+ED,解直角△GEF,求出GE=E「tan62°弋

0.752m,解直角求出ED=±EM=0.5m,代入G£>=GE+E£>,计算即可.

【解答】解：如图，连接GE',

"：DE±ABS.EF//AB,

：.EFLGD,

贝ijGE±EF,GD=GE+ED,

在直角△GEF中，

,：ZGEF=90Q,NGFE=62°,EF^OAm,

：.GE=£Ftan62°40.752m,

在直角中，

:NEDM=90°,ZEMD=30°,EM=lm,

1

：.ED=^EM=0.5m,

；・GD=GE+EDM.3m.

答：此刻滑雪者头部G到斜坡AB的距离约为13%.

G

M

D

A

21.（8分）青岛方特梦幻王国位于美丽的山东省青岛市红岛海滨，由深圳华强集团投资兴

建.火流星是其经典项目之一.如图所示，F-为火流星过山车的一部分轨道，它

可以看成一段抛物线.其中0E=等米，0F=玲米（轨道厚度忽略不计）.

（1）求抛物线FfE—G的函数关系式;

（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和G,当过山车运动到G处时，平行于地面

向前运动了7米至K点，又进入下坡段K-4（K接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物

线K-H-Q的形状与抛物线P-E-G完全相同，在G到。的运动过程中，求0”的距

离；

（3）现需要在轨道下坡段F-E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架4M、

CM、BN、DN,且要求0A=A8.已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，

会使造价最低？最低造价为多少元?

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可;

（2）先求出P,G坐标，再求出PG长度，通过抛物线Kf4一。的形状与抛物线PfE

-G完全相同，平移长度为PG+GK,可得抛物线K一〃一。解析式，可得结论；

（3）先设出4,8横坐标，再代入解析式，分别求出M,N的纵坐标，然后求出AM,

CM,BN,£W之和的最小值，从而求出最低造价.

【解答】解：（1）由图象可设抛物线解析式为y=“（尤一第）2,

把尸（0,于）代入，得：

16

125259

----a（0--Q-）2,

168

解得：«=

・,・抛物线〜jG的函数关系式为尸卷*等)2；

（2）当y=5时，5=[（x—等）2

解得：R二|，X2=等

545

：.P（一，5）,G（―,5）,

88

45540

I.PG=T-8=-8-=5,

:抛物线—Q的形状与抛物线尸一EfG完全相同，

二抛物线K-4一Q由抛物线P-E-G向右平移(PG+GK)个单位,

二抛物线Kf"f。为(x-等一5-竽)2=1(x-10)2,

令y=0,则x=10,

.•.OH=10；

(3)设O4=4B=a,A(a,0),B(2a,0),

4,25、242—125

)”耳(。一石)=铲--5a+记’

4/c25、2162125

yjv=耳(2a—g-)=-1in0。+不彳，

：・l=AM+CM+BN+DN

4,125,16s1251c

=耳2一~~—I—g-Q2”-10。++2。

42sli25

=4Q--12〃+-3-

o

_z3、2।53

=44（a-2）

V4>0,

...开口向上，

n53

.••当4=5时，/最短，最短为

28

80000X=530000（元），

当OA=AB=|时，造价最低，最低造价为530000元.

22.（8分）解方程：V%2—7%4-10—V%2+%—6=x-2.

【考点】无理方程.

【分析】首先分别设立2一7%+10=/t/+x—6=〃；将上述两式平方后相减，得

至ljM-『=x-2；化简后得入=七卢，代入上式并整理得到：3X2-8X-60=0,解该方程

即可解决问题.

［解答］解：设—7%+10=九y/x2+X—6=〃，

则入之-仔=-8x+16©；入-口=元-2②；

当x-2#0时，由①+②得：入+|1=-8③，

由②+③得：2A=x-10,人=土/，

?

.(%-10)Z

.»x2—7x+10=--彳，

整理得：3/-8%-60=0,

解得：Xl=6,X2=一学，

经检验：xi=6,%2=-当均是原方程的增根，

当x=2时，经检验x=2是方程的根，

Ax-2.

23.(8分)如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，。是衣的中点，E为。。延长线上

一点，且NC4E=2NC,AC与B。交于点”，与。E交于点尸.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)若。。的半径10,tanC=*,求线段ZW的长.

【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；垂径定

理；圆周角定理；切线的判定与性质.

【分析】(1)由垂径定理得出OO-L4C,进而得出NMO+NAOF=90°,由圆周角定理

结合已知条件得出NAOF=NC4E,得出/以O+/C4E=90°,即NOAE=90°,即可

证明AE是。0的切线；

(2)连接AD,利用解直角三角形得出tanB=错=,，设4O=3x,则BD=4x,AB=5x,

由。。的半径10,得出AB=5x=20,求出x=4,求出AC=12,BD=\f>,继而证明^

ADH^/XBDA,利用相似三角形的性质即可求出OH的长.

【解答】（1）证明：如图1,

图1

是祀的中点，

：.ODYAC,

：.ZAFO=90°,

AZFAO+ZAOF=90°,

VZAOF=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZAOF^ZCAE,

NMO+NC4E=90°,即NO4E=90°,

VOA是半径，

•••AE是。。的切线；

(2)解：如图2,连接A。，

图2

3

VZC=ZJB,tanC=

3

tanB=tanC=彳，

VAB是直径，

AZADB=90°,

.AD3

..tanBB=丽=4,

设AQ=3x,则B£>=4x,AB=5x,

：。。的半径10,

：.AB=5x^20,

.*.x=4,

・・・AO=3X4=12,50=4X4=16,

・・・£)是尼的中点，

：.AD=CD=12f

：.ZDAC=ZC,

*：/B=4C,

：.ZDAC=ZBf

*.•NADH=NBDA

・・・XADHs/\BDA,

ADBD「1216

/.---=---，即---=—，

DHADDH12

：.DH=9.

24.(8分)二次函数的图象与x轴交于点A(xi,0),B(x2,0)且xiWx2.

(1)当xi=2,且b+c=-6时，

①求。，。的值；

②当，《+2时，二次函数y=W+"+c的最小值为23求/的值；

3

(2)右XI=3X2,求证：-b—cW3.

2

【考点】二次函数综合题.

【分析】⑴①当xi=2,则抛物线过点A(2,0),且6+c=-6,于是得已汇；「6c，

解方程组求得Ac的值分别为2、-8；

②由y=/+2x-8=(x+1)2-9,得该抛物线的顶点为(-1,-9),再分三种情况讨论，

一是1+2W-1,即rW-3,则当x=f+2时，y最小=2f,于是得(f+2+l)2-9=2/；二是f

<-1<f+2,即-3</<-1,则当x=-1时，ya小=2f,于是得(-1+1)~-9=2/；三

是彦-1,则当x=f时，y最小=2/,于是得(什1)2-9=2/,解方程求出相应的符合题意

的f值即可；

（2）由11=3x2,且X1W%2,可证明X2W0,由一元二次方程根与系数的关系得Xl+X2=-

b,贝3x2+x2=-6,所以12=—3,贝!1（一，）2+〃・（-%）+c=0,可求得。=/贝I」

p-c=”一磊庐=一磊（6-4）2+3<3.

【解答】（1）解：①当川=2,则抛物线>=/+勿;+0经过点A（2,0）,且b+c=-6,

・电港6解得『=2

（4+2b+c=0lc=-8

:.b、c的值分别为2、-8.

②•；y=x2+2x-8=（x+1）2-9,

•••该抛物线的顶点为（-1,-9）,

若什2<-1,即W-3,如图1,当x=f+2时，y山、=2/,

（f+2+l）2-9=2Z,

解得“=-4,或〃=0（不符合题意，舍去）；

若fV-l<f+2,即-3<y-l,如图2,当x=-l时，y垃小=2f,

（-1+1）2-9=2f,

解得仁一3（不符合题意，舍去）；

若彦-1,如图3,当x=r时，用小=2。

（r+1）2-9=26

解得力=2迎，f2=-2V2（不符合题意，舍去），

综上所述：，=4或/=2/.

（2）证明：VXI=3x2,且X1#A2,

•・3x2^X2f

"WO,

Vxi>X2是一元二次方程/+灰+。=0的两个根，

.*.Xl+X2=-b,

3X2+X2=-b,

.1,

・・X2=一声

:.（一/）2+〃•（-3）+c=0,

c=

-b-c=一磊(f