【赢在高考黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考地区专用）【解析版】

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考地区专用）黄金卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。一、单选题1．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的概念即可解答.【详解】因为，所以，故选B.2．已知均为实数，则下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】根据题意,依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A，由，得，知A正确；对于B，由，得，知B错误；对于C，当时，则与均无意义，知C错误；对于D，当时，则与均无意义，知D错误.故选：A.3．已知a，b，c是的三边，且，点O是外接圆的圆心，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，然后将用表示，进一步用表示，用表示，然后计算即可.【详解】取的中点，然后连接如图所以，由O是外接圆的圆心，所以所以又故选：C4．随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加【答案】C【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项B正确；将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为，故选项C错误；由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.故选：C.5．已知函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（

）A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分【答案】A【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可.【详解】因为函数的图象恰为椭圆x轴上方的部分，所以，因为，，成等比数列，所以有，且有成立，即成立，由，化简得：，或，当时，即，因为，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；当时，即，因为，所以，而，所以不成立，故选：A6．函数的图象大致为（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】由奇偶函数的定义可排除A，当时函数值为负数排除选项CD，再利用导数法验证函数的单调性即可得出答案.【详解】因为的定义域为，且，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，当时，，排除选项CD，又，记，则，令f'x>0得，令f'所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以，即，所以当时，在0,+∞上单调递增.故选：B7．如图，正方体棱长为2，点P是面内一点，M，N分别是棱DC，AD上的点则三棱锥的体积最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】设，，由表示出，再求出的最大值，由等体积法即可求出三棱锥的体积最大值.【详解】因为平面平面，又由正方体的性质知：平面，所以点P到平面的距离为，设，，则，，，所以，，因为，所以，令，可看作是关于的一元一次方程，所以，当且仅当时取等，所以三棱锥的体积为：，故三棱锥的体积最大值为.故选：A.8．已知关于的不等式在0,+∞上恒成立（其中、），则（

）A．当时，存在满足题意 B．当时，不存在满足题意C．当时，存在满足题意 D．当时，不存在满足题意【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出函数满足有一零点为、当时、当时，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为关于的不等式在0,+∞上恒成立，所以必需要满足、，即对于函数，必有一零点为且零点左右函数值符号不同，即当时，；当时，，A项：，，令，，，此时，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；B项：，，令，，，此时，存在满足题意，B错误；C项：，，令，，，此时，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；D项：，，令，，，此时，不满足当时且当时，，即不存在满足题意，D正确，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数，则（

）A．的最小正周期为 B．为偶函数C．的最小值为 D．在区间单调递增【答案】BC【分析】直接利用函数的周期性，奇偶性，单调性及最值的相关性质对各选项进行判定.【详解】对选项A，由，可知为的一个周期，故选项A错误；对选项B，由得，其中，定义域为且，，关于原点对称，，又，所以，所以为偶函数，从而为偶函数，故选项B正确；对选项C，令，则，且则，，令，，则，令，可得，则在单调递增，令，可得，则在单调递减，故的最小值为，故选项C正确；对选项D，由于，故在区间内不单调，故选项D错误，故选：BC.10．已知，点满足，设点的轨迹为曲线，则（

）A．过点作曲线的切线，切线长为B．当三点不共线时，则C．在上存在点，使得D．的最小值为【答案】ABD【分析】设动点坐标，根据可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知是内角的角平分线，即可得出结论；C选项，可以求得动点的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.【详解】设P点坐标为，由，则，化简得，所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆.A选项，过点作曲线的切线，切线长为，A选项正确.B选项，当三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，是内角的角平分线，所以.故B选项正确.C选项，因为，设，则，化简得轨迹为，所以动点的轨迹为圆心，半径为的圆，圆心距，所以两圆位置关系为内含，所以在上不存在点，使得，故C错误.D选项，因为，所以，故D正确.故选：ABD11．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是(

)A．函数的图象关于直线对称B．当时，的最大值为－1C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为【答案】BCD【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可．B．判断当时，函数的单调性即可．C．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解．D．利用两点间的距离公式进行判断求解．【详解】当，时，函数.A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误；B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确；C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为，所以“囧点”为，设，则，设切点为，，切线的斜率，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，，解得，切点坐标为，故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确，D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中，则点到圆心的距离的平方为，令，，则，再令，（其中，则，所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为．又，综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为．故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确，故选：BCD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设等差数列的前项和为,若,,则.【答案】10【分析】将和用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解.【详解】设该数列的公差为，由题可知：，解得，故.故答案为：10.13．已知是方程的两根，且，则的值为.【答案】【分析】根据韦达定理求出的值，进而结合两角和的正切公式求出的值，缩小角的范围即可求出结果.【详解】∵是方程的两根，∴，∴.又，∴，∵，∴，∴，∴.故答案为：.14．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.【答案】204【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为．当时，共有1种情况，即；当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；当时，共有5种情况，即，，，，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有2种情况，即，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；当时，共有3种情况，即，；当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋3＋1＝34(种)情况，∴不同的放法共有：种．故答案为：204．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：ABCDE甲车间100120150180200乙车间50120200150180(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．【答案】(1)甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间工作效率比较稳定(2)0.1978(3)答案见解析【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的方差，乙车间该日生产订单的方差；（2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率；（3）比较2个车间的平均数、方差和合格率.【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为，乙车间该日生产订单的平均数为，甲车间该日生产订单的方差为，乙车间该日生产订单的方差为，因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差，所以甲车间工作效率比较稳定；（2）甲、乙2个车间都不合格的概率为；（3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高.16．已知函数．（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为，，，求的面积．【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积．试题解析：（1）由题意知，由．∵，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴由余弦定理可得，∴，∴．17．已知椭圆的离心率为是它的左、右顶点，过点的动直线（不与轴重合）与相交于M、N两点，的最大面积为.(1)求椭圆的方程；(2)试探究：原点是否一定在以线段MN为直径的圆内？证明你的结论.【答案】(1)(2)原点一定在以MN为直径的圆内，证明见解析【分析】（1）根据最大面积可得，再结合离心率及求解作答；（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理结合平面向量数量积推导为钝角作答.【详解】（1）依题意，，设椭圆E上点M的纵坐标为，，的面积，当且仅当时取等号，因此，而，且，解得，，所以椭圆E的方程为.（2）原点一定在以MN为直径的圆内，证明如下：设直线l的方程为，Mx1,y联立，得，则，，则，又，，则，所以为钝角，所以原点一定在以MN为直径的圆内.18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且．(1)求证：平面PAC；(2)求点到平面PCD的距离；(3)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)2(3)【分析】（1）如图建立空间直角坐标系.利用向量法可得，，即可证明结论；（2）由（1）可得与平面PCD的法向量，即可得答案；（3）设，后由直线QE与平面PAC所成角的正弦值为结合空间向量知识可得关于的方程，即可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面所以，.因为则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系．由已知可得，，，，，．所以，，．因为，所以.，所以．又，平面，平面．所以