2023-2024学年广东省深圳市华中师大龙岗附中九年级上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023-2024学年广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当时，它是菱形 B.当时，它是菱形C.当时，它是矩形 D.当时，它是正方形2.某校举行演讲比赛，小李、小吴与另外两位同学闯入决赛，则小李和小吴获得前两名概率是（）A. B. C. D.3.若，是方程的两个根，则（）A. B. C. D.4.某乐器上的一根弦，且，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是的黄金分割点，则的长为（）A.cm B.cm C.cm D.cm5.如图，直，直线分别交直线分别交于点若，则的长为（）A.3 B.4 C.5 D.66.如果关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A B.且 C. D.且7.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（）A. B.C. D.8.如图，在菱形中，，顺次连接菱形各边中点，则四边形的周长为（）A B. C. D.9.如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为()A. B. C.或 D.或10.如图，在面积为25的正方形内有两点E、F，且，，则的长为（）A.1 B.2 C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位，有学者发现，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字为的概率为_____．12.如果，那么=_____．13.若是方程的一个根，则方程的另一根是_______．14.在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F；（2）分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点；（3）作射线交于H，则线段的长为_______．15.如图在四边形中，对角线平分，，点是上一点，．若，，则的长为_____．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16.用适当的方法解下列方程：．17.先化简，再求值：，其中x为方程的根．18.为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的m=_____，n=____．（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．19.如图，矩形的对角线相交于点，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．20.杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，就深受大家的喜爱，某商店销售这种吉祥物，每件进价元，规定销售单价不能超过每件元，试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，设每天的销量为，销售单价上涨元．（1）则与的函数关系式是________．（2）每件吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利元？21.在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．（1）操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形；（2）深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；（3）问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长．2023-2024学年广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（）A.当时，它是菱形 B.当时，它是菱形C.当时，它是矩形 D.当时，它是正方形【答案】D【解析】【分析】根据矩形、菱形及正方形的判定可进行求解．【详解】解：A、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；B、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；C、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故不符合题意；D、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键．2.某校举行演讲比赛，小李、小吴与另外两位同学闯入决赛，则小李和小吴获得前两名的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，以及小李和小吴获得前两名的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】将另外两名同学分别记为甲、乙，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小李和小吴获得前两名的结果有2种，∴小李和小吴获得前两名的概率为．故选：D．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，熟练掌握列表法和树状图法以及概率公式是解答本题的关键．3.若，是方程的两个根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，故C符合题意，A、D不符合题意；由于并不知道，的大小关系，所以并不能推出，故B不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．4.某乐器上的一根弦，且，两个端点A、B固定在乐器面板上，支撑点C是的黄金分割点，则的长为（）A.cm B.cm C.cm D.cm【答案】B【解析】【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解：∵点C是的黄金分割点，且，，故选：B．5.如图，直，直线分别交直线分别交于点若，则的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，由直线，利用平行线分线段成比例，可求出，结合，即可求出的长．【详解】解：∵直线，∴，∴，又∵，∴．故选：D．6.如果关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，且k≠0；即可解得答案.【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根a=k，b=-2，c=1，∴△=b2-4ac=(-2)2-4k=4-4k＞0∴k＜1,∵k是二次项系数不能为0，即k≠0，∴即k＜1且k≠0.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的根与判别式△=b2-4ac的符号关系；熟记二次函数①有两个不相等的实数根时，△=b2-4ac＞0；②二次函数有实数根时，△=b2-4ac≥0；③二次函数有两个相等的实数根时△=b2-4ac=0，④二次函数无实数根时，△=b2-4ac＜0，是解答本题的关键.7.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设年平均增长率x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．8.如图，在菱形中，，顺次连接菱形各边中点，则四边形的周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中点四边形，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质，连接交于，由菱形的性质证出是等边三角形，求出的长，由直角三角形的性质求出，由三角形中位线定理分别求得，然后进一步解答即可．【详解】解：连接交于，∵四边形是菱形，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴∵，∴，，∴，∵点分别为，∴，，∴四边形的周长为：+．故选：C．9.如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为()A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】由点在线段上可设点的坐标为，，进而可得出，，结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入点的坐标中即可求出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及矩形的面积，找出关于的一元二次方程是解题的关键．【详解】解：点在线段上不与点，重合，且直线的解析式为，设点坐标为，，，．矩形的面积为，，，，点的坐标为，或，．故选：D．10.如图，在面积为25的正方形内有两点E、F，且，，则的长为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．延长交于点G，首先根据勾股定理的逆定理得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，延长交于点G，∵正方形的面积为25，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位，有学者发现，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字为的概率为_____．【答案】##【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，从π的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果，利用概率公式求解即可．【详解】解：∵从小数部分随机取出一个数字，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，∴从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果，∴(数字是)=．故答案为：．12.如果，那么=_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质，根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．13.若是方程的一个根，则方程的另一根是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，设该方程的另一根为，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，然后求解答案即可．【详解】解：设方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系得，解得，即方程的另一根是．故答案为：．14.在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点；（3）作射线交于H，则线段的长为_______．【答案】##1.5【解析】【分析】如图，过点H作于点M，由作法可知，为的平分线，，，，由勾股定理得，，由，可得，即，计算求解即可．【详解】解：如图，过点H作于点M，由作法可知，为的平分线，∵四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，，由勾股定理得，，∵，∴，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查作角平分线，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握角平分线的性质与作图方法、矩形的性质是解答本题的关键．15.如图在四边形中，对角线平分，，点是上一点，．若，，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，在上取一点，使，连接，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，根据线段的和差则可得出答案．【详解】解：在上取一点，使，连接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴或（舍去），∴，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16.用适当的方法解下列方程：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把等号右边的部分移到左边，然后提取公因式，进行因式分解，从而把一元二次方程转化成两个一元一次方程，进行解答即可．【详解】解：17.先化简，再求值：，其中x为方程的根．【答案】1【解析】【分析】先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适的x值，代入求值．【详解】解：原式＝．解得，，∵时，无意义，∴取．当时，原式＝．18.为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的m=_____，n=____．（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．【答案】（1）200，84，15（2）1224人（3）【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，也考查了统计图,（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：，所以本次调查共抽取了200名学生，，；故答案为：200，84，15；【小问2详解】解：，所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；【小问3详解】解：画树状图：共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．19.如图，矩形的对角线相交于点，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．（1）根据菱形的判定证明即可；（2）作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可．【小问1详解】解：证明：∵，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵，在菱形中，∴均为等边三角形，∴，如图，作交延长线于点，∵，∴，∴，∴△EBC的面积20.杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，就深受大家的喜爱，某商店销售这种吉祥物，每件进价元，规定销售单价不能超过每件元，试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，设每天的销量为，销售单价上涨元．（1）则与的函数关系式是________．（2）每件吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利元？【答案】（1）；（2）每件吉祥物销售单价是元时，商店每天获利元．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系列出等量关系式．（1）利用每天的销售量销售单价上涨的钱数，即可找出与的函数关系式，结合销售单价不能超过每件元，即可得出的取值范围；（2）利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，将其符合题意的值代入中，即可求