2023-2024学年广东省深圳市四校联考九年级上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳市四校2023-2024学年九年级上学期期中联考试卷范围：特殊平行四边形，一元二次方程，概率的进一步认识，图形的相似注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．2．请认真核对姓名、考试证号是否与本人相符合．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、单选题1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E．若，则（）A.60° B.75° C.80° D.105°3.给出下列判断：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，假设每轮传染的人数相同，则每轮传染中平均每个人传染了几个人（）A.12 B.14 C.10 D.115.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如表所示：种子个数2003005007008009001000发芽种子个数187282435624718814901发芽种子频率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624．所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性．可以估计种子发芽的概率约为0.9(精确到0.1)；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子大约有的种子不能发芽．其中合理的是()A.①② B.③④ C.②③ D.②④6.若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2－（k＋5）x＋3k＋6＝0的两个根，则k的值是（）A.－1或4 B.－1 C.1或4 D.47.如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）A. B. C. D.8.如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.59.如图，菱形中，交于点，，垂足为点，连接，若，则的长为（）A. B.16 C. D.10.如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题11.如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是高．，那么的长为____________．12.如图，正方形的边长为8，对角线相交于点O，点M，N分别在边上，且，连接交于P，若，则______．13.如图，在中，，点为中点，，则的值为__________．14.如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则___________．15.如图，在中，，，．D，E分别是边，上动点，且，则的最小值为__________．三、解答题16解方程（1）（2）17.小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．18.今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供信息，回答如下问题：（1）x=________，y=________，并将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________；（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．19.如图，在正方形网格中，点、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）（1）在图（1）中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；（2）在图（2）中，线段上作点M，利用格点作图使得；（3）在图（3）中，利用格点在边上作一个点D，使得．20.【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即（）=4；第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；第三步：【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________．21.如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，，求及的长；（3）若，求的值.22.背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，BG2+DE2是定值，请求出这个定值．深圳市四校2023-2024学年九年级上学期期中联考试卷范围：特殊平行四边形，一元二次方程，概率的进一步认识，图形的相似注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．2．请认真核对姓名、考试证号是否与本人相符合．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、单选题1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；B、该方程符合一元二次方程定义，故本选项正确；C、该方程属于分式方程，故本选项错误；D、由原方程得到−2x＋1＝0，未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E．若，则（）A.60° B.75° C.80° D.105°【答案】D【解析】【分析】根据四边形为平行四边形可得，，即可证明，，于是得到，即可求解．【详解】解：四边形为平行四边形，，，，，．故选：D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形的性质以及平行线的性质是解题的关键．3.给出下列判断：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【详解】①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．正确．所以不正确的共有3个，故选C．4.2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，假设每轮传染的人数相同，则每轮传染中平均每个人传染了几个人（）A.12 B.14 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，依题意得：1+x+x（1+x）=169，

解得：x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如表所示：种子个数2003005007008009001000发芽种子个数187282435624718814901发芽种子频率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624．所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性．可以估计种子发芽的概率约为0.9(精确到0.1)；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子大约有的种子不能发芽．其中合理的是()A.①② B.③④ C.②③ D.②④【答案】D【解析】【分析】根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右，于是得到种子发芽的概率约为0.9，据此求出种子中大约有种子是不能发芽的即可．【详解】①种子个数是700时，发芽种子的个数是624．所以种子发芽的概率大约是0.891；故错误；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性．可以估计种子发芽的概率约为0.9(精确到0.1)；故正确；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子大约有的种子不能发芽，故正确；其中合理的是②④，故选D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．6.若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2－（k＋5）x＋3k＋6＝0的两个根，则k的值是（）A.－1或4 B.－1 C.1或4 D.4【答案】D【解析】【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论，当6为底时，则方程有两个相等的实数根，即-4（3k+6）=0，解得：k=1，则方程的两根为3,因为3、3、6无法构成三角形，则这种情况不成立；当6为腰时，则方程有一个根为6，将x=6代入可得：36-6（k+5）+3k+6=0，解得：k=4，则方程的两根为3和6,因为3、6、6能够构成三角形，则k=4.考点：（1）、根的判别式；（2）、解一元二次方程.7.如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH，CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2，AD=4，再证△ADF∽△ABC可得，据此得出EF=DF-DE．【详解】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF//BC，∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE（AAS），∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，∵，∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF//BC，∴△ADF∽△ABC，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．8.如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（）A.2 B.2.5 C.3 D.3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形中，∴，∵F为的中点，，∴，在中，，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.9.如图，菱形中，交于点，，垂足为点，连接，若，则的长为（）A. B.16 C. D.【答案】D【解析】【分析】由菱形性质可知：，，，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，再利用双勾股列方程求出，即可解答．【详解】解：∵菱形，∴，，，，又∵，∴，，∵，，设，则，∴，解得：（不符合题意，舍去），，∴，在中，，∴，故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据正方形的性质可由定理证，即可判定是等腰直角三角形，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；由此即可判断①正确；再根据，可判断③正确，进而证明，可得，结合，即可得出结论④正确，由随着长度变化而变化，不固定，可判断②不一定成立．【详解】解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正确；又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正确，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正确，∵若，则，又∵，∴，而点E是上一动点，随着长度变化而变化，不固定，而，则故不一定成立，故②错误；综上，正确的有①③④共3个，故选：C．【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二、填空题11.如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．【答案】##4.8【解析】【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．12.如图，正方形的边长为8，对角线相交于点O，点M，N分别在边上，且，连接交于P，若，则______．【答案】20【解析】【分析】过点作于点，根据正方形的性质可得，，，再根据同角的余角相等可得，以此即可通过证明≌，得到，，进而得到，易证明∽，根据相似三角形的性质可得，即，由等腰直角三角形的性质可得，则，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，四边形为边长为的正方形，，，，，，，又，，在和中，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，在中，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键．13.如图，在中，，点为中点，，则的值为__________．【答案】##【解析】【分析】延长至E，使，连接，证明，推出，再证明，求得，据此计算即可求解.【详解】解：延长至E，使，连接，设，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，又，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，证明是解题的关键.14.如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则___________．【答案】【解析】【分析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案．【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，∵点C的坐标为，∴，，在中，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵点，∴，∴，在中，∴，∴，∵，∴，解得，故答案为：【点睛】此题考查了全等三角形判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键．15.如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】过作于，使，连接、，即可得到，，即最小值为的长．【详解】方法一：过作于，使，连接、，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴当三点共线时有最小值，最小值为的长∵∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴的最小值为，故答案为：．方法二：，则，，∴，设，∴∴可以看成点到点和的距离之和，∴当、、三点共线时最小，最小值，∴最小值为．【点睛】本题考查三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短等知识，解题的关键是准确的构造辅助线解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题16.解方程（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；【小问1详解】，或故【小问2详解】，所以；【点睛】本题考查了解一元二次方程解法，一元二次方程的主要解法有：公式法、配方法、因式分解法和直接开平方法，熟练掌握并灵活选择是解题的关键．17.小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．【答案】路灯的高度为6.3米【解析】【分析】根据且，可得到，，从而可得到，，设，则，即，解出的值即可求出的高度．【详解】解：且，，，设，则，又，，即，解得：，经检验是原方程的解，答：的高度是．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例进行求解．18.今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供的信息，回答如下问题：（1）x=________，y=________，并将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________；（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．【答案】（1）30%，16%，图见解析（2）95、94（3）192人（4）【解析】【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：被调查的总人数为4÷8%=50（人），∴优秀对应的百分比，则一般对应的人数为50-（4+23+8）=15（人），∴其对应的百分比，补全图形如下：故答案为：30%，16%．【小问2详解】解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，所以其中位数为，出现次数最多的是94，故众数为94，故答案为：95，94；【小问3详解】解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192（人）；答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀人数为192人．【小问4详解】解：画树状图为：共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为．【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识，数形结合与用列表法或树状图法求概率是解题的关键．19.如图，在正方形网格中，点、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）（1）在图（1）中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；（2）在图（2）中，线段上作点M，利用格点作图使得；（3）在图（3）中，利用格点在边上作一个点D，使得．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）按同向位似图形的作法作图即可；（2）利用网格线，根据平行线分线段成比例定理作图即可；（3）已知的两个三角形有一个公共角，所以在网格中，取格点E，F，连接，得到，，则与的交点即为所求的点D．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示，点M即为所求；∵∴．【小问3详解】解：如图所示，点D即为所求；由网格可得，，∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查用无刻度的直尺作图，三角形的相似，位似，平行线分线段成比例的含义，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．20.【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．【类比迁移】：小明根据赵爽办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即（）=4；第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；第三步：【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________．【答案】【类比迁移】：，；【拓展应用】2，3，【解析】【详解】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）；第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图：第三步：图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，故答案为：，；【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．∴长方形的长为，宽为x，即：，∴，∴，，方程的一个正根为：．故答案为：2，3，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的几何意义，读懂题意，根据正方形面积相等列出方程是关键．21.如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，，求及长；（3）若，求的值.【答案】（1）等边三角形，理由见解析（2），（3）的值为或【解析】【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形