等比数列的概念（第2课时）（课件）高二数学（人教A版2019选择性）

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念（第2课时）人教A版选择性必修第二册

第四章

数列学习目标123能从具体实例中抽象出等比数列，并能进行简单应用，培育数学抽象、数学建模的核心素养；能在具体的问题情境中,发现等比数列,并能解决相应问题.掌握等比数列的性质及其应用，培育逻辑推理、数学运算的核心素养典例分析

分析:复利是指把前一期的利息与本金之和算做本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，a(1+r)，a(1+r)2，……构成等比数列.月初本金月末本利和1个月2个月3个月12个月104104(1+0.400％)104(1+0.400％)104(1+0.400％)2104(1+0.400％)2104(1+0.400％)3104(1+0.400％)11104(1+0.400％)12典例分析

解：学以致用教材P343.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)?4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105,力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)?典例分析[例6]

某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？产量不合格率数列{an}数列{bn}等比数列等差数列分析：不合格品产量×不合格率等差数列×等比数列{anbn}

数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.典例分析解:

设从今年1月起,各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.bn=1-[90%+0.4%(nn,其中n=1,2,…,24,则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n-1n)由题意，知

an=1050×1.05n-1,由计算工具计算（精确到0.1），并列表n1234567891011121314anbn105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9106.4105.5104.2102.6100.698.195.0=1.05n×(104-4n).观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.得n>5.所以，当n≥6时，数列{anbn}递减.又a13b13≈98<100.所以,当13≤n≤24时，anbn≤a13b13<100.所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.学以致用教材P345.已知数列{an}的通项公式为

，求使an取得最大值时n的值.典例分析

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.证明:(1)由已a1=3，d=2，得{an}的通项公式为an=2n+1.

又log3a1

=log33=1,两边取以3为底的对数，得log3an=log3

33-2n=3-2n

所以log3an+1-log3an=[3-2(n+1)]–(3-2n)=-2所以，数列{log3an}是首项为1，公差为-2的等差数列.学以致用教材P314.对于数列{an},若点(n,an)(n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c,q为常数，且c≠0,q≠0,q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.例题小结等比数列的常用判定方法新知探究

结论：数列{an}是等差数列⇔数列

是等比数列.数列{an}是正项等比数列⇔数列{logban}是等差数列.b>0且b≠1学以致用教材P40-习题4.32.已知一个无穷等比数列{an}的首项为a1,公差为q.(1)将数列{an}中的前k项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?

(2)依次取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?

(3)在数列{an}中，从第一项起，每隔10项取出一项，组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗?改成偶数项呢？新知探究由课本P40习题4.3-T2可得等差数列的如下性质：性质1若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为qm的等差数列．（若下标成等差数列，则对应的项成等比数列）追问

你能证明该性质吗？证明：∵{an}是等比数列，公比为q∴ak+m=akqm，ak+2m=akq2m即(ak+m)2=akak+2m即ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为qm的等比数列新知探究探究

观察等比数列:2，4，8，16，32，64，128，256,……说出16是哪两项的等比中项？并找到它们满足的规律？2

，4

，8，16

，32，64，128等比数列问题2观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么一般性的结论吗？并且加以证明.新知探究猜想

若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，s，t满足m＋n＝s＋t，则aman＝asat.证明:新知探究由此可得等比数列的如下性质：性质2在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t(m,n,s,t∈N*)，则aman＝asat.（若下标和相等，则对应项的积相等.）(1)特别地:若m＋n＝2k(m,n,k∈N*)，则有aman＝a2k.推论(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝…＝akan－k＋1＝….思考

2+3=5，a2a3=a5成立吗？【注】等式两边的项数必须一样多！学以致用教材P315.已知数列{an}是等比数列.

(1)a3,a5,a7是否成等比数列?为什么?a1,a5,

a9呢?(2)当n>1时,an-1,an,an+1是否成等比数列?为什么?

当n>k>0时,an-k,an,

an+k是等比数列吗?学以致用教材P342.设数列{an},{bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由.问题3

根据本题你能得到一般性的结论吗？由练习题4可得等比数列的如下性质：新知探究性质3数列{an},{bn}都是等比数列,公比分别为p,q，则数列{anbn}是公比为

的等比数列.

pq推论若数列{an},{bn}都是等比数列,公差分别为p,q，λ为常数则有数列

是等比数列，公比为

；数列

是等比数列，公比为

；数列

是等比数列，公比为

；数列

是等比数列，公比为

；数列

是等比数列，